怎樣解題*
——從三角形的內(nèi)角和說起

●王 強

(鐘英中學(xué)，江蘇 南京 210002)

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怎樣解題*
——從三角形的內(nèi)角和說起

●王 強

(鐘英中學(xué)，江蘇 南京 210002)

當(dāng)遇到一個新的問題時，首先可以從特殊情形出發(fā)猜想出結(jié)論，并提煉出解決問題的方法，然后回到一般情況下，猜想結(jié)論是否成立并給出驗證；其次可以將問題的條件一般化，從而推廣結(jié)論，或者將問題的條件特殊化使得結(jié)論得以加強.這就是波利亞《怎樣解題》中特殊化與一般化的解題方法，值得每一位教師和學(xué)生學(xué)習(xí).

怎樣解題;一般化;特殊化

1 背景描述

江蘇省南京市秦淮區(qū)中學(xué)數(shù)學(xué)教研室開展以學(xué)習(xí)波利亞《怎樣解題》中的思想方法為綱領(lǐng)，在各個年級開展“怎樣解題”活動.筆者有幸在初一年級開展此研究課，基于初一學(xué)生“知識儲備少，數(shù)學(xué)思維能力弱”的前提，從最基本的動點問題滲透解題教學(xué)中“特殊與一般”的思想方法.當(dāng)遇到一個問題無從下手時，可以從最特殊的情形出發(fā)，得出特殊情形下的結(jié)論，基于特殊情形下的結(jié)論猜想出一般情形下的結(jié)論，再通過證明驗證結(jié)論，這是數(shù)學(xué)研究最自然的辦法之一，同時也是解題教學(xué)中的重要方法之一.

正如波利亞所說：“沒有一道題目可以解決得十全十美，總存在值得我們探究的地方.”我們繼續(xù)研究解題，然后將問題條件一般化；或者將問題條件特殊化，加強結(jié)論，最終從特殊走向一般的是要教會學(xué)生解題方法.

2 課堂實錄

環(huán)節(jié)1 回顧三角形內(nèi)角和定理——明確特殊與一般的思想方法.

師：請同學(xué)們來復(fù)述一下三角形的內(nèi)角和定理.

生1：三角形的內(nèi)角和是180°.

師：你能否通過一些特殊的例子得到三角形的內(nèi)角和是180°?

生2：一副三角板的3個角分別是30°，60°,90°或45°,45°,90°，內(nèi)角和是180°.

生3：可以通過將△ABC的頂點A壓縮至邊BC上，這時可以發(fā)現(xiàn)∠B，∠C都是0°，而此時的∠A的度數(shù)是180°，通過這個特殊的位置猜測出三角形的內(nèi)角和是180°.

生4：也可以通過將邊BC無限地縮小，會發(fā)現(xiàn)此時∠A接近于0°，∠B與∠C的度數(shù)都接近于90°，此時也可以猜測出三角形的內(nèi)角和是180°.

師：這3位同學(xué)講得很好.通過將幾何圖形經(jīng)過適當(dāng)變形之后，也就是我們通常所說的圖形特殊化后，可以得到一個結(jié)論，這個結(jié)論也許就是在一般情形下的答案.這樣一種研究解題的方法就是美國著名數(shù)學(xué)教育家波利亞提出的“特殊與一般”方法.正如哲學(xué)家康德所說：人的認識從感覺開始，再從感覺上升到概念，最終形成思想.今天，老師將帶領(lǐng)大家用這樣一種辦法來研究怎樣解題，體驗特殊與一般的魅力.

思考 生3的回答是源于蘇教版教材七年級下的閱讀材料，之前學(xué)習(xí)三角形內(nèi)角和內(nèi)容時已經(jīng)讓學(xué)生自己閱讀過，在上公開課時學(xué)生能想到此方法，說明學(xué)生對于特殊化思想還是有印象的，生2的回答是特殊化的具體表現(xiàn).在課堂中，生4的回答讓我們感到很“驚艷”，筆者之前也沒有想到這個辦法，說明只要引導(dǎo)到位，自然生成總是那么自然.

環(huán)節(jié)2 經(jīng)典例題探究——特殊中見一般.

