察題觀式 事半功倍*
——以高三復習課“解三角形”為例談解題效益

●王萍萍

(臺州市第一中學，浙江 臺州 318000)

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察題觀式 事半功倍*
——以高三復習課“解三角形”為例談解題效益

●王萍萍

(臺州市第一中學，浙江 臺州 318000)

三角式的變換靈活而富于技巧，奇妙的公式變換體現了數學的統一與轉化思想.然而也正因為公式太多、技巧性太強，使得很多學生對三角變換暈頭轉向、望而卻步.文章對“解三角形”中的題目條件與結論作了探究，總結解題思路和解題規律，從而使學生提高解題技能與解題效益，達到事半功倍的效果.

解題方向;轉化;正弦定理;余弦定理

1 問題提出

《2017年浙江省普通高考考試說明》中對解三角形的要求是：掌握正弦定理、余弦定理及其應用.在浙江省數學高考試題中，解三角形題型常被安排在解答題的第1題，用來考查學生的基本數學知識與能力.“良好的開端是成功的一半”，第1題能否順利解答對學生考場心態影響很大.

1)求角A的大小；

(2015年浙江省臺州市一模數學試題第16題)

(答案：1)60°；2)2.)

解答結果顯示第1)小題的得分率為94%，第2)小題的得分率僅為52%.遵循高考的定位，命題者設計此題時，所考慮的解法(即下文思路1)很簡潔、自然.筆者對學生的解答過程與方法作了調查，基于三角形的邊角關系，第2)小題的解答大致有以下2個思路：

思路1 (化角為邊)由于A=60°,a=1,根據余弦定理可得

b2+c2-bc=1，

從而

b2+c2=1+bc≥2bc，

即

bc≤1，

故

思路2 (化邊為角)根據正弦定理可得

(1)

(能解答到這一步，需要考生具備一定的運算能力和堅毅的性格.)

對于式(1)，有以下幾種變形結果：

在這4個變形式中都出現了2個角的三角函數值，找出式中2個角之間蘊涵的內在聯系是繼續化解此題的關鍵.變形1、變形3和變形4中2個角之間的倍角關系非常隱秘，使得考生陷入迷惘的困境，而在變形2中不難發現其倍角關系，繼而可變形得

把解題認為是純粹的“智力活動”是錯誤的.決心和情緒也起了很重要的作用.決心會隨著希望與無望、滿意與沮喪而產生波動[1].思路2的思維鏈比較長，過程繁瑣而曲折，不少考生因個人意志力薄弱而半途而廢、淺嘗輒止.其中不乏意志堅定且功底雄厚的學生，雖然獲得最后結果，但在緊張的限時測試中消耗過多的時間著實可惜.

為什么這些考生不是按命題者預設的思路去解答，而是舍近求遠？這種思維差距是什么原因造成的？我們知道并非所有的解三角形問題都適合“化角為邊”，如何選擇明智的解題方向使得解題效果事半功倍？筆者針對以上現象設計了一堂以解題效益為主題的高三復習課，讓學生在親歷“一題多解”的過程中對解題思路、解題規律進行探索和總結，學會選擇高效的解題方向，從而提高解題技能與效益.

2 教學目標

分析解三角形的類型與結構，應用正弦定理、余弦定理達到三角形邊角之間的聯系和轉化，學會用數形結合的方法解決問題，提高解決綜合問題的能力.

3 教學簡錄及說明

3．1 依托典型例題，完善知識網絡

1)求角A的大小；

2)若a=3，sinB=3sinC,求b,c的值.

3．2 放手一題多解，綻放各種思維

3)若a=3，求bc的范圍.

圖1

即

顯然當動點A運動到點M處時，AM達到最大值(此時B=C=60°)；當動點A靠近端點B,C時，AH接近于0(此時B→120°,C→0°或B→0°,C→120°).

有了這種定性的感知，學生能夠比較自然順暢地進行數的運算推理.課堂生成片段如下：

思路1 (化角為邊)由于A=60°,a=3,根據余弦定理可得b2+c2-bc=9，即

b2+c2=9+bc≥2bc，

從而

bc≤9,

故

bc∈(0,9].

思路2 (化邊為角)根據正弦定理可得

12sinB·sin(120°-B)=

6sin(2B-30°)+3.

因為B∈(0°,120°)，所以2B-30°∈(-30°,210°),故bc∈(0,9].

