以“向量”為例談高中數學的概念教學

吳夢佳

[摘 要] 概念教學是高中數學教學的重要環節，本文以向量為例，探討了在教學中如何引導學生把握概念的本質，如何提升學生對概念的理解.

[關鍵詞] 高中數學；向量；概念教學

概念是人類認識活動的產物，是對客觀存在最為本質屬性的反映. 此外，概念還是人類思維形式最為基本的構成單元，是進行判斷和推理的重要元素.從數學教學來講，概念是一種能夠反映研究對象在數量關系方面的本質內容的思維形式，因此數學概念是學生建構數學認知的基礎，清晰而準確的概念認識是學生進行正確思維的基本前提，也是提高學生解題能力的基本條件. 所以，高中數學教師要關注學生數學概念的理解和掌握，下面筆者以向量的概念教學為例，介紹一下筆者在數學概念教學中一些思考.

向量的學習過程中，學生關鍵性任務是把握向量的雙重身份——數與形，并形成以向量法來解決數學問題的基本意識，在這一系列教學任務中，向量的概念有著舉足輕重的作用.

在實際教學中，很多教師認為教材有關向量的各個章節的內容安排條理非常清晰，雖然概念多了一些，但是教學難度不大.學生卻不這么認為，在他們看來，向量和他們以往接觸的數學內容大相徑庭，抽象程度很高，因此學習難度不小，而其中概念繁多、難以理解就是其學習難點之一. 事實也是如此，向量既有大小又存在方向，與學生之前的所學存在差別，因此初學之際，學生難免會有不習慣的感覺，而且如果教師教學過程中沒有施以恰當的引導，他們自然會感到索然無味、模糊不清. 對于這一點，教師要善于發現向量概念體系的基本特點，要深刻領會向量與物理學習之間的關聯性，從而促成學生進行類比和聯想，積極發揮遷移思維的優勢，啟發學生聯系數形結合的數學思想，系統化地理解和掌握向量的概念.

正確把握向量概念的本質

數學教材有關向量的介紹實際上主要屬于自由向量，具有一定的抽象性.教材從位移和速度等具體的實例出發，從中抽象出向量的基本概念，并使用有向線段對向量進行描述. 但是依托于物理模型來導入向量，并采用有向線段進行描述的應該屬于固定向量，這樣的處理就會導致學生形成錯誤的認識：即起點、大小和方向這三個要素就決定了向量. 這一認識的產生主要源于學生將向量等同于物理學中的矢量，是一種思維定式的錯誤.

為了幫助學生突破上述障礙，正確把握向量的本質性概念，教師可以通過讓學生自己在畫圖操作中感悟向量的概念，也可以通過幾何畫板等多媒體演示平臺來為學生展示多樣化的向量，從而讓學生在圖形中對相等向量進行辨析，由此來加深學生對相等向量、同（反）向向量、共線向量、相反向量等一系列概念的對比和理解，進而引導學生對向量關系進行比較和判斷. 此外通過畫圖，學生能明確平行向量所描述的是向量方向之間的關系，而長度則是對向量大小的表述，而且相等向量與平行向量的關系、共線向量與平行向量的關系，這些都不是由物理知識直接衍生而出的. 但是學生通過畫圖，采用數形結合的思想能夠形成較為鮮明的認識，比如在圖形中，學生可以發現任何一對相等的非零向量，均可采用一根有向線段來進行表示，而這又與向量的起點沒有關系，這些都是向量的本質，也是移動向量的理論基礎.

突出向量的物理與幾何背景，增強直觀性與可接受性

數學理論有著這樣的特征，它源于現實，寓于現實，并將最終應用于現實.這就意味著我們的教學必須要加強數學理論和現實生活之間的聯系. 因此，在引導學生學習向量的概念，體會其本質時，我們要引導學生關注向量在生活中的存在和應用.

課程標準有關于向量的教學提出以下要求：向量的概念教學應該從物理和幾何這兩個層面入手，其物理方面的背景是力、速度、位移等物理矢量概念，而在幾何方面，向量的表現為有向線段. 對學生來講，了解并領會向量概念的物理和幾何背景，有助于學生把握向量概念的來龍去脈，有助于學生將向量應用于實際問題的處理之中. 當然教學過程中，教師要充分聯系學生的學習基礎，從學生熟悉的物理矢量入手，比如力和速度等等，對那些要到高一后階段才學習的電場強度、磁感應強度等矢量要回避，因為一方面這些物理量學生很陌生，另外這本身也屬于更加抽象的物理概念，學生的理解本身就存在困難，以此引導學生掌握另外一個抽象的數學概念，相當于緣木求魚.