題目 強老師給愛好學(xué)習(xí)的小茗同學(xué)提出這樣一個問題：

圖1

如圖1，在△ABC中，AB=AC，點P為邊BC上的任意一點，過點P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D,E,則PD+PE等于三角形中哪條線段的長？

學(xué)生陷入思考.

生5：老師，憑我的感覺，應(yīng)該是AB邊上的高.

師：你是怎么想到的？

生5：根據(jù)剛才您說的辦法，由于點P是BC上任意一點，我把點P的位置特殊成點C，此時PD+PE就是點C到AB的距離.

師：這個想法很好，假設(shè)點C到AB的距離是CG，下面我們嘗試證明這個結(jié)論.

教師板書：PD+PE=CG?并給學(xué)生3分鐘時間思考，然后巡視，大約有5人做出這道題目.

師：大家思考一下，點P除了可以特殊化成點C，點P在邊BC上還有什么特殊位置？

生(大部分學(xué)生)：中點.

師：中點讓你聯(lián)想到了什么？

生6：老師，點P是中點讓我想到了中線AP，此時△ABP與△ACP的面積相等，都等于△ABC的面積一半.

師：說得非常好.(停頓兩秒)如果點P不是中點，那么在移動過程中，△ABP與△ACP的面積有什么關(guān)系？有沒有不變的量?

短暫停頓后，教師看到學(xué)生恍然大悟的表情，大約2分鐘后班上多數(shù)學(xué)生找到了解題思路.

師：請同學(xué)們來講講如何思考？

生6：聯(lián)結(jié)AP，由S△ABC=S△ABP+S△ACP，易得結(jié)論.

師：回答得很精彩，掌聲鼓勵.我們發(fā)現(xiàn)S△ABC=S△ABP+S△ACP，這個方法很好，這是我們俗稱的“等面積法”，大家注意提煉題目中的“變與不變”.PD+PE等于點C到AB的距離是怎么算出來的？

生7：因為AB=AC，在上述的等式兩邊同時除以AB，可得要求的結(jié)果.

思考 這個環(huán)節(jié)是本節(jié)課的第一個難點，題目的結(jié)論是開放性的，需要學(xué)生猜測出結(jié)論，而猜測出結(jié)論就需要將點P移動到兩個端點處，得到PD+PE是腰上的高.從課堂效果看，這個結(jié)論對于學(xué)生來說相對簡單，至于結(jié)論是否正確需要我們?nèi)ヲ炞C.引導(dǎo)學(xué)生將點P特殊化成中點的目的是提示他們得到面積相等，以及聯(lián)結(jié)輔助線AP的做法，從而在任意的點P處想到聯(lián)結(jié)AP，尋找在此過程中的變與不變，其中S△ABP+S△ACP的值不變.此題解決的另一個關(guān)鍵點是△ABC是等腰三角形.

環(huán)節(jié)3 問題拓展——從特殊走向一般再走向特殊.

師：正如美國著名數(shù)學(xué)教育家波利亞所說：沒有一道題可以解決得十全十美，總存在值得我們探究的地方.剛才我們研究的點P是在線段BC上的一個動點，點P還可以在什么位置？

思考片刻，學(xué)生小組之間交流.

生8：如果點P不在BC上，可以在三角形內(nèi)部，把點P放在△ABC的內(nèi)部.

生9：點P也可以在BC的延長線上.

生10：點P也可以在△ABC的外部.

師：關(guān)于點P的位置，除了在線段上，也可以在BC的延長線上，也可以在三角形內(nèi)部、三角形外(板書)……，我們先來研究一下點P在線段BC的延長線上，然后再探究點P在三角形內(nèi)部時，PD，PE和CG的數(shù)量關(guān)系.

拓展1 強老師給愛好學(xué)習(xí)的小茗同學(xué)又提出這樣一個問題：如圖2，在△ABC中，AB=AC，點P為BC延長線上的任意一點，過點P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D,E,則PD,PE,CG三者有何關(guān)系？

師：請大家將PD,PE畫出來，并思考此時PE是哪個三角形的高?

請學(xué)生上黑板板演(5分鐘)，教師巡視.

生11：PE是△APC的高，可以發(fā)現(xiàn)S△ABP-S△ACP=S△ABC,故PD-PE=CG.

師：講得真好，依然用等面積法，只不過此時面積最大的三角形是△APB.

