基于學(xué)科素養(yǎng)的解題能力培養(yǎng)

蔣志學(xué)

[摘 要] 在傳統(tǒng)教學(xué)的基礎(chǔ)上，尋找一個(gè)能夠?yàn)閷W(xué)生解題能力培養(yǎng)提供智慧的源泉，是面對(duì)當(dāng)前高中數(shù)學(xué)考試評(píng)價(jià)的重要任務(wù). 數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)從六個(gè)方面闡述了數(shù)學(xué)教學(xué)的需要，而這六個(gè)方面與數(shù)學(xué)問題解決及數(shù)學(xué)習(xí)題解答是密切相關(guān)的. 從審題能力、發(fā)散思維能力有效培養(yǎng)的角度思考，并著力構(gòu)建學(xué)生的解題能力體系，是有效的解題能力培養(yǎng)途徑.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；學(xué)科素養(yǎng)；解題能力

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生解題能力的形成與多個(gè)因素有關(guān)，因而在培養(yǎng)學(xué)生解題能力的時(shí)候，也總有著多重的視角. 縱觀已有的研究成果，可以發(fā)現(xiàn)在形式上所做出的努力是非常多的，應(yīng)當(dāng)說這是一種非常正確的思路，因?yàn)榻虒W(xué)形式影響著教學(xué)內(nèi)容的效果，通過學(xué)生喜聞樂見且行之有效的形式，確實(shí)可以一定程度上培養(yǎng)學(xué)生的解題能力. 但我們又應(yīng)當(dāng)看到，形式的背后總是實(shí)質(zhì)，而對(duì)實(shí)質(zhì)的探究也總能尋找到更多更有效的方法，從而讓學(xué)生的解題能力能夠有一個(gè)長(zhǎng)足的發(fā)展. 筆者以為，當(dāng)下所研究的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，就是培養(yǎng)學(xué)生解題能力的本質(zhì)途徑.

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是學(xué)科素養(yǎng)的下位概念，基于數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)去理解解題能力的培養(yǎng)，可以從數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等多個(gè)維度，形成有效的解題能力. 事實(shí)上從理論的角度來看，素養(yǎng)本身就是一種能力，或者說是能力體現(xiàn)背后的支撐因素，當(dāng)學(xué)生在數(shù)學(xué)解題過程中能夠成功地進(jìn)行以上六種維度的能力運(yùn)用時(shí)，就是解題能力的充分體現(xiàn). 筆者在教學(xué)中嘗試以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的相關(guān)理論為指導(dǎo)，立足于學(xué)生解題能力的培養(yǎng)，取得了較好的效果.

數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)下的審題能力培養(yǎng)

審題能力是解題能力的基礎(chǔ)，通常情況下對(duì)審題能力的培養(yǎng)往往只局限于“認(rèn)真審題”這樣的命令式要求，事實(shí)證明，這樣的要求對(duì)學(xué)生的審題能力培養(yǎng)是沒有任何幫助的，一個(gè)根本的原因就是，學(xué)生根本不知道怎樣審題為認(rèn)真審題. 那種學(xué)著教師去圈畫出關(guān)鍵詞的方法，只能讓學(xué)生學(xué)到形式，對(duì)學(xué)生解題能力的形成沒有絲毫的幫助，日常的教學(xué)中看到學(xué)生圈畫出的莫名其妙的關(guān)鍵詞，或者雖畫出了關(guān)鍵詞但根本不知道這些關(guān)鍵詞在題中的具體含義的情形，實(shí)在是太多了.