3．3 鞏固經驗之法，加深本質認識

4)若a=3，求b+c的范圍.

設計說明 人們總是自然地想著去重復使用過去在類似的情況下已獲得成功的那些方法[3].有了第3)小題的經驗，學生很容易從常規角度去思考，去解題.課堂生成片段如下：

圖2

學生先在圓中進行定性判斷:如圖2，當動點A運動到點M處時，b+c達到最大值(此時B=C=60°)；當動點A靠近端點B,C時，b+c接近于3(此時B→120°,C→0°或B→0°,C→120°).

思路1 (化角為邊)由于A=60°,a=3,根據余弦定理可得

b2+c2-bc=9，

從而

b2+c2=9+bc≥2bc，

即

bc≤9，

于是

(b+c)2=9+3bc≤36，

因此

b+c≤6.

由于B∈(0°,120°),即B+30°∈(30°,150°)，從而

故

b+c∈(3,6].

思路3 (方程思想)本題等價于“已知b2+c2-bc=9，求b+c的范圍”，其實質是“已知二元條件，求二元函數的值域”的問題，常規思路是代入消元轉化成求一元函數的值域.在二次方程式b2+c2-bc=9中直接用b表示出c比較繁瑣，因此可令b+c=t，將c=t-b代入方程b2+c2-bc=9，得到關于b(視次元t為參數)的一元二次方程3b2-3tb+t2-9=0有正實數解，從而

解得

b+c∈(3,6].

評注 采用思路1的學生能輕松得到“b+c≤6”的結果，但這也是利用不等式求解的一個瑕疵，只能得到范圍的一端，在這里若是在解題之前有過定性的判斷，不難根據“三角形兩邊之和大于第三邊”的性質而補上限制條件“b+c>3”，可謂“亡羊補牢，為時未晚”！若題目只求最大值，則思路1不失為思路明晰且計算簡潔的上上之策.

3．4 遭遇解題挫折，反思條件與結論

圖3

5)若a=3，且△ABC為銳角三角形，求b+c的范圍.

設計說明 此題雖然表面上看上去只比第4)小題加了對角的限制，然而第4)小題的思路1與思路3在這里卻無法施展.課堂生成片段如下：

由第4)小題的思路2可知

b+c=6sin(B+30°).

B+30°∈(60°,120°)，

從而

故

3．5 提高能力要求，驅動轉化思想

6)若角C為鈍角，且a+b=pc，求實數p的取值范圍.

從而

故

評注 作為高三學生，拿到一道題目不僅要了解有幾種方法，更應該知道這些解法的根源在哪里、優劣性在哪里，只有這樣才能有效選擇解題方向，提高解題效益，運籌于帷幄之中.

3．6 提煉解法規律，總結數學思想

對于解三角形的問題，基本思想是“統一”，一般2種思路都可行，主要是通過正弦定理與余弦定理，將已知條件或統一到邊上或統一到角上，再結合有關公式解決.解題中除了要選擇自己擅長的方法，更重要的是學會“察題觀式”，靈活選擇，機智處理，養成良好的解題習慣.

步驟1 面對條件和結論聯系相關公式；

步驟2 結合圖形進行分析；

步驟3 預測思路，選擇恰當途徑.

一般來說，若是條件給出的是“關于邊的限制條件”，或是較容易可轉成“關于邊的限制條件”，則例1的思路1不失為一種快捷有效的方法；若是條件給出的是“關于角的條件限制”，或者不容易轉化成“關于邊的限制條件”，則例1的思路2較為適宜.

4 反思與回顧

高三復習課的首要任務是把學生先前學的知識連成線、鋪成面、織成網，從而實現融會貫通，這就需要教師站在思想方法的高度進行解題教學，不論題目如何千變萬化，自然可以做到游刃有余.所謂“不畏浮云遮望眼，只緣身在最高層”，經過這一課的學習與總結，學生再來反思文首的例1，思路1的優勢不言而喻.

[1] 波利亞．怎樣解題[M]．涂泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社，2007．

[2] 王弟成．教師深度引領 學生高位發展[J]．數學通報，2015(1)：22-26．

[3] 波利亞．數學的發現[M]．劉景麟，曹之江，鄒清蓮，譯.北京:科學出版社，2006：67-68．

?2017-01-20；

2017-03-03

王萍萍(1983-)，女，浙江臺州人，中學一級教師.研究方向：數學教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)08-10-04