集合基礎知識與習題的深究與發現

穆俊峰

【摘要】本文是作者在教學實踐中，對教材內容與習題設置結構的理解與心得，通過教學中發現數學定義、公式、性質、結論等的本質，從而在處理習題、鞏固知識的過程中，使學生易理解，易掌握教材內容，會應用、會處理教材習題.

【關鍵詞】問題；結論；應用

教材中的基礎知識包含了定義、定理以及一些常用的性質和公式等，這些都是構建知識模塊所必需的內容.在北師大版（或人教版）高中數學必修一教材中，第一章是以集合論開始，在介紹集合的基本關系與基本運算時，面對剛剛初中畢業的學生，教師要從交集、并集的定義中深究最本質的東西，讓學生體會到A∩B的最“大”性，與A∪B的最“小”性.這些抽象的性質就蘊涵在定義之中，但如果不加以強調，不具體舉例說明，對剛踏進高中數學殿堂的初中生來說，還真的很難理解好、運用好這些性質.

而當全集U給定時，集合A的補集在所有與A交集為空集的集合中具有最“大”性，同時在所有與A的并集為全集的集合中，A的補集又具有最“小”性.這一相輔相成、對立統一的優美性質，正是補集運算的魅力之所在.而這些性質若教師不加以說明或解釋得不到位，僅靠學生自己去理解并運用的話，真的過于勉強了.這里將其總結如下：

另外，無論是資料或教材都會涉及求給定有限集合的子集個數問題，掌握了子集的定義以后，學生可以根據列舉法寫出有限集合的子集.教材中也有這方面的例題和習題：第2節課“集合的基本關系”中的例2及練習題第5題和習題1—2中A組第2題的第（1）小題.一般情況下，教師們都會給學生補充這樣一個結論：

一個有n個元素的集合，有2n個子集；有2n-1個真子集，其中n是自然數.

對于這個結論，可以在以后的學習中，應用排列組合的知識進行解釋、論證.對于剛剛初中畢業的學生來說，舉幾個例子，說清楚應用方法即可.然而在本章復習題一中A組第2題的第（4）小題中就能用到這樣的結論.

2.（4）滿足{x，y}∪B={x，y，z}的集合B的個數是 .

當然，學生可以根據列舉法，很快得到滿足條件的集合B的個數為4.但如果我們對此題再深究一下，如，{x，y，z}∪B={x，y，z，v，w}，那么滿足條件的集合B的個數又是多少呢？顯然如果不能找出問題的本質，再用列舉的方法就比較困難了.

以上內容與結論是筆者在教學實踐中對教材內容與習題的一點心得，都是對教材內容及常用性質的深究與分析容易得到的結論.而在教材習題中這些相關結論都得到了運用和鞏固，這里提出來與同行分享，旨在對今后的教學有所裨益.一己之見，難免有偏，不妥之處望專家同行們不吝指正，謝謝！endprint