“空間向量的數(shù)乘運(yùn)算”課堂實(shí)錄*

●徐春波

(鄞江中學(xué)，浙江 寧波 315151)

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“空間向量的數(shù)乘運(yùn)算”課堂實(shí)錄*

●徐春波

(鄞江中學(xué)，浙江 寧波 315151)

文章運(yùn)用類比的方法學(xué)習(xí)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算，從概念的類比到運(yùn)算的類比，再到運(yùn)用向量類比證明三點(diǎn)共線與空間四點(diǎn)共面問題.整節(jié)課圍繞課本中的一個四棱錐進(jìn)行拆裝組合,展示出任課教師設(shè)計(jì)主線清晰，課堂結(jié)構(gòu)合理、流暢自然等特點(diǎn).

數(shù)乘運(yùn)算;共線向量;共面向量

1 課堂背景

本課例曾參加浙江省高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課比賽．賽事的主題是“高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式改進(jìn)研究”，旨在展示各地優(yōu)秀課改成果和教師課堂教學(xué)風(fēng)采，引領(lǐng)新一輪課堂教學(xué)模式的改進(jìn).“空間向量的數(shù)乘運(yùn)算”是筆者參賽的一節(jié)課，獲省一等獎．

2 教學(xué)定位

2.1 教材分析

教科書在本小節(jié)首先類比平面向量的數(shù)乘運(yùn)算引出空間向量的數(shù)乘運(yùn)算以及數(shù)乘運(yùn)算的分配律和結(jié)合律，進(jìn)而分別給出了空間向量共線和共面的定義，并進(jìn)一步研究了空間向量共線和共面的問題.本小節(jié)的教學(xué)目標(biāo)是要求學(xué)生掌握空間向量數(shù)乘運(yùn)算的定義和運(yùn)算律，了解共線(平行)向量、共面向量的意義，掌握它們的表示方法，能理解共線向量和共面向量的定理及其推論，并能運(yùn)用它們證明空間向量共線和共面的問題.

2.2 學(xué)情分析

在學(xué)生掌握了空間向量加法運(yùn)算的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算應(yīng)該沒有困難，但對共面向量定理的理解和對“四點(diǎn)共面”問題的處理困難較大，疑惑不解，需要教師啟發(fā)引導(dǎo).

根據(jù)以上學(xué)情設(shè)置教學(xué)重難點(diǎn)如下：

重點(diǎn)：共面向量概念、空間向量共線定理及推論、空間向量共面定理及推論．

難點(diǎn)：共面向量定理及推論和四點(diǎn)共面的判定.2.3 教學(xué)目標(biāo)

1)掌握空間向量數(shù)乘運(yùn)算的定義和運(yùn)算律.了解共線(平行)向量、共面向量的意義，掌握它們的表示方法.能理解共線向量和共面向量定理及其推論，并能運(yùn)用它們證明與其相關(guān)的簡單問題.

2)經(jīng)歷知識形成探索過程，逐步體會由特殊到一般和平面到空間的思維方法；體驗(yàn)“類比”“轉(zhuǎn)化”“數(shù)形結(jié)合”等思想在空間向量中的應(yīng)用.

3)通過“類比”“轉(zhuǎn)化”“數(shù)形結(jié)合”等思想的應(yīng)用，讓學(xué)生感受和體會數(shù)學(xué)思想的魅力.

2.4 教學(xué)策略分析

整節(jié)課兩條主線貫穿始終．明線以閱兵式直升機(jī)“70”編隊(duì)出發(fā)提出問題，隨后分析三點(diǎn)共線及四點(diǎn)共面問題，再應(yīng)用到實(shí)際問題中解決問題．暗線以一個幾何體“四棱錐”為背景，從基本模型中獲得知識和方法．運(yùn)用啟發(fā)引導(dǎo)式教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生完成由平面到空間類比，引導(dǎo)學(xué)生體會降維的數(shù)學(xué)思想方法.

3 課堂實(shí)錄

環(huán)節(jié)1 視頻引入，提出問題.

(欣賞：抗日戰(zhàn)爭勝利70周年閱兵式剪輯.)

