數(shù)形結(jié)合思想在初等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

陳林水

【摘要】數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)的重要思想之一，不僅能提高學(xué)生的解題能力，更能提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力.本文通過列舉數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)、方程、不等式等三方面的應(yīng)用以及分析總結(jié)來強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合對(duì)數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；數(shù)學(xué)思想；解題能力

一、數(shù)形結(jié)合思想的介紹

數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，使“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”即抽象思維與形象思維相結(jié)合；是一種可使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化、抽象問題具體化的常用的數(shù)學(xué)思想方法，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的.

數(shù)形結(jié)合思想產(chǎn)生于公元前3400年左右，真正將“數(shù)”與“形”結(jié)合起來的當(dāng)屬古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在研究“數(shù)”時(shí)，就常常把“數(shù)”同沙礫或畫在平面上的“點(diǎn)”聯(lián)系起來，按照沙礫或點(diǎn)子的形狀將數(shù)進(jìn)行分類，進(jìn)而結(jié)合圖形性質(zhì)推出數(shù)的性質(zhì).數(shù)形結(jié)合思想的發(fā)展主要是從笛卡兒創(chuàng)造了平面直角坐標(biāo)系，此后數(shù)形結(jié)合思想得到了突飛猛進(jìn)的發(fā)展.

二、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用

（一）數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中的應(yīng)用——利用函數(shù)圖像求函數(shù)最值

總結(jié)：本題難度并不大，根據(jù)上述的分析過程，代數(shù)解題計(jì)算量非常大，而且容易出現(xiàn)討論不到位，漏掉某些情況.但是利用數(shù)形結(jié)合思想清晰明了、一目了然.再一次體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合可以把題目化難為易，化繁為簡(jiǎn).

（二）數(shù)形結(jié)合思想在方程中的應(yīng)用——運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決方程的根之間的關(guān)系

例2已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x-4）=-f（x），且在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，若方程f（x）=m，（m>0）在區(qū)間[-8，8]上有4個(gè)不同的根x1，x2，x3，x4.求x1+x2+x3+x4的值.

分析本題若用代數(shù)方法解答，因?yàn)槲粗瘮?shù)的解析式，無從入手，只能結(jié)合已知畫出大致的草圖，利用數(shù)形結(jié)合思想來解決.

設(shè)y=m，（m>0），f（x）=m，（m>0）在區(qū)間[-8，8]上的4個(gè)不同的根，

就是y=f（x）與y=m圖像的4個(gè)不同交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由圖的對(duì)稱性可得

x1+x2=-12，x3+x4=4，所以x1+x2+x3+x4=-8.

總結(jié)：本題很好地利用了函數(shù)的對(duì)稱性、奇偶性等常用的性質(zhì)來確定函數(shù)的大致圖像，這是解答本題的關(guān)鍵，對(duì)m變量設(shè)而不求，在過程中將其當(dāng)作已知量，達(dá)到設(shè)而不求的效果.當(dāng)然本題是綜合性比較高的基礎(chǔ)題，只要理清它的思路，不難將其全部理解掌握.

（三）數(shù)形結(jié)合思想在不等式中的應(yīng)用——利用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式中的參數(shù)取值范圍

例3若關(guān)于x的不等式x2<2-|x-a|至少有一個(gè)負(fù)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析本題若用代數(shù)解，過程煩瑣而復(fù)雜，且分析及演算過程極易出錯(cuò).數(shù)形結(jié)合思想是首選.

總結(jié)：很多含有字母的不等式有解、恒成立等問題，從代數(shù)的角度求解，其過程往往是煩瑣而復(fù)雜，且分析及演算過程極易出錯(cuò)，分析過程一旦出錯(cuò)，肯定會(huì)引發(fā)接下去解答的錯(cuò)誤，這時(shí)若有較好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和靈活地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，便會(huì)使問題峰回路轉(zhuǎn)，有一種“柳暗花明又一村”的感覺.不僅能簡(jiǎn)潔明了地正確解決問題，還能很好地塑造學(xué)生的自信心及學(xué)習(xí)熱情.

三、總結(jié)

通過本文對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的闡述和分析，給中學(xué)的教學(xué)方法上提供一些參考.高考《考試說明（數(shù)學(xué)）》中明確提出數(shù)形結(jié)合的思想方法是學(xué)生必須掌握的思想方法之一.在歷年的高考試題中，充分地體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，本文具有一定的參考價(jià)值.

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