撥開云霧見天日 守得云開見月明
——談“f(x)·ln x”問題的一類簡化算法

●王 強(qiáng) (常州市第二中學(xué)，江蘇 常州 213003)

撥開云霧見天日 守得云開見月明
——談“f(x)·ln x”問題的一類簡化算法

●王 強(qiáng)
(常州市第二中學(xué)，江蘇 常州 213003)

高三數(shù)學(xué)模考中經(jīng)常出現(xiàn)“f(x)·lnx”這類函數(shù)，如果先將lnx孤立出來，“撥去云霧f(x)”，往往只要求導(dǎo)一次，可避免多次求導(dǎo)，而且在后續(xù)的解題中也能減少討論，終能“見月明”(解出題目)，這個算法極大地減少了運(yùn)算量.

孤立；求導(dǎo)；算法

新修訂的《江蘇省高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出:數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征、適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格與關(guān)鍵能力，是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn).它是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中逐步形成的.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析.數(shù)學(xué)運(yùn)算是六大核心素養(yǎng)之一，是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題，具體體現(xiàn)在理解運(yùn)算對象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果[1].

1 問題由來,算法對比

筆者認(rèn)為，運(yùn)算能力的培養(yǎng)關(guān)鍵在于在做題中“學(xué)”和“悟”.為此，針對一些運(yùn)算較為復(fù)雜的問題，我們應(yīng)全方位地選擇運(yùn)算方法，在各種方法中“學(xué)”和“悟”其中的算理，運(yùn)算能力提升才能得到有效的落實(shí).2017年江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)一模試卷的第19題第2)小題滿分為10分，平均分只有1.94分，得分率很低，錯誤的原因主要是大部分學(xué)生不能將lnx前的函數(shù)式“剝離”出來，而是采取直接求導(dǎo)的算法，因?yàn)樯婕暗蕉吻髮?dǎo)，運(yùn)算難度增大導(dǎo)致出錯.但是，若采用先“剝離”的方法，則只要一次求導(dǎo)，運(yùn)算難度減小，簡單討論下就能完美地得到答案.筆者查閱了2016年的各市期末試卷，發(fā)現(xiàn)有很多類似的問題，故把“f(x)lnx”問題的一類簡化算法寫出來，與讀者一起分享.首先我們通過例1來對比兩種算法的優(yōu)劣.

例1 已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-ax+a(其中a為正實(shí)數(shù)，且為常數(shù)).

1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

2)若不等式(x-1)f(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(2017年江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)一模數(shù)學(xué)試題第19題)

解 1) 0

2)方法1 ①當(dāng)x=1時，0≥0，從而a∈R.

②當(dāng)x>1時，f(x)≥0恒成立.因?yàn)?/p>

設(shè)p(x)=xlnx+(1-a)x+1，則

p′(x)=lnx+2-a,

當(dāng)01，所以p′(x)>0,從而p(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，于是

p(x)>p(1)=2-a>0，

進(jìn)而

f′(x)>0,

即f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，故f(x)>f(1)=0,滿足題意.當(dāng)a>2時，令p′(x)=0，則

x=ea-2>1.

當(dāng)x∈(1,ea-2)時，p′(x)<0，p(x)單調(diào)遞減，從而

p(x)

則

因此當(dāng)x∈(1,ea-2)時，f(x)單調(diào)遞減，則當(dāng)x∈(1,ea-2)時，f(x)

③當(dāng)0

設(shè)p(x)=xlnx+(1-a)x+1，則

p′(x)=lnx+2-a.

當(dāng)a>2時，因?yàn)?

p(e-a)=e-a(1-2a)+1，

設(shè)h(a)=e-a(1-2a)+1,則h′(a)=e-a(2a-3)>0,所以h(a)在(2，+∞)上單調(diào)遞增，即

亦即p(e-a)>0.函數(shù)p(x)在(e-a,1)上連續(xù)，由零點(diǎn)存在性定理，p(x)在(e-a,1)上存在零點(diǎn).又p(x)在(e-a,1)上單調(diào)遞減，于是p(x)在(e-a,1)上存在唯一的零點(diǎn)，記為x0.因此，當(dāng)x∈(x0,1)時，p(x)<0，f′(x)<0,即f(x)在(x0,1)上單調(diào)遞減.因?yàn)閒(1)=0,所以f(x0)>0,矛盾.

當(dāng)0

綜上所述，0

方法2 ①當(dāng)x=1時，0≥0，從而a∈R.

