關于數學物理方程教學的一些體會

章海

【摘 要】數學物理方程是大學理工科中重要的基礎課。本文圍繞此課程教與學中的一些問題和困難，介紹了幾點個人的認識和體會。教學中應該選好教學方法、精選教學內容，以適應學生的理解能力和專業需求。要著重培養學生的自主學習能力，并對一些教學手段和課程考核方法做出改革更新。

【關鍵詞】數學物理方程；教學內容；自主學習能力

在理工類專業中，數學物理方程是一門重要的基礎必修課。本課程主要講授三類典型的數學物理方程的導出、定解問題的求解以及解的性質的探討。這門課程承上啟下，它既與更基礎的高等數學課程有直接的關系，又與很多專業的后續課程有著密切的聯系，為這些課程提供一些重要的概念、公式和計算方法。通過本課程的學習，既可以提高學生解決實際問題的能力，又能增強他們的科學素養，從而為今后的專業發展奠定良好的理論基礎。

在該門課程的教學中，學生常常反映該課程難度較大，過于理論化，計算過程復雜，教師也普遍反映講授的知識內容不好把握，總體上比較難教，教師的教和學生的學都遇到了很大的困難。這主要歸因于以下一些方面：首先，該課程會用到很多的專業知識。主要涉及到的課程有數學分析、常微分方程、線性代數、復變函數以及一些物理課程。其次，該課程具有較高的理論性，運算工作量很大。方程的主要的解法就有行波法、分離變量法、積分變換法（Fourier 變換、Laplace變換）、Green函數法等方法。在很多典型定解問題的解答過程中，計算推導過程往往復雜、冗長，學生容易在復雜漫長的板書之中迷失，容易產生畏懼情緒。再次，學生缺乏運用數學知識解決應用問題的經驗，這使得他們在做作業時會遇到很大的難度。針對以上現狀，筆者結合自身的教學實踐，談談對這門課教學的一些理解和體會。

1 選好教學方法， 適應學生的理解能力

本課程重點介紹了用分離變量法求解偏微分方程的定解問題。首先將偏微分方程的定解問題化為常微分方程的定解問題，這一步假設了方程的解具有乘性分離的形式，這正是分離變量法名稱的來源。然后確定出特征值和特征函數，這步主要是求解Sturm-Liouville問題。接下來再解其余的常微分方程，我們可以得到解的分立形式。最后為了使解滿足其余的定解條件，再把各分立解疊加成級數形式的一般解， 再借助于特征函數的正交性確定出級數中各分立解的系數。通過這種標準的求解過程的學習，可以使學生快速熟悉并掌握分離變量這一求解方程的重要方法。

再如，積分變換法是解數學物理方程的一種典型的方法。通常的教學講授順序是先講Fourier變換法，然后講Laplace變換法；最后當課時足夠時，會介紹一般的積分變換，這樣前面的兩種方法就是一般情況的兩個特例了。利用泛函分析和算子理論等工具我們可以深入研究一般的變換法，這樣就可以用演繹法給出Fourier變換和Laplace變換的一些重要結論；不僅如此，還能定義其它的積分變換，如Hankel變換、Mellin變換、有限Fourier變換等。以上這些是普通教材的講授順序，我們可以對它做一些更改、調整。比如說，我們可以首先介紹一般的積分變換，推導其性質定理，然后再用演繹法介紹Fourier變換和應用，最后講授Laplace變換和應用。這種教學方法把事物認知過程中的歸納法變為演繹法，有助于學生更清楚的認識到積分變換法的實質和共性，這是教學改革中的一些有益的嘗試。

再如，目前國內外大部分教材中，球內、外的三維Laplace方程和Poisson方程的Neumann函數都是用曲面積分與Fourier-Legendre級數導出的。但是，若學生尚未學習特殊函數的知識，這樣講述他們接受就有困難。于是，我們轉而采用定積分的辦法來構造Neumann函數。例如，對于球內的Laplace方程的Neumann問題

2 結合專業需求，精選教學內容

數學物理方程課程首先介紹一些常見和通用的基本概念和原理，比如通解、特解、線性疊加原理、齊次化原理等。然后重點闡述解方程的分離變量法，在此基礎上，引申介紹了常見的特殊函數及應用。接下來又講授求解方程的其它方法，即積分變換法、Green函數法和處理泛函極值的變分法。有些教材還會介紹偏微分方程的一些較為現代的知識和工具，如極值原理、上下解方法等。

在本課程的教學中，我們應該做到主次分明、突出重點。數學物理方程在第一章或導論部分一般會介紹一階線性偏微分方程的概念和解法，主要涉及的是線性和擬線性微分方程的特征線解法。課程的后面部分才詳細介紹二階線性偏微分方程的相關性質與解法。在教學過程中，應當強化重點，以講述二階方程為主，不講或少講一階線性方程的知識。另一方面，二階和高階偏微分方程有很多種解法，我們教學時應以分離變量法為主，簡要介紹其它一些解法，如積分變換法、變分法等。