而從數(shù)學(xué)素養(yǎng)的六個(gè)維度來審視學(xué)生的審題能力培養(yǎng)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)有些策略的不可行性，也可以尋找到有效的審題能力培養(yǎng)策略. 比如說數(shù)學(xué)審題，不能簡(jiǎn)單地理解為就是理解題目的意思，因?yàn)樵谶@里，“理解題意”是一個(gè)非常重要的過程，是一個(gè)將原有數(shù)學(xué)知識(shí)與解題經(jīng)驗(yàn)與面前的數(shù)學(xué)題目進(jìn)行相互作用，并生成新的認(rèn)識(shí)的過程，而且這個(gè)認(rèn)識(shí)必須是符合解題思路的，這才是真正的理解題意. 那么，題意如何才能被學(xué)生所理解呢？從數(shù)學(xué)素養(yǎng)的視角來看，可以這樣認(rèn)為：學(xué)生閱讀題目的過程，就是基于已有的數(shù)學(xué)知識(shí)，通過邏輯推理去建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過程；如果是一些來源于實(shí)際的題目，則可能還需要進(jìn)行一個(gè)數(shù)學(xué)抽象，然后進(jìn)行直觀想象的過程. 認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)，就應(yīng)當(dāng)知道數(shù)學(xué)審題過程中，學(xué)生的思維過程其實(shí)十分復(fù)雜，就以邏輯推理為例，學(xué)生依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中形成的數(shù)學(xué)規(guī)則，并根據(jù)題意去生成自己的理解，并讓自己的理解離問題的解決逐步靠近常規(guī)解題思路.

這里可以任意舉一個(gè)數(shù)學(xué)習(xí)題來說明：已知集合A={θcosθ

這些常規(guī)試題其實(shí)都是能夠培養(yǎng)學(xué)生的審題能力的，有些時(shí)候恰恰是常規(guī)題能夠更好地培養(yǎng)學(xué)生基本的解題能力. 因?yàn)槌Ｒ?guī)題解題過程相對(duì)簡(jiǎn)單，絕大多數(shù)學(xué)生都能夠有一個(gè)完整的思路，這個(gè)時(shí)候教師可以有很好地引導(dǎo)學(xué)生反思解題思路的機(jī)會(huì)，尤其是比較自己的思路與正確思路的機(jī)會(huì)，這樣的比較過程，有利于學(xué)生解題能力的形成. 在上題中，學(xué)生在審題時(shí)，需要結(jié)合集合的概念、符號(hào)表示、基本三角函數(shù)及其定義域等，完成題意的完整理解，這其中的邏輯推理是不言而喻的，所建立的數(shù)學(xué)模型也就是一種基于上述概念形成的兩個(gè)基于三角函數(shù)的集合的模型——通常情況下，學(xué)生都會(huì)直覺性地以圖像來表示兩個(gè)集合，而這種直覺意識(shí)恰恰又是直觀想象的產(chǎn)物，因此，即使像這樣的一道基本習(xí)題，也包含了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的多個(gè)因素（包括數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)據(jù)分析等）. 在引導(dǎo)學(xué)生反思解題思路的過程中，可以將這些數(shù)學(xué)素養(yǎng)的維度以學(xué)生聽得懂的語(yǔ)言進(jìn)行描述，從而將學(xué)生的解題思路語(yǔ)言化、明晰化，進(jìn)而就可以形成解題能力.

基于數(shù)學(xué)素養(yǎng)六要素看發(fā)散思維

發(fā)散思維能力是一種高端的解題能力，考慮到當(dāng)前高中數(shù)學(xué)考試中數(shù)學(xué)試題越來越靈活的現(xiàn)狀，學(xué)生的發(fā)散思維能力的培養(yǎng)顯得尤為重要，而從學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升來看，發(fā)散思維能力背后所顯示出來的數(shù)學(xué)素養(yǎng)要素又有著顯著的培養(yǎng)需要.

如果仔細(xì)分析，會(huì)發(fā)現(xiàn)發(fā)散思維能力的培養(yǎng)在當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中還是存在著不少的困難的，一個(gè)重要原因就是當(dāng)前的教學(xué)（不僅僅是數(shù)學(xué)學(xué)科）其實(shí)是一種內(nèi)斂式的思維，絕大多數(shù)數(shù)學(xué)試題的解題思路或答案都是具有唯一指向性的，這決定了發(fā)散思維存在的空間并不是很大，可是無論是從學(xué)生成長(zhǎng)的需要來看，還是從高端數(shù)學(xué)試題的命制來看，利用發(fā)散思維去解題又是必然的選擇. 如在上面一點(diǎn)所舉的例子中，學(xué)生的思路往往是個(gè)體單一性而群體復(fù)合性，因?yàn)橛械膶W(xué)生可能會(huì)根據(jù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的性質(zhì)去解題，而有的學(xué)生則會(huì)通過單位圓中正弦線與余弦線的分布判斷去解題. 這兩種思路常常少有學(xué)生同時(shí)想到，而如上面所說的那樣，像這樣的基礎(chǔ)題往往是面向全體學(xué)生培養(yǎng)解題能力的重要載體，因此此處可以進(jìn)一步讓學(xué)生思考有沒有其他的解題思路，盡管這樣的要求顯得有些常規(guī)，但其仍然是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力的顛撲不破的有效途徑. 對(duì)于基礎(chǔ)較好的學(xué)生而言，本題基本上不需要太多的引導(dǎo)，而對(duì)于基礎(chǔ)較弱的學(xué)生而言，則可以將他們組成學(xué)習(xí)小組，并分別從正余弦函數(shù)的性質(zhì)描述角度，引導(dǎo)他們向圖像角度思考，或者反其道而行之，通常有了這樣的引導(dǎo)，學(xué)生的思維觸角就可以伸向另一個(gè)思路，從而達(dá)成發(fā)散思維的運(yùn)用.

