一堂空間距離的拓展課

鄭敏鴿

[摘 要] 課堂教學，知識的傳播是第一要素. 但僅僅只有知識的傳播是不夠的，課堂教學不僅僅是知識的傳遞，也是與知識的探討，更是與生命的對話. 教學， 應讓生命在場，有思考的課堂才能算是真正的課堂.

[關鍵詞] 探究；類比；拓展；延伸

將教材進行有效的拓展，進行深層次的挖掘含在空間內部的本質性問題，進行探索與開發，既能讓學生真正掌握所涉及的課程內容又有利于其探究能力的培養，激發學生對知識的興趣欲，也是提高教師處理課堂教學能力的有效途徑.

我們來看一下人教版普通高中課程標準實驗教科書必修2第四章中的空間兩點間的距離公式：

類比平面兩點間的距離公式的推導，你能猜想一下空間兩點P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）的距離公式嗎？

教材利用類比方法，通過平面兩點間的距離推導出了空間兩點間的距離. 立足平面幾何知識探究空間幾何知識，這堂課應該能引起學生的求知欲、探索欲，對知識的渴望，不僅是廣度的渴望，更是深度的渴望. 學生對于平面和空間知識的關聯激起了更大的思考，他們不禁思考：我還能做更多的探究嗎？

立足教材

例：已知A（3，3，1），B（1，0，5），求：到A，B兩點距離相等的點P（x，y，z）的軌跡方程.

解法一（常規法）：由題意得AP=BP，

即 = ，

整理得：4x+6y-8z+7=0.

答：點P的軌跡方程為4x+6y-8z+7=0.

提問：同學們能不能類比平面知識來解決這個問題，平面中到兩點距離相等的點的軌跡是什么幾何圖形？猜想一下空間中又是什么幾何圖形？該圖形可以怎么確定？

解法二：從平面知識可知，到兩點距離相等的點的軌跡是一條中垂線，且易知空間直線的中垂線有無數條，這無數條直線構成直線AB的垂直平分面α，設ax+by+cz+d=0，且α∩面xOy=l1，即l1：ax+by+cz+d=0，z=0，

α∩面xOz=l2，即l2：ax+by+cz+d=0，y=0.

設A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2）；可知AB垂直α內任何一直線，則AB⊥l1，AB⊥l2.

設AB在平面xOy內的射影為A1B1，由三垂線逆定理可知l1⊥A1B1，

且A1（x1，y1，0），B1（x2，y2，0）. 現把l1，A1，B1看成平面問題，即平面xOy，

l1：ax+by+d=0，A1（x1，y1），B1（x2，y2）.

因為l1⊥A1B1？圯 = ，l2⊥A1B1 = ，所以 = = （x1≠x2，y1≠y2，z1≠z2）.

又因為α是l的垂直平分面，

所以 = = ，a +b +c +d=0.

所以本題可以利用以上思想來解.

設點P的軌跡方程為：ax+by+cz+d=0，

所以 = = ，a +b +c +d=0， 所以a= b，c=- b，d= b，所以4x+6y-8z+7=0.

例題內容延伸

求到點A（0，-1，0）和點B（0，1，0）距離之和為4的點P（x，y，z）的軌跡方程.

解法一（常規法）：略.

解法二：把點P的軌跡分別討論，

（1）在xOy平面，由橢圓知識得 + =1；

（2）在yOz平面，得 + =1.

由以上兩點得，x軸與y軸具有同等地位，可以發現y軸為長軸，x軸與z軸為短軸，即可以看成把橢圓繞長軸轉一圈.

綜合橢圓知識，可得 + + =1.

推廣：若 ∥x軸，且AB的中點O（x1，y1，z1），dAB=2c，PA+PB=2a（a>c），則點P（x，y，z） 的軌跡方程為 + + =1.

若 ∥y軸，且AB的中點O（x1，y1，z1），dAB=2c，PA+PB=2a（a>c），則點P（x，y，z）的軌跡方程為 + + =1.

若 ∥z軸，且AB的中點O（x1，y1，z1），dAB=2c，PA+PB=2a（a>c），則點P（x，y，z）的軌跡方程為 + + =1.

那么若到兩點距離之差等于定值的點的軌跡方程呢？也可以用類似的思路去推廣，不妨一試.

例題應用

《浙江省高考研究卷》理科數學（五）——2016年普通高等學校招生全國統一考試第15題：若1≤x，y，z≤2，且xyz=4，則log x+log y+log z的取值范圍是_________.

分析：利用本堂課的知識大大降低了本題的難度. 利用換元思想，設a=log2x，b=log2y，c=log2z，原題即：已知0≤a，b，c≤1，a+b+c=2，求a2+b2+c2的取值范圍. 可知點（a，b，c）的軌跡是有限的平面，把代數問題轉化成空間坐標原點到有限平面的距離問題.

新課改背景下，課堂的高效性是現在眾多教師探索的熱門話題，所謂高效性，就是改變以往的灌輸式教育為學生自主學習，學生要自主地學好一節課，興趣又是最好的引導者，所以有趣的拓展知識或與本知識相關的數學問題成為一節課的亮點，最終會實現課堂的有效性. 課堂知識拓展是必需的，當然它同時又是一門藝術，值得所有教師不斷探索.新課程背景下的課堂，不再是推崇學生問自己“這堂課我懂了嗎”，因為這只是體現學生接受知識的程度. 而筆者認為我們追求的應該是“我從課堂學習中獲得快樂了嗎”. 如何讓學生能在知識的海洋中獲得快樂，那必須讓學生參與其中，體會發現問題、解決問題、獲得新知的過程. 讓學生成為課堂的主人，讓他們有所問，有所求，有所得.