師：把畫面切換到這張漂亮的圖片當(dāng)中．威武雄壯的閱兵方陣經(jīng)過天安門廣場，讓我們感到無比自豪．更讓我感興趣的是直升飛機(jī)“70”編隊(duì)隊(duì)形是如何保持的．據(jù)說前后左右相鄰兩架飛機(jī)的間距不能超過20米，0.2秒的疏忽就可能造成相撞，飛行難度可想而知．

師：如果把飛機(jī)看成質(zhì)點(diǎn)，我們能不能判斷紅線所劃的3架飛機(jī)在同一直線上？能不能來判定其中的4架飛機(jī)在同一個平面內(nèi)呢？假如我們在天安門某處找一個地面的觀測點(diǎn)，用向量的方法能不能解決三點(diǎn)共線和四點(diǎn)共面呢？這就是我們今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容．請看課題“空間向量的數(shù)乘運(yùn)算”．

環(huán)節(jié)2 微課復(fù)習(xí)，類比學(xué)習(xí).

(播放微課：平面向量數(shù)乘運(yùn)算的相關(guān)知識.)

師：我們把畫面定格在表1中．其中有一句話“空間中任意兩個向量總是共面的”特別需要關(guān)注．我們知道空間向量的數(shù)乘研究的就是兩個向量的關(guān)系，因此表1中平面向量數(shù)乘運(yùn)算的知識可以類比到空間向量中來．

表1 向量的數(shù)乘運(yùn)算

師：對于空間向量共線是這樣表述的:表示空間向量的有向線段所在直線“平行”或“重合”．這和平面向量的表述本質(zhì)上是一致的．在平面向量中我們已學(xué)過共線向量的充要條件，稱之為共線向量定理．大家回憶一下，向量a與非零向量b共線等價于什么？請你來說一說.

圖1

生：a=λb.

師：請坐，非常好！接下去，我們將圍繞這些知識展開，大家把目光聚焦到黑板上這個四棱錐(如圖1)．

(展示PPT：在四棱錐O-EFGH中，底面EFGH為平行四邊形，點(diǎn)A,B,C,D分別是OE，OF，OG，OH的中點(diǎn).)

生：平行向量．

師：也就是共線．那么從數(shù)量上的關(guān)系來看看呢？

生：共線．

師：它們滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？

師：這些運(yùn)算涉及到的實(shí)際上就是向量的數(shù)乘運(yùn)算．請大家看圖2(展示PPT)，請問a和p共線嗎？

生：不共線．

師：我們知道空間向量可以自由平移，那么能不能把a(bǔ)移到p所在的平面內(nèi)?比如……

生：移到平面EFGH．

圖2 圖3

師：能不能在空間中找到一個平面和這兩個向量所在直線都平行？

生：能，平移平面EFGH．

師：很好，把平面EFGH稍稍平行移動一下即可．空間內(nèi)的兩個向量總是可以平移到同一個平面．這樣，給出共面向量的概念：我們把平行于同一個平面的向量叫做共面向量．如果給出3個空間向量呢？如圖3，向量a,b,p共面嗎?

生：不共面．

師：請?jiān)僮屑?xì)想一想．

生：a和b共面，移上去就共面了．

師：回答得非常好．你能不能在這個圖形中找一個向量(比如以A為起點(diǎn))與所給出的a,b不共面？

師：你還能給出其他的嗎？

師：很好！如果3個向量無論怎么平移都不能移到同一個平面內(nèi)，就說它們是不共面的3個空間向量．我們怎么來判斷空間中的3個向量是共面的呢？反過來說，如果空間中的3個向量是共面的，它們又會滿足怎樣的等量關(guān)系呢？下面請大家通過小組合作探究來完成這個工作．

環(huán)節(jié)3 小組合作，突破難點(diǎn).

圖4

探究內(nèi)容：如圖4，對于空間任意兩個不共線的向量a，b,如果p=xa+yb,那么向量p與向量a,b有什么位置關(guān)系？反之，向量p與向量a,b有什么位置關(guān)系時，p=xa+yb？

師：第一小組請回答：如果p=xa+yb,則向量p與向量a,b有什么位置關(guān)系？

生：共面．

師：你能解釋這個等量關(guān)系嗎？

生：平面內(nèi)一個向量能用另外兩個不共線向量來表示．

師：很好！怎么看待這兩個向量的和．

生：平行四邊形的對角線表示的向量.

