排列組合中“算錯(cuò)”的兩大原因分析*

●侯勝哲

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東 廣州 510631)

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排列組合中“算錯(cuò)”的兩大原因分析*

●侯勝哲

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東 廣州 510631)

文章對(duì)高中學(xué)生在排列組合問題中出現(xiàn)的常見錯(cuò)誤進(jìn)行分析整理，挖掘出錯(cuò)的深層原因，幫助學(xué)生真正理解解決排列組合問題的思考方式.同時(shí)針對(duì)常見的兩種錯(cuò)誤分別給出糾正辦法，介紹了容斥原理和分類討論的思想,幫助學(xué)生解決在排列組合問題中總是算錯(cuò)的疑惑.

排列組合；容斥原理；分類討論；多加漏減

在解決排列組合問題上，學(xué)生常常會(huì)遇到這樣的情況，認(rèn)為自己的分析很有道理，但是一對(duì)照參考答案發(fā)現(xiàn)并不一樣，卻找不出到底哪里出了問題，這該怎么辦呢？筆者針對(duì)這樣的問題進(jìn)行探討，找出邏輯上容易疏漏的因素分析了兩大原因，供讀者解惑.

1 兩條件可以疊加，用容斥原理改善

例1 有數(shù)1,2,3,4,5,6,7，求作成1與2相鄰或3與4相鄰的全排列個(gè)數(shù).

可是一對(duì)照參考答案后發(fā)現(xiàn)答案是2 400，上面的分析錯(cuò)在哪兒？教師上課的例題“有數(shù)1，2,3,4,5,6,7，求作成1與2相鄰的全排列個(gè)數(shù)”不就是用捆綁法做的嗎？難道出什么問題了嗎？思來想去發(fā)現(xiàn)，多加了一個(gè)條件就行不通了，加了“或3與4也相鄰”，似乎就有一部分多算了，多算了什么呢？請(qǐng)大家先自己思考一下.下面先介紹“容斥原理”，學(xué)了這個(gè)原理后，學(xué)生對(duì)這樣的題目就會(huì)有更深的認(rèn)識(shí).

容斥原理可以有多種方法來講解，但筆者認(rèn)為容斥原理的核心就是“畫圖”，于是筆者通過圖像來講解.

圖1

如圖1，如果被計(jì)數(shù)的事物有3類，用集合A,B,C來表示，那么各個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)就是各個(gè)類可能出現(xiàn)情況的種數(shù)，用加絕對(duì)值來表示，如|A|表示A類可能出現(xiàn)的情況種數(shù).再結(jié)合圖形語言(韋恩圖)，用面積表示集合的個(gè)數(shù).

要求A，B，C這3類都發(fā)生可能出現(xiàn)的情況種數(shù)|A∪B∪C|，即將A,B,C這3個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相加，但發(fā)現(xiàn)兩兩重疊的部分重復(fù)計(jì)算了1次，于是減去A∩B，A∩C和B∩C，但這樣一來，3個(gè)集合公共部分又被重復(fù)計(jì)算了1次，于是加上|A∪B∪C|，即|A∪B∪C|= |A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-

|B∩C|+|A∩B∩C|.

這樣敘述未免抽象，下面用一道例題來說明.

圖2

例2 一個(gè)班有45個(gè)同學(xué)，喜歡語文的有25人，喜歡數(shù)學(xué)的有22人，喜歡外語的有16人，其中既喜歡語文又喜歡數(shù)學(xué)的人數(shù)為6人，既喜歡數(shù)學(xué)又喜歡外語的有8人，有3個(gè)同學(xué)一科也不喜歡，2個(gè)人喜歡所有科目，問既喜歡語文又喜歡外語的有幾人？

解 先畫圖(如圖2所示)，由于|A∪B∪C|= |A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-

|B∩C|+|A∩B∩C|，即喜歡語文或數(shù)學(xué)或外語的人數(shù)=喜歡語文的人數(shù)+喜歡數(shù)學(xué)的人數(shù)+喜歡外語的人數(shù)-既喜歡語文又喜歡數(shù)學(xué)的人數(shù)-既喜歡語文又喜歡外語的人數(shù)-既喜歡數(shù)學(xué)又喜歡外語的人數(shù)+既喜歡語文又喜歡數(shù)學(xué)又喜歡外語的人數(shù).

因此，既喜歡數(shù)學(xué)又喜歡外語的人數(shù)有9人.

通過例2可以發(fā)現(xiàn)，會(huì)出現(xiàn)即喜歡數(shù)學(xué)又喜歡語文的情況，也就是說，喜歡數(shù)學(xué)和喜歡語文這兩種類別是可疊加的，這時(shí)往往會(huì)想到容斥原理.容斥原理是解決可疊加分類的利器，其基本原理是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對(duì)象的數(shù)目先計(jì)算出來，然后再把計(jì)數(shù)時(shí)疊加計(jì)算的數(shù)目排斥出去，使得計(jì)算的結(jié)果既無遺漏又無疊加，簡(jiǎn)單來說先“容”再“斥”.當(dāng)然在解題中我們往往用圖像來表示，并不直接用到其基本原理.

