基于“馬登理論”的高中數學變式教學研究及案例分析

黃秀芳

[摘 要] “馬登理論”即“現象圖式學”，鑒別與差異是其兩大核心概念，基于該理論的高中數學教學能夠更好地發展學生的核心素養，便于培養出能夠更好地應對未來復雜化社會的未來人.

[關鍵詞] 馬登理論；高中數學；變式

如何更好地提升高中數學課堂教學的效果并促進學生核心素養的有效發展呢？筆者認為必須要有強有力的理論支撐我們的課堂教學行為，在諸多的教育理論中筆者發現了“馬登理論”，其核心概念和理念非常符合學生高中數學核心素養發展的需要，本文結合具體的教學案例就該話題談幾點筆者的看法，望能有助于課堂教學實踐.

馬登理論指導下的高中數學模式分析

1. 馬登理論概述

首先，筆者來介紹一下什么是馬登理論，馬登理論是馬登教授提出來的“現象圖式學”，縱觀整個理論，它有的兩個核心的概念分別為：鑒別與差異，鑒別的含義即區分，差異也可以是變異. 整個馬登理論都圍繞著一個“教學目的”就是發展學生，發展學生的目的又是什么呢？學生是未來社會和諧人，社會處于不斷復雜、變化的進程之中，我們的教育要為其能夠適應未來社會的生產、生活而做準備，需要學生能夠鑒別（區分），能夠適應變化發現不同情境中的差異，因此我們的教學就不能太過于呆板，而應該給學生創設不同的情境，透過不同的情境去感受同一個學習對象（或數學問題）. 通過這樣的學習方式，學生的發現和鑒別事物關鍵特征的能力會增強，而且注意力很自然地聚焦到學習對象的關鍵特征上來，對于以后處理生活的問題則更容易抓住主要矛盾.

2. 馬登理論指導下的高中數學變式教學

如何將馬登理論與高中數學教學有機結合在一起呢？我們可以將“變異”主動化，即教師主動地給學生提供一些差異性的情境引導學生進行區分和鑒別，在區分和鑒別的過程中深化對概念的認識，發展思維能力和觀察能力，其中“變式教學”是該理論指導下，我們高中數學應用最為普遍的一種教學方式.

概括起來講，什么是變式教學？就是我們教師有意識對數學問題變異化研究，變式的方向可以是不同的角度，或者是不同的層次，或者是不同的情形，也可以是不同的背景. 借助于這種教師的主動變式，有意識地引導學生區分和鑒別“變”的表象，在鑒別的過程中思維聚焦于最為本質的特征，繼而多種情形下數學概念和方法“不變”的本質，當然也可以在“不變”中主動探尋存在的“變”的規律，但恰恰是因為有了“變異”，學生對數學對象本質的理解得以加強，并以此為基礎，知識、能力、技能均能夠得到有效的發展.

借助于變式教學發展學生鑒別思維與能力

1. 串接式變式，引導學生層層剖析

變式教學可以是同一個問題情境，從不同的視角設置多個問題，而這些問題又彼此聯系可以聯結成一個整體.

案例1：如圖1所示，點A，B是經過點P的直線與曲線f（x）=x2相交的兩個點，同時滿足PA=AB，那么我們把點P叫作“好點”，把點B叫作“伴點”.

設問1：P（1，0）是否可以被稱作“好點”？

設問2：試解出在y=x-1上的全部“好點”.

設問3：圖像中是否有“好點”不在直線y=x-1上？

設問4：“好點”和“伴點”存在著怎樣的關系？

設問5：圖2，假如“伴點”B1，B2跟點P對應，請參照條件編寫練習題，并闡述解題的大致步驟.

反思：這個案例中的問題采用串接式變式的方式呈現，問題設定“深入淺出，以大概小”，把學生帶進了創造性的探究活動中. 教師依據學生的實際水平，精心設計出一個符合題意但又需要學生探討的問題，并且引導學生基于這個問題出發自主探究由此產生的細小問題. 這樣的設計，就是把學生不由自主地帶進了自主學習的活動空間，引導學生把問題層層剖開繼而獲得真知. 因此，教師在設定一系列問題的時候要把問題的深度一一體現出來，并且能夠體現各問題之間的過渡性，課前準備時，要仔細慎重地研究自己設定的這一系列問題能否構成一個體系并解決問題，能否引導學生積極思考解決問題，鍛煉學生自己應對問題應該具備的一系列能力.

2. 對比性觀察，發展學生的縝辨性思維

馬登提出來的“現象圖式學”，需要學生對學習對象進行觀察，尤其是對圖式的觀察，我們學生在學習幾何尤其是空間幾何問題時總是會出現這樣或那樣的問題，實際上歸根結底是其思維的縝密性不夠，如何發展呢？可以借助于圖式的微變，設置變式問題引導學生對比性觀察與思考.

案例2：如圖3所示的正方體，連接A，C1和B1，D1，求證：AC1⊥B1D1.

變式1（圖形微變為圖4），如果我們連接的不是A，C1和B1，D1，而是A1 ，C和A，B1，還有類似的結論嗎？

借助于這樣的微變，引導學生從中發現一般性規律，當然我們在變式的過程中“標準”和“變式”圖形是相對的，我們可以結合學生的實際，從容易理解的角度入手. 在學生思維聚焦到了核心特征后，進一步變式，可以將學生的思維延展，同時促進學生的鑒別能力和解決問題的能力進一步提升.

變式2（圖式復雜化變異）：觀察復合圖如圖5所示，你能分解出如圖3（圖4）所示的基本圖形嗎？求證：A1C⊥平面AB1D1.

變式3：在圖5中，連接BD，DC1，BC1，求證：平面AB1D1∥平面C1BD，并求出這兩個平面間的距離.

變式4：在圖5中，連接A1C1和AC ，求證：對角面ACC1A⊥平面AB1D1.

借助于變式1，學生通過對圖形的對比，學生的基本知識和技能初步形成，再借助于復合圖形進一步變式，培養學生分解基本圖形的能力，為解決復雜問題奠定良好的基礎. 通過變式在學生的大腦中展現出直觀圖表現的幾何形體及其組成部分的形狀、位置關系和數量關系，進而能否不借助幾何直觀，對頭腦中已有的空間幾何形體進行分解、組合，產生新的空間幾何形體，并正確分析其位置關系和數量關系.

結語

我們當前的高中數學教學，很多教師在課堂教學中雖然有提問啟發學生的環節，但是很多的情境都是浮于表面或者空洞的、泛泛而談的，往往由提出問題到概念定理的推進到結論的導出粗糙而又簡單，所以，很多學生對于概念的粗淺理解是有的，但是在解題的時候往往困難無比. 其實造成這樣的局面是有兩個方面因素的，一個來源于學生，一個來源于教師. 學生的學要僅僅跟隨教師的指導和設計，并且隨著教學進程的推進，不斷加強自己的主觀能動性，積極開啟自己的思維. 教師是學生學習的導師，教師的教一定要有導向性，把教學的關鍵環節設置成對學生能產生最大價值的運用，要注重變式情境的創設，緊緊圍繞核心數學問題，剖析重難點，強化基本知識概念技能，促使不同水平的學生能夠有效地達成掌握知識和鍛煉思維的目的. 教學實踐經驗表明，精心設計緊扣核心概念展開的具有差異性的問題情境，借助于變式體現數學思維方法，培養和發展學生的思維，教師如果能夠把環環相扣的串接式變式或是縝密性的問題設計精準恰當地切入到數學核心問題教學，學生的理解也因此而不至于空泛，有利于建立清晰、深刻的概念印象.