圖2 圖3

當(dāng)點P為△ABC內(nèi)任意一點時,又可以得到：

拓展2 強老師給愛好學(xué)習(xí)的小茗同學(xué)再提出這樣一個問題：如圖3，在△ABC中，AB=AC，點P為△ABC內(nèi)任意一點，過點P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D,E,則PD+PE等于三角形中哪條線段的長？

生12：等于CG.

生13：肯定不等于CG，若點P靠近點A時，發(fā)現(xiàn)線段和接近于0，但點P靠近點C時，線段和接近于CG的長度.

師：講得好，這就是我們不久前學(xué)習(xí)過的舉反例，精彩，完美！

生14：如果點P在三角形內(nèi)部，可以發(fā)現(xiàn)S△ABC≠S△ABP+S△ACP，因此點P在內(nèi)部是不行的.

生15：把△PBC的面積加進來，添加輔助線PF⊥BC于點F，就可得PD+PE+PF和CG之間的關(guān)系.

生16：雖然S△ABC=S△ABP+S△ACP+S△BCP，但是由于AB≠BC，不能同除以AB，沒有辦法繼續(xù)做下去，因此將點P放在三角形內(nèi)部不合適.

師：講得很有道理，這就是舉反例的魅力啊!那么在什么情況下，PD+PE+PF可能會等于CG?

生：等邊三角形.

思考 在這個環(huán)節(jié)，筆者的上課過程明顯感到很順暢，師生互動較好，許多問題迎刃而解.特別地，我們將一個問題條件進行改編，有時問題的結(jié)論依然成立，有時問題的結(jié)論并不成立，但將點P放在三角形內(nèi)，通過特殊化點P的位置易得PD+PE的長度跟腰高沒有關(guān)系.有學(xué)生想到了這題的本質(zhì)是面積的和差，想到添加△PBC的面積，但依然解決不了問題，此時將等腰三角形改成等邊三角形就很自然了.問題改編的思路是將條件特殊化，最終的結(jié)論將變得更強.

環(huán)節(jié)4 深入剖析——方法遷移一般化.

師：回顧剛才的拓展2，不能繼續(xù)做下去的原因是不能同除以AB或者BC，若AB=BC，則有：

拓展3 如圖4，已知點P為等邊△ABC內(nèi)任意一點，自點P向3條邊作垂線PD,PE,PF，點D,E,F分別為垂足，探究PD+PE+PF與△ABC高的關(guān)系？

生17：由于S△ABC=S△ABP+S△ACP+S△BCP，因此PD+PE+PF=h，其中h是三角形的高.

師：同學(xué)們，我們發(fā)現(xiàn)了這么漂亮的一個等式，h是任意邊上的高，由于△ABC是等邊三角形，因此各邊上的高都相等.那你有沒有想過若一個三角形的3條邊不相等，是否也有類似的結(jié)論呢？

圖4 圖5

拓展4 如圖5，已知點P為任意△ABC內(nèi)任意一點，自點P向3條邊作垂線PD,PE,PF，點D,E,F分別為垂足，探究PD,PE,PF與△ABC高的關(guān)系？

師：拓展4留作大家課后思考，下面請同學(xué)們回顧這節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容？

生18：今天我們學(xué)習(xí)了特殊與一般的方法，可以將問題特殊化之后，猜想結(jié)論，最終證明結(jié)論.

師：很好.我們首先將問題特殊化，在特殊中見一般；然后在拓展中一般化和拓展中特殊化；最終形成方法遷移的一般化.也就是今天這節(jié)課中特殊與一般的解題思想.

3 教學(xué)分析

3.1 基于教學(xué)內(nèi)容的思考

本節(jié)課以學(xué)生熟悉的等腰三角形的高為載體，運用“特殊與一般”的思想方法，教師主導(dǎo)和學(xué)生主體建構(gòu)的教學(xué)手段和“等面積法”應(yīng)用貫穿始終，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷整個探究的過程.例題中聯(lián)結(jié)AP是這道題目的難點，筆者通過試講發(fā)現(xiàn)這條輔助線對學(xué)生來說是一個障礙，因此教師主導(dǎo)的地位應(yīng)發(fā)揮作用.通過不斷引導(dǎo)、思考、設(shè)問、思考、追問、討論，提示學(xué)生找到中點P這樣一個特殊位置，發(fā)現(xiàn)中點P與中線AP之間的密切聯(lián)系，以及過點P向兩腰作垂線，找到了點P在變化過程中的不變——面積.

