特殊化思想在平面向量教學中的思考

袁克政

【摘要】在平面向量的教學過程中，學生們普遍認為這部分知識較為抽象，不好理解，但平面向量數量積又是江蘇高考考試說明中8個C級考點之一，其重要性是不言而喻的，雖然這部分知識比較抽象難懂，但還是要努力學好平面向量，才能輕松應對高考.作者在一堂高三數學二輪復習課的教學過程中，得到一些關于平面向量教學的反思，在此和大家分享，既有利于平面向量課堂教學，也有利于學生掌握好這部分知識.

【關鍵詞】平面向量；特殊化思想；高三數學；思考

進入高三數學二輪復習后，會與第一輪復習有明顯的區別，但也有相通之處，第一輪復習注重學生基礎知識體系的構建，第二輪復習要建立在一輪復習的基礎上，綜合性較強，更注重學生綜合解題能力的培養，培養學生站在較高的角度來觀察每一道題，善于發現每道題中所涉及的不同章節的知識點，并能將所學知識點進行橫向和縱向的比較、串聯和記憶.

作者在講授高三數學二輪復習課“平面向量數量積運算的三類經典題型”時，歸納總結出本節課是二輪復習微專題，主要講授三類題型：1.平面向量數量積的基本運算；2.利用平面向量數量積求平面向量的夾角；3.利用平面向量數量積求平面向量的模.

其中在對“題型一平面向量數量積的基本運算”進行教學設計時，考慮到目前平面向量解題主要有化歸思想以及坐標化思想，設計了以下兩道填空題：

例1（1）設四邊形ABCD為平行四邊形，|AB|=6，|AD|=4，若點M，N滿足BM=3MC，DN=2NC，則AM·NM=.

（2）已知AB⊥AC，|AB|=1t，|AC|=t，若點P是△ABC所在平面內的一點，且AP=AB|AB|+4AC|AC|，則PB·PC的最大值等于.

對于第一小題，大部分學生選擇了化歸（即利用平面向量基本定理轉化為一組基底），解法如下：

解∵AM=AB+34AD，NM=13AB-14AD，

∴AM·NM=13AB2-316AD2.

∵|AB|=6，|AD|=4，

∴AM·NM=13×36-316×16=9.

對于坐標化思想，多數學生產生畏難心理，因為建系的話，缺少平行四邊形中的角，然而，如果對該平行四邊形進行特殊化，即可輕松解決，解法如下：

解對該平行四邊形進行特殊化，轉化為我們所熟悉的矩形，那么建系就會變得十分容易.

以A為坐標原點，AB方向為x軸正半軸，AD方向為y軸正半軸，建立直角坐標系，坐標如下：

A（0，0），B（6，0），C（6，4），D（0，4），M（6，3），N（4，4），

∴AM=（6，3），NM=（2，-1），

∴AM·NM=9.

對于第二小題，由于垂直關系，優先想到建系進行坐標運算，體現了坐標化思想.

通過例1的設計，主要目的是訓練學生化歸思想與坐標化思想在平面向量解題中的應用.但是在解題過程中，坐標化運算顯然是要比用平面向量基本定理進行化歸節約時間的，在遇到不好坐標化的題目，特殊化思想就起到了重要的作用，將圖形特殊到方便建系的程度，往往將不垂直化為垂直，又如，2016年江蘇高考填空題第13題：

例2如圖所示，在△ABC中，D是BC的中點，E，F是AD上的兩個三等分點，BA·CA=4，BF·CF=-1，則BE·CE=.

分析該題若用常規解法，較為復雜，若考慮將該三角形特殊化，將其變成等腰直角三角形，以D為坐標原點，BC所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立直角坐標系，設BC長為2a，AD長為3b，因此，坐標如下：

A（0，3b），B（-a，0），C（a，0），E（0，2b），F（0，b），

∴BA=（a，3b），CA=（-a，3b），BF=（a，b），

CF=（-a，b）.

∵BA·CA=4，BF·CF=-1，

∴BA·CA=-a2+9b2=4，BF·CF=-a2+b2=-1，

∴a2=138，b2=58.

∵BE·CE=-a2+4b2，

∴BE·CE=78.

特殊化思想將該題計算大大簡化，運算量較小，學生容易掌握，容易理解.

總之，在解決平面向量填空題時，往往首選建系，進行坐標化運算，對于不容易建系的題目，嘗試采用特殊化思想將其轉化為便于建系的題目，特殊化的目的是使非坐標化題目特殊化為坐標化題目，從而進行坐標化運算.只要掌握了解題最基本思想和基礎知識，在解題時靈活運用，解決平面向量這一類問題就會變得輕而易舉.在平時的復習中，同學們一定要多加練習，掌握了基本思想以后，還要摸索出一套適合自己的解決思路，這樣在解題時會大大節約時間，輕松應對高考.