因此，筆者認為我們在引導學生認識向量概念時，最好從教材出發，因為教材在這一章的設計還是非常貼近學生的認知基礎的. 它通過日常生活中有關“位置”的確定開始，提出位移的這個概念，由此引出向量的意義；然后，教材再通過力、速度、加速度等概念作為背景素材，引導學生進一步分析這些物理量的共同特點，明確它們既有大小又有方向的相同點，進而實現向量概念的引入；在此基礎上，教師再結合有向線段來為向量提供幾何背景，引導學生定義向量的模、單位向量等概念. 這樣的教學設計，可以幫助學生結合自己的知識基礎來完成向量概念的建構，從而增強其直觀性和可接受性.

案例：向量夾角概念引入時，教材是以功的概念來切入的：W=Fscosθ，該式中的θ為力F與s的夾角，這也就是向量之間的夾角. 由此引導學生形成定義：兩個非零向量a和b，設 =a， =b，則有∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）可以叫作向量a和b的夾角. 教材在此只用了簡短的一句話就對向量的夾角進行了概括，對于初次學習向量的學生而言，深刻對其進行理解是存在一定難度的. 教師在對概念進行教學時，要善于從增強直觀性和可接受性的角度入手，畫出不同位置的兩個向量的圖，讓學生結合概念進行辨析，從而引導學生結合直觀化的圖形來理解向量夾角的關系，深刻體會不同的位置關系會形成不同的夾角. 在豐富的感性體驗的刺激下，教師可以進一步鼓勵學生對向量夾角的概念進行剖析和理解，即要比較夾角關系就必須將兩個向量平移到一個共有的起點位置，這一處理有助于學生理解新的向量.

向量幾個關鍵概念的辨析

向量概念繁多，因此對于學生易于發生混淆的概念，教師要引導學生進行重點突破.

1. 自由向量

高中階段的數學學習中，我們所研究的向量是自由向量，此種向量只有大小與方向兩個要素，并且無需對向量的背景內容進行考慮. 換言之，當我們采用有向線段對向量進行表示時，它們的起點可以隨意進行選擇，等長且方向相同的有向線段就是對同一個向量的表示. 使用代數坐標的方式來表示向量時，如果同一個平面坐標系中有兩個方向相同且大小相等的向量，那么它們就可以采用同一個有序實數進行表示. 因此，自由向量不僅僅只是對物理學中各類矢量的進一步抽象化的概括，它也是將數學中的向量與物理學科的矢量進行了區別. 同樣也正是因為自由向量的出現，這為我們采用向量來解決解析幾何、立體幾何的問題大開方便之門. 所以在實際教學中，我們一開始就要向學生滲透自由向量的基本概念，并在學習的過程中引導學生逐步深化.

2. 零向量

零向量是高中數學中最為特殊的一種向量，教材中對其進行定義之后，就沒有對其進行詳細的解釋與辨析，特別是在研究向量的垂直關系時，蘇教版的教材是這樣進行定義的：當兩個向量的夾角為90°時，我們稱兩個向量垂直. 在描述垂直概念時，相關陳述明顯是針對非零向量進行表述的，至于零向量的垂直關系，教材未曾細加說明，這是一種回避策略. 筆者認為，我們的數學教學不能局限于教材本身，而應該有創新和重構的勇氣，因為教材的回避往往會導致學生在非零向量垂直問題上出現模糊不清的誤解，這將阻礙學生形成清晰化的知識結構. 此外，筆者認為適當地引入零向量的概念還有助于學生后期高等數學的繼續學習.

綜上所述，在高中數學的概念教學中，教師要積極引導學生探索概念的形成過程，由此深刻把握其內容本質，同時教師還要善于引導學生認識概念的知識背景，由此增強概念的直觀性和可接受性，相信這樣的處理能夠有助于學生掌握數學概念，習得數學方法.