大同小“議” 花開點滴

邵敏偉

[摘 要] 同課異構是課堂研究的熱詞. 不同教學方式、方法、策略、手段會產生不同的教學效果，是繼承和批判的統一，通過課堂教學評議可以贏得智慧的共生.

[關鍵詞] 同課異構；教學評議；教學反思

為使教學更具有效度，往往會確定相同課題，采用不同教學方式、方法、策略、手段闡述各自的設計意圖及理念. 通過課堂教學評議發現執教者的優勢和不足，從而提高教學的有效性，這種方法即同課異構. 參與了選修1-1中《瞬時變化率——導數》第一節課的同課異構，筆者收獲了不少.

[?] 課例設計簡述

1. 教師甲

（1）創設情景，啟迪思維

問：如何計算運動物體在某一時間段內的平均速度？

問：高速公路上的限速標志限的是平均速度嗎？我們如何判斷在行駛過程中有沒有超速？

問：開車很難做到勻變速，那怎么求非勻變速汽車在某一時刻的速度大小？

設計意圖：避開學生已有的物理求解方法，引導學生關注平均速度和瞬時速度之間的關系，得出=，當Δt→0時，=→A，此時A可以看作是瞬時速度. 點出平均變化率到瞬時變化率，只需Δx→0即可.

（2）深入探究，形成概念

問：對于曲線，我們也可以通過平均變化率近似地刻畫曲線在某一區間上的變化趨勢，那么如何精確刻畫曲線上某一點處的變化趨勢呢？

問：曲線上有一點P，Q為曲線上另一點，這時直線PQ稱為曲線的割線，那么能否作出P點處更加逼近曲線的直線呢？

問：曲線上P點處的切線斜率怎么求？

設計意圖：學生自主探究，利用幾何畫板作圖、度量，引導學生得出kPQ=，并且當Δx→0時，kPQ=無限趨近于點P（xP，f（xP））處的切線斜率.

（3）應用舉例，鞏固提高

例：試求f（x）=x2在點（2，4）處的切線的斜率.

（4）反饋訓練，形成方法

練習：試求f（x）=x2+1在x=1處的切線的斜率.

（5）變式訓練，深化認知

變式：f（x）=x-1，求曲線y=f（x）在x=-1處的切線的斜率.

（6）小結反饋，加深理解

師生交流本節課的學習過程：從生活到數學、從特殊到一般、從具體到抽象，共同小結解題方法和步驟，體會“以直代曲”“割線逼近曲線”“無限逼近”“量變到質變”“近似與精確”的思想.

1. 教師乙

（1）創設情景，引入課題

某高臺跳水運動員相對水面高度h與起跳后的時間t存在函數關系：h（t）= -4.9t2+6.5t+10.

問：試比較該運動員在0≤t≤0.5和1≤t≤2內的速度大小.

問：t1≤t≤t2內運動員的平均速度在數學中有沒有什么幾何意義？

（2）歸納探究，分類剖析

問：在0≤t≤內運動員平均速度是多少？是靜止的嗎？如何精確刻畫運動員在t=2s時的速度？

設計意圖：引出瞬時速度，引導學生探究求解瞬時速度的方法.

方法1：==，利用Excel下拉列表得出瞬時速度趨近于13.1.

方法2：從圖形上來研究，表示的幾何意義是割線PQ的斜率，當Q無限趨近于P，即Δt→0時，瞬時速度趨近于13.1.

從而從數、形兩方面認知“無限逼近”“量變到質變”“近似與精確”的思想.

（3）嘗試概括，概念提升

問：函數y=f（x）在x=x0∈（a，b）處的瞬時變化率怎么表示？

設計意圖：從數、形兩方面總結求解瞬時速度的方法和步驟，得出關鍵是Δt→0，點出問題的實質是平均變化率到瞬時變化率，同時引出可導及導數的概念.

問：曲線y=f（x）在P（x0，y0）處的導數f′（x）的幾何意義是什么？

設計意圖：加深學生對導數的幾何意義的認識，進一步理解導數. 同時介紹了微積分的發展歷程，拓寬學生的知識面.

（4）應用舉例，鞏固提高

例1：將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱. 如果第t小時，原油的溫度（單位：攝氏度）為f（t）=t2-7t+15（0≤t≤8），試計算第2小時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它的意義.

設計意圖：從學生熟知的情景入手，將剛總結的思想方法學以致用.

例2：求函數y=x2在點（1，1）處的切線的斜率.

設計意圖：進一步加深學生對于導數幾何意義的認識，揭示實質是平均變化率到瞬時變化率，關鍵是Δx→0.

（5）歸納小結，提高認識

師生交流：由物理運動出發從數、形兩方面認識了導數. 實質是平均變化率到瞬時變化率，關鍵是Δt→0，進一步認知“無限逼近”與“量變到質變”“近似與精確”的思想.

[?] 課例小議及反思

1. 課例小議

（1）理念立意的契合度

教師甲立足于思想方法的遷移，而教師乙立足于知識的生成. 但最終落腳點都是讓學生在學習過程中自發認知平均到瞬時，即Δx→0這一過程. 重難點的突破都是依靠學生的自主探究來實現的，充分發揮了學生的主體性，問題的設置也是在最近發展區上進行設計和考慮的.

