對數學分析教學的幾點體會

【摘要】數學分析是大學數學專業的一門重要基礎課.本文介紹了一些數學分析授課的技巧和體會.科學引導學生入門，注意中學知識與大學知識的銜接.對授課內容要科學取舍、抓住重點和難點，授課中要注意引導學生的興趣.

【關鍵詞】數學分析；授課技巧；難點

數學分析是大學數學專業的一門重要基礎課，是考研必考的重要課程之一，也是大學后續課程的基礎.數學分析的內容，已深入滲透至許多數學分支，并在諸多自然學科有廣泛應用.研究如何科學地教授數學分析，可以更有效地培養學生的邏輯推理能力，提高他們分析和解決問題的能力.

一、科學引導學生入門，注意中學與大學知識的銜接

新生對大學開設的每門課程都流露出好奇的目光.在第一節課他們往往神情專注，充滿了對知識的渴望，因而，上好第一節課非常重要.第一節課是展現教師魅力的最好時刻，學生目光如炬地注視著教師的一舉一動，教師的每一句話對學生都會有警示和啟迪作用.因而，教師有必要在第一節課對這門課強調以下三點：是什么？為什么？怎么辦？即讓學生知道這門課的主要內容是什么，為什么學習這門課，如何學好這門課.舉例說明這門課對后續課程的影響，列舉出自己學習這門課的心得體會.對于初學者一定要把中學和大學的知識銜接好.對于中學沒有講過或沒有重點講過的知識點，我們要及時補充.比如，極坐標、一些三角函數公式和反三角函數等.可以把這些知識點做成PPT，或者其他電子課件，通過圖文并茂的方式傳授給學生，做好科學的銜接.

二、科學取舍授課內容，難點和重點要突出

教師應該在反復閱讀教材的基礎上，科學地選擇教學內容，精選講課要點.例如，對極限概念的講解是數學分析課程的重中之重，因為極限理論是數學分析的核心.由于中學階段學到的量都是靜態的量，學生很難對極限有很好的理解和掌握.進入大學后，他們接觸到的是“嚴格意義下的微積分”，對極限的嚴格數學定義很難理解.例如，數列極限的“ε-N”定義.要想讓學生真正理解什么是極限，把中學里“靜態的量”轉化為大學里“動態的量”，是一種從中學到大學思維方式的轉變.對極限概念的講解一般從數列的無窮小的變化過程講起.讓學生深刻認識到無窮小到底是靜態的還是動態的量，無窮小是零嗎？這些問題很多學生是模糊的.即便是偉大的科學家牛頓當時也是困惑的.貝克萊指出：“牛頓在求導數時認為無窮小既等于零又不等于零，招之即來，揮之即去.”我們的學生也會想當然地認為無窮小就等于零.而無窮小是一類趨向于零的數列或函數，它是一個動態的變化過程.為了讓學生對概念進行充分理解和掌握，首先，要完整地給出概念的具體背景，通過多舉例、多分析講清概念的來龍去脈.其次，密切結合中學的數學知識和一些初等微積分的內容，利用悖論和反例使學生體會到微積分嚴格化的必要性.

數學分析的另外一個難點是三個“一致”，即一致連續、一致有界、一致收斂.我們知道這三個“一致”是最難講解清楚的.一致連續是一個整體變化過程，它要依賴一個所給的區間.判定一個函數的一致連續與非一致連續依賴于區間的選擇.我們可以使用定義、柯西收斂原理，也可以使用歸結原則，總之方法靈活多變，講解需要多舉例、多分析、抓住要害.而一致收斂是函數列和函數項級數這一章的難點.函數列的一致收斂也是一個整體概念，它的收斂要依賴函數列的整體定義域.判定一個函數列在所給定義域上是否一致收斂是初學者的難點，方法靈活多變，對余項準則和柯西一致審斂原理的使用要求要熟練.總之，在講解三個“一致”時，例題要精選，多舉范例和反例，讓學生真正體會到“一致”與“非一致”的異同.

三、授課中如何引導學生的興趣

在數學分析的教學中，教師培養學生對該課程的興趣，調動學生的學習積極性，是十分重要的.“當你喜歡一個人的時候，他的一舉一動，一點變化你都看在眼里，別人都變成了常數，他才是唯一的變量，只為他傾倒，如此偏愛成為偏導.”這段近期被瘋轉的微博出自浙江大學數學系教授蘇德礦.學生都尊稱他為“礦爺”，他的數學課程生動活潑，人氣很旺，學生很期待聽他的課.而在他的數學世界里，許多抽象的概念和公式都可以找到生動的類比.教師在課堂上如何才能引起學生的興趣呢？很多數學大師認為，教師必須對該課程了解得既要深入又要寬廣，站在科學的最前沿，要不斷更新自己的知識體系，這樣在教學中才能體現個人魅力.教師在講解某些著名定理時，如果能穿插數學名人小故事，既可以活躍課堂氣氛，也能使學生對定理記憶深刻.例如，在講到拉格朗日定理、柯西定理和阿貝爾定理時，給學生插入一些關于這些數學名人的小故事，學生立刻會興趣盎然.關于柯西的故事很多，他首先是個高產數學家，一生發表了800多篇論文，可以說是一個數學傳奇人物，有關他的有趣傳聞也很多，教師可以選擇適合自己教學內容的故事.學生在學習知識的同時也學到和記住了前人進行科學探索的方法.教師只要舍得付出辛苦，把自己的能力兌換成充滿笑聲的課堂是能夠實現的.

【參考文獻】

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