超級(jí)畫(huà)板在數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)中的應(yīng)用

陳頌軍

摘 要 超級(jí)畫(huà)板應(yīng)用在數(shù)學(xué)教學(xué)中，可以幫助學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)化歸思想、變中有不變思想、分析法與綜合法、歸納推理思想及數(shù)學(xué)美的思想。

關(guān)鍵詞 超級(jí)畫(huà)板；數(shù)學(xué)思想方法；信息技術(shù)

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：1671-489X（2017）11-0076-03

1 前言

重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是我國(guó)數(shù)學(xué)教育的一大特色。在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中，數(shù)學(xué)思想方法被明確列在課程總目標(biāo)中，強(qiáng)調(diào)要“幫助學(xué)生獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的……基本思想”。而這也使得我國(guó)傳統(tǒng)的“雙基教學(xué)”發(fā)展豐富為“四基教學(xué)”。

信息技術(shù)必須與具體課程內(nèi)容深度融合，而非簡(jiǎn)單地應(yīng)用PPT或其軟件，將信息技術(shù)簡(jiǎn)單變成板演工具，如此才能取得良好的效果。超級(jí)畫(huà)板作為一款數(shù)學(xué)家設(shè)計(jì)發(fā)明的軟件，具有“寫(xiě)”“畫(huà)”“測(cè)”“變”“編”“演”“推”“算”等八大功能。它不僅具有演示功能，更重要的是自身帶有的“數(shù)學(xué)”色彩，使得它同時(shí)具有服務(wù)數(shù)學(xué)教學(xué)研究和數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)用的雙重功能，使得它在數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用。

2 超級(jí)畫(huà)板在化歸思想教學(xué)中的應(yīng)用

化歸是與數(shù)學(xué)推理有關(guān)的、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本思想之一。使用化歸，可以把面臨的復(fù)雜難解的問(wèn)題層層轉(zhuǎn)化，變成為容易的或者學(xué)生已經(jīng)解決的問(wèn)題。它其實(shí)體現(xiàn)的也是一種基本的解決問(wèn)題的思想方法。

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是在已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上進(jìn)行的，教師的教學(xué)也應(yīng)該充分利用這些知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。如梯形是一種特殊的四邊形，它的面積公式為。這個(gè)公式學(xué)生從小學(xué)就能熟練背誦并使用。但是，它從何而來(lái)，即便是一些高中生、大學(xué)生也不清楚。其實(shí)，使用超級(jí)畫(huà)板的旋轉(zhuǎn)功能，將一個(gè)梯形繞著一條腰的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，則新圖形為平行四邊形（圖1）。這樣很容易就能說(shuō)明梯形面積是新得到的平行四邊形面積的一半。

這樣的一個(gè)簡(jiǎn)單課件，卻可以將數(shù)學(xué)結(jié)論之間的關(guān)系進(jìn)行清晰演示，讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)知識(shí)之間的互相聯(lián)系，比起讓學(xué)生死記硬背公式來(lái)得“高明”“先進(jìn)”很多。

3 超級(jí)畫(huà)板在變中有不變思想教學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)問(wèn)題給許多學(xué)生的一個(gè)普遍印象是煩瑣難求。但其實(shí)，好的數(shù)學(xué)問(wèn)題到最后的結(jié)論通常是簡(jiǎn)潔的，而且往往在復(fù)雜問(wèn)題的表面隱藏了一些簡(jiǎn)單的結(jié)論。如：在等邊三角形內(nèi)部任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到三邊的距離和為定值。這個(gè)問(wèn)題如果是采用傳統(tǒng)黑板、粉筆講授，教師通常是采用特殊點(diǎn)法；但如果使用超級(jí)畫(huà)板，則可以采用測(cè)量功能，任意改變點(diǎn)的位置，讓學(xué)生看到距離和為定值（圖2）。再結(jié)合傳統(tǒng)的取特殊點(diǎn)的方法，在確定該定值后快速幫助學(xué)生尋找到問(wèn)題證明的思路。

這一問(wèn)題還可以進(jìn)行擴(kuò)展：“假如點(diǎn)O落在了等邊三角形的外部，那么OD、OE、OF三者之間是否還存在什么確定的關(guān)系？”利用超級(jí)畫(huà)板，將動(dòng)點(diǎn)O拖到三角形外部，則容易發(fā)現(xiàn)OD+OE+OF的和不再是定值。但是，考慮到O點(diǎn)此時(shí)到了三角形外部，向量與O點(diǎn)在三角形內(nèi)部時(shí)候方向相反，所以，考慮測(cè)量OE+OF-OD，則容易發(fā)現(xiàn)它為定值，從而得到另外的一個(gè)恒等式。

超級(jí)畫(huà)板的動(dòng)態(tài)作圖與計(jì)算功能相結(jié)合，不僅可以幫助使用者做出精準(zhǔn)的圖形，這對(duì)于講求精確的數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)是很有意義的，而且能夠幫助使用者找出變化中的不變量，既可以提供解題的思路，也有利于提出新的猜想，得到新的結(jié)論，從而培養(yǎng)使用者提出問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