（2）目標線索的指向度

課標要求讓學生經歷“問題情境→建模→解釋、應用與拓展”的過程，體會導數的思想及其內涵，引導學生用心體會“無限逼近”與“量變到質變”“近似與精確”的哲學原理. 就教學目標立位來說，教師甲立足于思想方法的遷移，教師乙立足于知識體系的生成，兩者均著力滲透無限逼近，即平均變化率到瞬時變化率. 教材觀指向生活情境，目標轉化為建模，目標變遷為“無限逼近”與“量變到質變”“近似與精確”的哲學原理，而目標的實現依靠的是學生的主體性.

（3）問題構造的通達度

教師甲基于平均變化率到瞬時變化率這一過程的數學意義設置例題，教師乙基于導數的意義從數、形兩方面構造例題，在自主探究之中做到了通達. “通”指的是知其然（會解題），“達”指的是知其所以然（知道關鍵在于無限逼近），從而滲透“無限逼近”與“量變到質變”“近似與精確”的哲學原理.

（4）思維結構的理序度

教師甲按照“實際問題（平均速度）→建立模型（平均速度到瞬時速度）→數學問題（切線斜率）→建立模型（平均變化率到瞬時變化率）→應用”的思維結構展開；教師乙按照“實際問題（平均速度及相應函數圖像）→建立模型（平均變化率到瞬時變化率）→數學問題（導數的幾何意義）→應用”的思維展開. 兩者都讓學生經歷了經驗性的“學”，體驗到了超經驗的“教”，從而認知了導數的本質.

（5）方法建構的遷移度

教師甲讓學生經歷了兩次縱向遷移，即“生活（平均速度）→生活（瞬時速度）”和“數學（割線斜率）→數學（切線斜率）”的遷移；教師乙讓學生一次性經歷了兩次橫向的遷移，即“生活（物理運動的速度及圖像）→數學（瞬時速度及切線斜率）”的遷移. 兩位執教者最終都將問題上升到了“平均變化率→瞬時變化率”這一本質.

由以上分析可知，執教者設計風格迥異，處理方法也略有不同. 教師甲將重點設為平均變化率到瞬時變化率這一過程，著重于瞬時變化率的幾何意義；教師乙著重于由物理問題的數、形兩面得出導數的定義，再回頭加以認知. 雖然處理方式不同，但都遵循了生活到數學、特殊到一般、具體到抽象的原則，再將問題上升到本質，即“平均變化率→瞬時變化率”，體會“無限逼近”與“量變到質變”“近似與精確”的哲學原理.

[?] 教學有效性的幾點反思

1. 教材處理、呈現方式

同課異構，讀透教材是根本，同時還應遵循三個基本原則：基礎性、創新性、適切性. 從兩位執教者對于教材的處理來看，教師甲基本是按教材的處理方式進行的，并在原有基礎上，在開始處增加了“平均速度→瞬時速度”的過渡，以求學生能用這種方式處理相應的斜率問題. 教師乙對于教材順序進行了改編，希望能從整體編織網絡，再個中處理，立意高，適合能力較強的學生. 不過按這種方式處理時，容易造成教材處理不夠細致，如教材中所蘊含的“以直代曲”“割線逼近切線”的思想滲透不到位，需要靠后續的教學進行補救，相對而言教師甲處理得更細致一點.

兩位執教者在例題的設置上也略有不同，教師甲偏重于瞬時變化率的幾何意義，其實可以適當增加有關物理瞬時速度的例題，有利于學生能從多角度理解瞬時變化率. 教師乙偏重于從數、形兩方面對導數加以理解并引出了導數的概念，造成了內容設置過多、相應練習太少、學生理解不深刻等問題，或許本節課不出導數概念效果會更好一點.

2. 驅動方式

兩位教師都通過大量設問的方式引導學生進行自主探究. 問題的設置都是基于學生的認知基礎和思維方式設計考慮的. 對于重難點的突破都尊重了學生的主體地位. 教師乙由于需同時從數、形兩面對瞬時變化率進行考慮，所以引導痕跡略重. 在點題上升到“平均變化率→瞬時變化率”這一本質過程的時候，教師甲的處理方式顯得更水到渠成.

3. 目標達成效果

教師甲將本節課設計為：先將“平均速度→瞬時速度”的轉化方法遷移到割線斜率逼近切線斜率，再上升到“平均變化率→瞬時變化率”，為后續導數概念的學習打下了基礎. 教師乙將本節設計為：先從數、形兩方面引出導數的概念，再加深導數數學意義的理解，為后續學習鋪開了網絡. 這兩節課，學生都通過問題目標的達成將教師的設想變成了積極的思考和探索. 從學生上課的效果及作業反饋來看，都基本達到了設定的教學目標，或許在教學時再多給學生一些操作與思考空間，對教學目標的達成會更有效.

不同教學策略會產生不同的教學效果，彰顯教師的個性，是繼承和批判的統一，通過不斷學習反思，我們必將變得更好.

參考文獻：

[1] 宮前長. 關注同課異構，實施有效教學——《函數單調性》入門課同課異構的教學啟示[J]. 中學數學教學.2011年4期.

[2] 高翔，于青. 教研重心前移，另類視角下的同課異構——基于互助性教學研究的實踐策略[J]. 中小學教師培訓. 2014年4期.

[3] 朱桂鳳，孫朝仁. 研究“同課”“異構”的五種視角[J]. 上海教育科研.2014年10期.