師：很棒！p就是xa,yb這兩個向量構(gòu)成的平行四邊形的對角線．

師：追問p與xa,yb共面嗎？

生：共面．

師：向量xa與a是什么關(guān)系？

生：平行向量．

師：也就是共線向量．a(chǎn)可以移到p,xa,yb所在的平面．向量b可以嗎？

生：也可以．

師：非常好！這3個向量是什么關(guān)系呀？

生：共面．

師：第二小組請回答：反過來，向量p與向量xa,yb有什么位置關(guān)系時，p=xa+yb？

生：共面.因?yàn)閜能用向量a,b來表示，所以它們在同一平面內(nèi)，如果不在同一平面內(nèi)，p不能用a,b表示．

師：非常好！在平面向量中，若a,b是不共線的兩個向量，那么p與a,b在同一平面內(nèi)，與之有關(guān)的一個非常重要的定理是什么？

生：平面向量基本定理．

(PPT展示平面向量基本定理.)

平面向量基本定理 如果兩個向量a，b不共線，那么對于平面內(nèi)任意向量p，有且只有一對實(shí)數(shù)x,y,使p=xa+yb.

師：剛才我們從正、反兩個方面研究了3個空間向量，得到一個與之相關(guān)的空間向量共面定理．

(PPT展示空間向量共面定理.)

共面向量定理 如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y),使p=xa+yb.

師：這兩個定理有沒有本質(zhì)上的區(qū)別？

生：都是用不共線的兩個向量來表示，沒有本質(zhì)區(qū)別．把這兩種關(guān)系聯(lián)系起來看，空間中的共面向量定理其實(shí)是平面向量基本定理的推廣．

師：非常好!

環(huán)節(jié)4 分析問題，解決問題.

師：再來研究環(huán)節(jié)1提出來的三點(diǎn)共線和四點(diǎn)共面問題．

(學(xué)生跟著教師的指導(dǎo)，得出結(jié)論1.)

師：再類比下去還能得到什么？

師：非常好，同學(xué)們先自己嘗試著做一下．

學(xué)生獨(dú)自化簡，教師巡視，用手機(jī)拍下學(xué)生的演算過程，并展示在投影上.教師闡述運(yùn)算過程，得出結(jié)論2.

其中x′+y′+z′=1.

環(huán)節(jié)5 鞏固新知，實(shí)際應(yīng)用.

師：在實(shí)際問題中該怎樣來解決四點(diǎn)共面問題呢？假如我們要把飛行的難度再加大點(diǎn)，如：雙層飛行或者多層飛行表演，不妨來看例1．

圖5

師：把圖5中的各點(diǎn)看成飛機(jī)，也就是雙層飛行表演．如果要證明其中的4個點(diǎn)在同一平面內(nèi)，現(xiàn)在可以用什么方法？

生：向量共面的方法．

生：共線．

生：可以．

生：可以．

師：請大家接下去自己思考，把證明過程整理一下．

學(xué)生獨(dú)立完成證明過程，教師巡視，適當(dāng)指導(dǎo)，用手機(jī)拍下其中一位同學(xué)的證明過程在投影上演示，教師闡述其證明過程并在PPT上給出給出嚴(yán)格的證明過程．

師：這個證明過程大致可分為3步：第一步，把幾何條件轉(zhuǎn)化成向量表示；第二步,進(jìn)行向量的運(yùn)算；第三步,把向量結(jié)論轉(zhuǎn)化成我們想要的幾何結(jié)論．這就是我們今后在立體幾何學(xué)習(xí)中，用向量法解決立體幾何問題的三步曲．

環(huán)節(jié)6 課堂小結(jié)，提升認(rèn)識.

師：下面，我們對這節(jié)課進(jìn)行小結(jié)．我們可以從知識、方法、思想這3個角度來反思．大家一起說好嗎？今天我們學(xué)習(xí)了……

生：空間向量數(shù)乘運(yùn)算、向量共線與共面、三點(diǎn)共線以及四點(diǎn)共面的判斷．

師：非常好！從思想方法的角度來講呢？

生：類比、等價轉(zhuǎn)化．

師：這節(jié)課我們首先是從平面向量的數(shù)乘運(yùn)算類比到空間向量的數(shù)乘運(yùn)算．其次，又解決了向量共線、向量共面，在此基礎(chǔ)上研究了三點(diǎn)共線及四點(diǎn)共面問題．

開普勒曾經(jīng)說過：“我珍惜類比勝于任何別的東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然界的秘密．”學(xué)習(xí)空間向量可類比平面向量．

?2017-03-17；

2017-04-20

徐春波(1979-)，男，浙江寧波人，中學(xué)高級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

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1003-6407(2017)08-20-04