考慮到對初一學(xué)生而言，做鈍角三角形的高也是難點，拓展1也仍然是開放性問題，果斷地加入畫高環(huán)節(jié)，體現(xiàn)了“做中學(xué)”的想法，筆者認為這是本節(jié)課中的亮點之一.對于點P為△ABC內(nèi)任意一點，探究PD+PE與CG的關(guān)系，我們通過舉反例將問題巧妙解決，但在解題過程中，不滿足結(jié)論到此為止，適當(dāng)增加了輔助元素，將題目的條件進行加強，得到更加精美的結(jié)論，如拓展3，鑒于時間原因未能完成拓展4，是這節(jié)課的一個遺憾.

3.2 基于數(shù)學(xué)思想的思考

數(shù)學(xué)思想方法是基于先前的基本活動經(jīng)驗，在實踐中不斷地思考與回顧，形成自己的解題感悟與方法.而學(xué)生只有經(jīng)歷了探究的過程，才知道哪里是真正的難點和突破口，最終形成思想.本節(jié)課是基于波利亞怎樣解題策略中的“特殊與一般”的思想，整節(jié)課從特殊到一般，猜想結(jié)論，從而證明結(jié)論，或者通過舉反例將結(jié)論否定，整條主線脈絡(luò)清晰.

3.2.1 幾何圖形的一般與特殊化

平面幾何圖形由點線構(gòu)成，幾何體由點線面構(gòu)成,這些屬于基本要素.而從平面圖形到立體圖形就是一個一般化的過程.研究三角形從一般的三角形入手，到等腰三角形最終到等邊三角形；從一般的四邊形到平行四邊形到菱形或矩形，最終到正方形的研究，都是基于一般到特殊的研究.因此方法的研究便可以遷移了，例如從一般的多面體到特殊的多面體；研究三角形三邊之間的關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；初中階段最容易想到的直角三角形勾股定理.

3.2.2 代數(shù)推理的一般與特殊化

例如我們研究(a+b)2，其實就是(a+b)(c+d)的特殊形式，因此乘法公式就是一般多項式乘法基礎(chǔ)上研究特殊多項式的乘法.基于(a+b)2的研究順利地過渡到(a+b)3，最終到達(a+b)n的研究，這就是高中所學(xué)的二項式展開定理.初中階段推導(dǎo)基本不等式，都是先通過舉一些具體的數(shù)字代入，比較a2+b2和2ab的大小，最終猜想出結(jié)論a2+b2≥2ab，最終通過完全平方公式進行證明.高中階段學(xué)習(xí)的橢圓、雙曲線、拋物線的概念可以轉(zhuǎn)化成為動點到定點的距離和定直線的距離，俗稱圓錐曲線的統(tǒng)一定義，這也是從特殊到一般的生成.

3.2.3 函數(shù)研究的一般與特殊化

3.2.4 點線面位置關(guān)系的一般與特殊化

蘇教版教材七年上冊研究“平面圖形的基本認識”中提到兩條直線的平行與垂直關(guān)系，高中階段加入兩條直線異面的位置關(guān)系，引入兩條直線夾角問題.從線面的位置關(guān)系聯(lián)想到面面位置關(guān)系，面面平行、面面垂直、以及面面形成的二面角問題，都是從特殊到一般的發(fā)展，有一定的研究意義.

無論是在教學(xué)內(nèi)容上的思考，還是在思想方法上的反思，解題教學(xué)一定要基于“理解數(shù)學(xué)”這個前提.只有理解了數(shù)學(xué)，才能更好地理解學(xué)生和理解教學(xué)，這其中“特殊與一般”的思想方法應(yīng)用相對較多，我們要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思考，最終讓學(xué)生從“怎樣解題”到“學(xué)會解題”.

?2017-04-18；

2017-05-21

江蘇省南京市教育科學(xué)十三五規(guī)劃個人課題“波利亞的怎樣解題策略在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用”(Dc1846)

王 強(1987-)，男，江蘇南京人，中學(xué)一級教師.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)08-16-04