本課程中有些常見的問題非常重要，比如一維弦振動問題。在教學中為促進學生的理解我們可以多講透一些例題。例如考慮一維弦的如下自由振動問題。

在研究解的性質時，我們難以想象出此問題解的形狀，即解函數的圖形。這時候可以借助于計算機輔助技術，用數學軟件繪制出解的圖形，從而加深學生對達朗貝爾公式和波動現象的規律的理解。

3 盡力培養學生的自主學習能力

與中學教學相比，大學階段的學習在方法上有一個質的飛躍，主要體現在自主和獨立學習能力的培養與提高。啟發式教學是教學工作中的一項重要原則。教學過程中，應該把學生當作主體，采用引導的方法，啟發他們自己思考，讓他們重現發現知識的過程。因此，教師需要在問題的引入、語言的選用和講解的順序等多個方面認真組織安排，構造問題情境。比如在講授完Laplace方程的解，即調和函數的性質之后，要啟發學生思考：波動方程、熱傳導方程又有什么樣的性質，這些不同類型方程的解在性質上差別有多大，這些差別的來源是什么？同時也可以誘導學生認識到，調和函數的優良性質不是Laplace方程特有的，實際上它是所有二階橢圓型方程共有的性質。關于橢圓型方程和橢圓算子等知識和背景，可以鼓勵有興趣的學生查閱專業文獻來做些初步了解。

培養學生自主學習能力，要重點做到以下方面：以教材為中心，指定參考書，讓學生在學習中，開闊眼界，從多個角度加深理解概念；根據教學進度，出預習思考題，使學生在學習新內容之前知道關鍵問題，在聽課時抓住重點；安排一定的教學內容讓學生自學， 數學物理方程是數學類課程中內容比較多的一門課，某些章節或例題可以留給學生自學。

例如在講授Fourier變換時，應該適時的介紹一些Fourier分析在信息科學與技術中的應用，然后教師介紹和推薦一些參考資料，讓學生課后去查找、去歸納，他們會獨立的去鉆研，這便于不斷地提高學生的自主學習能力。

課程介紹了調和函數的基本性質。利用Green函數和偏微分方程的基本解的基本概念，用初等方法給出了某些規則區域，如球、半空間和第一卦限等的Green函數，這些知識后來被用于推導調和函數的性質。通過這些內容的學習，可以讓學生了解到泛函分析這一現代數學工具在偏微分方程理論研究中的應用，從而激發學生的學習興趣。

4 改革教學手段和課程考核方法

隨著科學技術的不斷進步，逐漸出現了一些現代教學手段。多媒體教學是一種常用的現代教學方法。利用計算機輔助設備進行多媒體教學，可以大大節省教師書寫概念、定理和例題的時間，從而減輕了教師的工作強度，這不僅為老師講課提供了充裕的時間，也為學生留出獨立思考和課堂練習的時間，教師可適當調整課程內容，豐富教學內容，提高課時利用率，教學效率也相應提高了。另外數學物理方程內容比較抽象，用傳統的教學方法學生不但不好理解而且感到枯燥無味，有了多媒體的運用，教學內容更直觀更生動了，從理論到公式的推導演算都通過多媒體演示出來，把理論和實踐緊密的聯系起來，把各種內容有機地融合起來。多媒體還可以模擬一些實際問題，這可以激發學生的學習興趣，調動學生的學習積極性，從學生被動的學轉化為主動的思考，體現出教與學的過程中學生所處的主導地位。

數學實驗的方法也可以應用到課程的講授中。教學中，應把數學實驗提到一定的高度，這對培養學生綜合運用數學知識、分析解決實際問題的意識、興趣和能力有很大的促進作用，也是提高學生數學素質必不可少的一種有效手段。對每一個概念、定理、方法都應讓學生從實際問題中建立模型，再通過數學實驗來完成，在完成過程中要有完整的實驗報告，由教師在講授過程中按不同章節根據需要安排。

在實踐中，課程的考核方法也需要改革。除以基本要求為主的期末考試外，鼓勵學生寫小論文，或總結學習成果，或利用已學到知識自己提出問題、解決問題。我們已在部分教學班中試行每次都有一些好的作品。同時，知識的傳授方式要由填鴨式改為討論式。在無小班習題課的條件下，在上大課時盡量采用與學生一起提出問題解決問題的方式，這種做法常常收到較好的實際效果。在講授課程內容的過程中，應突出講授其中蘊含的最基本的數學思想。增加平時成績的考核比例，立足于課堂，并貫穿于整個教學過程，把教學目的和考查結果有機的結合起來。課堂隨時提問，回答表現良好的記上適當的分數。課堂上不定期的做一些練習，促使學生在課堂上積極思考，力求聽懂學會，每次課堂練習都記入平時成績，做的好的分數高。習題課也可以作為平時考核的一個環節，作業要注意避免學生抄襲。這些教學實踐中的措施有助于提高課堂學習的效率，讓學生自己思考和總結課程中的基本內容、重難點和方法技巧，能有效地提高學生學習的積極性和學習效果，幫助他們掌握重要的基本知識和技能，為進一步的學習和工作打下堅實的理論基礎。

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