綜上所述，對于工程造價信息化建設(shè)工作的落實(shí)，其在當(dāng)前確實(shí)表現(xiàn)出了較強(qiáng)的發(fā)展作用價值，相對于傳統(tǒng)工程造價管理模式具備多方面優(yōu)勢，這也就需要加大推廣力度，詳細(xì)分析探究現(xiàn)階段存在的各個方面問題，然后采取有效措施予以解決。

設(shè)h(x)=x2+(2-2a)x+1,其中x>1,當(dāng)Δ≤0時，00恒成立.

當(dāng)Δ>0時，a>2.令h(x)=0,得

因?yàn)閔(1)=4-2a<0,所以當(dāng)x∈(1,x2)時，h(x)<0,g′(x)<0,從而g(x)在(1,x2)上單調(diào)遞減.又g(1)=0,得g(x2)<0,不合題意.

設(shè)h(x)=x2+(2-2a)x+1,其中00時，a>2.令h(x)=0,得

又h(1)=4-2a<0,當(dāng)x∈(x1,1)時，h(x)<0,g′(x)<0,于是g(x)在(x1,1)上單調(diào)遞減.又因?yàn)間(1)=0,所以g(x2)>0,不合題意.

綜上：0

2 算法應(yīng)用,提升素養(yǎng)

前蘇聯(lián)教育家維果斯基提出：教育對兒童的發(fā)展能起到主導(dǎo)作用和促進(jìn)作用，但需要確定兒童發(fā)展的兩種水平：一種是已經(jīng)達(dá)到的發(fā)展水平，另一種是兒童可能達(dá)到的發(fā)展水平,表現(xiàn)為“兒童還不能獨(dú)立地完成任務(wù)，但在成人的幫助下,在集體活動中，通過模仿，卻能夠完成這些任務(wù)”.這兩種水平之間的距離，就是“最近發(fā)展區(qū)”.從“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)計算法，能加速學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的提高.

例2 已知函數(shù)f(x)=xlnx，g(x)=λ(x2-1)(其中λ為常數(shù))．

2)若對任意x∈[1,+∞)，不等式f(x)≤g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

(2016年江蘇省鎮(zhèn)江市期末試題第20題改編)

所以h(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減.又因?yàn)閔(1)=0,所以h(x)≤h(1)=0.

2)由題意，當(dāng)x≥1時，不等式xlnx-λ(x2-1)≤0恒成立.不等式兩邊同除x，得

①當(dāng)λ≤0時，由x≥1,得h′(x)≥0,因?yàn)閔(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,又h(1)=0,得h(x)≥0,舍去.

h′(x)≤0,

得h(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減.又因?yàn)閔(1)=0,所以h(x)≤0,滿足題意.

因?yàn)閙(1)=1-2λ>0,所以當(dāng)x∈(1,x2)時，m(x)≥0,h′(x)≥0,從而h(x)在(1,x2)上單調(diào)遞增.又因?yàn)閔(1)=0,所以h(x2)>0,矛盾.

(2016年江蘇省常州市數(shù)學(xué)期末試題第19題)

解 由題意，當(dāng)x≥1時，x2lnx-x+1-t(x-1)2≥0恒成立.兩邊同時除以x2,得

g′(x)≥0,

因?yàn)間(1)=0,所以g(x)≥0.

學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力急需改善，具體表現(xiàn)在對運(yùn)算方向的探索和運(yùn)算程序的設(shè)計上存在不足.為此，教師在平時的教學(xué)中對一些運(yùn)算復(fù)雜的問題，要能帶領(lǐng)學(xué)生全方位地選擇算法，擇優(yōu)設(shè)計運(yùn)算程序，從而將提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)落到實(shí)處.以上是筆者對“f(x)·lnx”這類問題的一類簡化算法的研究，先撥開“f(x)”化簡原式，然后借助簡單的分類討論，并且堅持算下去，最終圓滿解決問題.

著名教育家波利亞曾說過：“沒有一道題是可以解決得十全十美的，總剩下些工作要做，經(jīng)過充分地探討與鉆研，總會有點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn)，總能改進(jìn)這個解答，而且在任何情況下，我們都能提高自己對這個解答的理解水平.”

[1] 陳玉娟．例談高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報，2016(8)：34-36．

2017-06-20

王 強(qiáng)(1989-)，男，江蘇泰州人，中學(xué)二級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O122.1

A

1003-6407(2017)09-13-03