了解了容斥原理，再回到例1，1與2相鄰和3與4相鄰這兩個(gè)分類是可疊加的嗎？也就是說會(huì)有“在一次排列中，出現(xiàn)1與2相鄰且3與4相鄰”的情況嗎？顯然會(huì)出現(xiàn).因此在例1中，1與2相鄰和3與4相鄰這兩個(gè)分類可疊加，1與2相鄰且3與4相鄰可能算了多遍或少算了，故可以借助容斥原理來梳理.

2 兩條件不獨(dú)立，用分類討論來改善

還有一種情況，是之前的結(jié)果對(duì)之后可能發(fā)生的情況產(chǎn)生影響，解題時(shí)往往沒有考慮到這種影響而使題目解錯(cuò).

例3 求萬位數(shù)字不是5，個(gè)位數(shù)字不是2，且各位數(shù)字相異的5位數(shù)的個(gè)數(shù).

圖3

分析 如圖3，萬位不是5，則可能是1,2,3,4,6,7,8,9這8個(gè)數(shù)；個(gè)位不是2，且由于各位相異，因此也不能是萬位數(shù)取過的數(shù)，加上0，則有8種情況；千位數(shù)不能是個(gè)位數(shù)和萬位數(shù)，則有8種情況；百位數(shù)有7種情況，十位數(shù)有6種情況，故有8×8×7×6×8=21 504種情況.

但是參考答案給的是21 840種情況，問題出在哪里呢？仔細(xì)一想發(fā)現(xiàn)：假如萬位是2，這時(shí)個(gè)位就不是8種情況了.此時(shí)，個(gè)位可以填0,1,3,4,5,…,9，這說明萬位發(fā)生的結(jié)果(萬位數(shù)字不是5)可以影響到個(gè)位發(fā)生的結(jié)果(個(gè)位數(shù)字不是2).

因此，“萬位數(shù)字不是5”和“個(gè)位數(shù)字不是2”這兩個(gè)條件不獨(dú)立.如何判斷兩個(gè)條件是否獨(dú)立呢？其中一個(gè)條件“已經(jīng)”發(fā)生了，觀察它是否對(duì)另一條件產(chǎn)生影響(而不是像判斷可疊加時(shí)，強(qiáng)調(diào)兩個(gè)條件是否有重疊的部分，是否多加了或少加了，這是時(shí)空上的差別).

那么怎么辦呢？可以用“分類討論”把各個(gè)情況分開來，以達(dá)到去多的目的.

1)若2在萬位，則萬位有1種情況，個(gè)位有9種情況，千位有8種情況，百位有7種情況，十位有6種情況，共1×8×7×6×9種情況.

2)若2不在萬位，則萬位有7種情況，個(gè)位有8種情況，千位有8種情況，百位有7種情況，十位有6種情況，共7×8×7×6×8種情況.

綜上所述，滿足題意的5位數(shù)共有1×8×7×6×9+7×8×7×6×8=21 840種情況.

不少學(xué)生常犯上面的錯(cuò)誤,而涂色問題也屬于這種類型的問題，常見的有點(diǎn)著色問題和面著色問題.下面具體通過一道高考題，看看到底怎么易錯(cuò).

例4[2]某城市在中心廣場(chǎng)建造一個(gè)花圃，花圃分為4個(gè)部分(如圖4)，現(xiàn)要栽種7種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有________種(以數(shù)字作答)．

圖4 圖5

分析 有學(xué)生這樣解答(按照1,2,3,4的順序著色)：共有7×6×6×5=1 260種情況，而參考答案是1 302.到底錯(cuò)在哪呢？

仔細(xì)思考：如果1號(hào)、3號(hào)苗圃同色，那么4號(hào)花圃還是可能涂5種顏色嗎？顯然變了，4號(hào)花圃可能涂6種顏色.這就是之前涂的顏色對(duì)后面的涂色產(chǎn)生了影響，本質(zhì)原因是他們之間不獨(dú)立，而是相關(guān)聯(lián)的.此時(shí)要分類討論，把各種情況區(qū)分開來.

1)若1號(hào)、3號(hào)苗圃不同色(如圖6所示)，則共有7×6×5×5=1 050種情況.

圖6 圖7

2)若1號(hào)、3號(hào)苗圃同色(如圖7所示)，則共有7×6×1×6=252種情況.

綜上所述，共有1 050+252=1 302種情況.

部分教師講解時(shí)也存在上述問題，不能給學(xué)生解釋哪兒出錯(cuò)了，而是直接給出正確的方法.一些學(xué)生說“知道了”就過去了.實(shí)際上部分學(xué)生因?yàn)楹π叨桓易穯枺@就導(dǎo)致下次遇到相關(guān)的試題還是無法做對(duì).了解容斥原理和分類討論的思想，能讓我們知道排列組合常出錯(cuò)的邏輯原因,直面錯(cuò)題，深入思考錯(cuò)題，讓我們?cè)跀?shù)學(xué)的解題中獲益匪淺.

[1] 曹汝成.組合數(shù)學(xué)[M].2版.廣州：華南理工大學(xué)出版社，2012.

[2] 朱孝春.解排列組合問題十法[J].數(shù)理化學(xué)習(xí):高中版,2010(5):22-24.

?2017-04-17；

2017-05-26

侯勝哲(1994-)，男，華南師范大學(xué)本科學(xué)生.研究方向：數(shù)學(xué)教育.

O122.4

A

1003-6407(2017)08-14-03