4 超級(jí)畫(huà)板在分析與綜合思想方法教學(xué)中的應(yīng)用

分析法和綜合法代表著問(wèn)題解決的兩個(gè)方向。分析法是執(zhí)果索因，綜合法是由因得果，兩種方法同時(shí)使用則稱為綜合法。兩種方法無(wú)論是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)還是數(shù)學(xué)解題中，都被廣泛使用。超級(jí)畫(huà)板有自動(dòng)推理的功能，使用該功能，可以輕易得到一些哪怕是比較復(fù)雜問(wèn)題的答案和推理過(guò)程。

五點(diǎn)共圓是一個(gè)很古老的數(shù)學(xué)問(wèn)題。面對(duì)超級(jí)畫(huà)板幫助得到的結(jié)論“點(diǎn)K、L、M、N、P共圓”，可以通過(guò)單擊，逐層展開(kāi)相應(yīng)的結(jié)論，從而明白相關(guān)結(jié)論的由來(lái)，這個(gè)過(guò)程是分析法的應(yīng)用過(guò)程（圖3）；而通過(guò)最后右擊相關(guān)結(jié)論的方式，在作圖區(qū)可以得到該結(jié)論的綜合法的證明過(guò)程（圖4）。

5 超級(jí)畫(huà)板在歸納推理教學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)上的推理包括合情推理和演繹推理，前者又包括歸納推理和類(lèi)比推理。歸納推理對(duì)于發(fā)現(xiàn)結(jié)論、啟發(fā)提示問(wèn)題解決的思路有積極的幫助，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維非常有意義，這也是為什么新課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生歸納推理能力的一個(gè)很重要的原因。但是使用歸納推理得到的結(jié)論，可能為真，也可能為假，這是歸納推理的一個(gè)基本特點(diǎn)。這一點(diǎn)也是學(xué)生使用歸納推理時(shí)必須非常明確的。通過(guò)使用超級(jí)畫(huà)板解決一些經(jīng)典的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可以幫助學(xué)生加深對(duì)這一特點(diǎn)的認(rèn)識(shí)。如猜想“xn-1的分解式中，xi前面的系數(shù)是否只能為0，1和-1”？使用超級(jí)畫(huà)板的因式分解功能，可以逐一檢驗(yàn)n=2，3，…，104時(shí)，結(jié)論確實(shí)是正確的；但是如圖5所示，當(dāng)n=105時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)分解式中有-2x41和-2x7項(xiàng)，從而得到結(jié)論不成立。

同樣的，1640年費(fèi)馬提出的費(fèi)馬數(shù)猜想問(wèn)題“對(duì)任一自然數(shù)n，都是素?cái)?shù)”，可以使用超級(jí)畫(huà)板很容易地得到否定的答案。

6 超級(jí)畫(huà)板在數(shù)學(xué)美思想教學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)美有不同的層次。對(duì)于廣大中小學(xué)生來(lái)說(shuō)，感受數(shù)學(xué)的理性之美并不是件容易的事情。因此，對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)美的教育，應(yīng)該更多通過(guò)他們能看得見(jiàn)的、直觀的數(shù)學(xué)美來(lái)實(shí)現(xiàn)。無(wú)論是使用超級(jí)畫(huà)板的函數(shù)作圖功能做出的蝴蝶曲線、畢達(dá)哥拉斯樹(shù)，還是使用圖形變換功能制作出的動(dòng)態(tài)地毯、萬(wàn)花筒，以及綜合各種功能做出來(lái)的各種有趣的中國(guó)象棋、乒乓球游戲作品（圖6），都可以讓學(xué)生看到數(shù)學(xué)里面蘊(yùn)含的美，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是有趣的。此外，通過(guò)讓學(xué)生動(dòng)手操作、制作課件，可以讓他們經(jīng)歷創(chuàng)造數(shù)學(xué)美的過(guò)程，體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程對(duì)學(xué)生情感、態(tài)度、價(jià)值觀的關(guān)注，幫助他們改變“數(shù)學(xué)是枯燥無(wú)味的、數(shù)學(xué)只有計(jì)算”等刻板印象。

7 結(jié)語(yǔ)

超級(jí)畫(huà)板作圖中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法還有很多，例如：圓面積公示的動(dòng)態(tài)演示中所蘊(yùn)含的有限和無(wú)限思想、極限思想，投豆實(shí)驗(yàn)中蘊(yùn)含的隨機(jī)思想，統(tǒng)計(jì)圖表制作中蘊(yùn)含的統(tǒng)計(jì)思想，等等。無(wú)論是學(xué)生還是數(shù)學(xué)教師，學(xué)習(xí)使用超級(jí)畫(huà)板這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)軟件，是一個(gè)有趣的過(guò)程。更重要的是，通過(guò)動(dòng)手操作，能增進(jìn)學(xué)習(xí)者對(duì)數(shù)學(xué)的理解，體現(xiàn)新課程所提倡的“做數(shù)學(xué)”的理念。