高背景下的二次函數問題

●趙碧波 (仙居中學，浙江 仙居 317300)

高背景下的二次函數問題

●趙碧波
(仙居中學，浙江 仙居 317300)

二次函數是初、高中數學課程最重要的函數模型之一,它是連接函數、方程、不等式的橋梁,是滲透數學思想方法、提高學生思維與運算能力的主要載體，是學考、高考和數學聯賽一試的熱點、難點.因此，有必要從高等數學的角度研究二次函數的一些性質.

切比雪夫多項式;最值;反思;數學本質

二次函數問題內容豐富多彩，解題方法靈活多樣.某些二次函數經過“華麗”的包裝后，常讓人感到模棱兩可、困難倍增.下面通過具體的問題探究其背后所隱藏的數學本質.

1 基本題型

例1[1]求函數f(x)=|x2-a|在區間[-1,1]上的最大值M(a)的最小值.

解 因為函數f(x)=|x2-a|(其中x∈[-1,1])的對稱軸為x=0，則

M(a)=max{f(-1),f(1),f(0)},

從而 2M(a)≥f(1)+f(0)≥|(1-a)+a|=1，

即

上式本質上就是一個二次型切比雪夫多項式.

切比雪夫多項式是高等數學中的內容,該問題的立意是高等的，而解法是初等的.命題者通過這種高背景下的問題考查學生對知識的掌握程度和學習潛能，學生若具備相關初等數學知識的能力、分析問題的能力，則思維上的障礙較少.

2 提煉升華，揭示數學本質

下面先給出二次型切比雪夫多項式的兩個性質.

性質1[3]設二次函數f(x)=ax2+bx+c，若對任意的x∈[-1,1]，|f(x)|≤1,則|a|max=2.

性質1的證明 由|f(-1)|=|a-b+c|≤1,|f(1)|=|a+b+c|≤1,|f(0)|=|c|≤1,知

4≥ |f(-1)|+|f(1)|+2|f(0)|≥

|(a-b+c)+(a+b+c)-2c|=|2a|，

則|a|≤2.當a=2,b=0,c=-1，即f(x)=2x2-1時，等號成立,故|a|max=2.

注f(x)=2x2-1其實就是二次切比雪夫多項式(T2(x)=2x2-1)，其中x∈[-1,1].

M≥|f(-1)|=|1-b+c|,

M≥|f(1)|=|1+b+c|,

M≥|f(0)|=|c|,

從而 4M≥ |f(-1)|+|f(1)|+2|f(0)|≥

|(1-b+c)+(1+b+c)-2c|=2，

于是

g(x)=x2+b0x+c0,x∈[-1,1],

從而

記h(x)=f(x)-g(x)，則函數h(x)滿足如下條件：

3 初級變形

例2 設函數f(x)=|x2+ax+b|(其中a,b∈R).若對任意的a,b∈R，總存在x0∈[0,4]，使得f(x0)≥m，則實數m的取值范圍是

( )

C.(-∞,2]D.(-∞,4]

(2017年3月浙江省學考十校聯盟適應性考試第18題)

f(x)= |x2+ax+b|=

根據性質2知

于是

|b-2(4+2a+b)+(16+4a+b)|=8,

從而

當a=-4,b=2時，等號成立.

注 由性質2的證明過程，例2只需考慮f(0),f(2),f(4)即可.

4 高級變形

例3 已知a,b,c∈R，f(x)=ax2+bx+c,當0≤x≤1時，|f(x)|≤1,求|a|+|b|+|c|的最大值.

c=f(0).

一般地，可以考慮f(0),f(t)，f(1),其中0

c=f(0).

因為|f(1)|≤1,|f(t)|≤1,|f(0)|≤1,所以

|t2f(1)|+|-f(t)|+|(1-t2)f(0)|]+|f(0)|≤

5 綜合應用

例4 函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(其中a≠0)，當0≤x≤1時，|f′(x)|≤1，試求a的最大值.

(2010年全國高中數學聯賽第9題)

解 因為f′(x)=3ax2+2bx+c,所以

f′(1)=3a+2b+c.

要求a，則必須消去參數b,c，從而

于是

例5 已知函數f(x)=x2+ax+b(其中a,b∈R)，記M(a,b)是|f(x)|在區間[-1,1]上的最大值.

1)證明：當|a|≥2時，M(a,b)≥2；

2)略.

(2015年浙江省數學高考理科試題第18題)

1)證明 由題意知|f(-1)|=|1-a+b|，|f(1)|=|1+a+b|,|f(0)|=|b|.要用條件|a|≥2,則必須消去參數b，從而

2M(a,b)≥ |f(-1)|+|f(1)|≥

|(1-a+b)-(1+a+b)|=|2a|≥4,

于是

M(a,b)≥2.

通過上述相關例子的設計與解析，我們清晰地看到隱藏在這類二次函數問題中一些形異而質同的數學本質.作為一線教師，針對某些問題，我們要多進行研究與反思，嘗試從高等數學的角度揭示問題背后的本質.“授人以魚，不如授人以漁”，讓學生從本源上理解問題，對這類問題，才能如魚得水，游刃有余.

[1] 蔡小熊,孫惠華.新課標高中數學競賽通用教材(高一分冊)[M].杭州：浙江大學出版社，2013.

[2] 劉云章，趙雄輝.數學解題思維策略——波利亞著作選講[M].長沙：湖南教育出版社，1991.

[3] 陳科鈞.2類切比雪夫多項式性質的證明與應用[J].中學教研(數學)：2017(2):45-48.

2017-05-30

趙碧波(1982-),男,浙江仙居人,中學一級教師.研究方向:數學教育.

O122.1

A

1003-6407(2017)09-29-03