然后從數(shù)學(xué)素養(yǎng)的角度來看發(fā)散思維能力的培養(yǎng)，可以發(fā)現(xiàn)，發(fā)散思維實(shí)際上就體現(xiàn)在邏輯推理的思路有所不同上，學(xué)生所擁有的不同的直觀想象思路，往往決定了會(huì)用到不同的邏輯推理過程，從而就表現(xiàn)為不同的思維方式，因此發(fā)散思維能力的培養(yǎng)，實(shí)際上就是基于同一數(shù)學(xué)習(xí)題，進(jìn)行多角度的直觀想象與邏輯推理的過程，當(dāng)然同時(shí)也是不同的數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)運(yùn)算的過程，同樣若數(shù)學(xué)習(xí)題帶有情境性，則還需要學(xué)生從不同角度去進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象或數(shù)學(xué)建模.

進(jìn)一步研究還可以發(fā)現(xiàn)，從數(shù)學(xué)素養(yǎng)的六個(gè)角度看發(fā)散思維能力的培養(yǎng)，實(shí)際上是讓學(xué)生基于不同的思維角度去進(jìn)行不同過程的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析. 反過來，在數(shù)學(xué)素養(yǎng)的這些因素逐步形成的過程中，發(fā)散思維起著拓展思維寬度、發(fā)掘思維深度的作用.

數(shù)學(xué)素養(yǎng)下解題能力體系的建成

多年高中數(shù)學(xué)教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)表明，當(dāng)前數(shù)學(xué)高考評(píng)價(jià)體系所需要的解題能力，更多的是一種體系性的能力，同時(shí)我們也發(fā)現(xiàn)，之所以一些學(xué)生沒有能夠形成強(qiáng)大的解題能力，其實(shí)也就是自身的能力沒有形成一個(gè)體系，而解題能力體系的形成絕非一件易事，需要學(xué)生在解題的過程中不斷總結(jié)反思，不斷地進(jìn)行比較，在這個(gè)過程中，數(shù)學(xué)素養(yǎng)依然發(fā)揮著重要的作用.

總的來說，數(shù)學(xué)解題能力是從審題能力開始的，在一定水平的解題經(jīng)驗(yàn)的作用下，將知識(shí)與習(xí)題進(jìn)行相互作用以在前者當(dāng)中尋找到后者解決途徑，并對(duì)解題結(jié)果進(jìn)行評(píng)估的過程. 而縱觀數(shù)學(xué)素養(yǎng)的六個(gè)維度，可以發(fā)現(xiàn)這幾乎就是一個(gè)數(shù)學(xué)問題解決的過程，也就是說常規(guī)的對(duì)數(shù)學(xué)解題的描述，與學(xué)術(shù)視角下對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要素幾乎是重合的，但是，顯然數(shù)學(xué)素養(yǎng)的描述比經(jīng)驗(yàn)性的表述更科學(xué)，也更容易成為尋找有效的解題能力培養(yǎng)途徑的源泉.

在這里需要重點(diǎn)提醒的，就是解題能力的培養(yǎng)的另一個(gè)關(guān)鍵，因材施教原則的體現(xiàn). 當(dāng)然，在當(dāng)前的大班額的體制之下，真正做到因材施教幾乎是不可能的，但是從宏觀層面進(jìn)行分層，以讓水平相似的同一層次的學(xué)生能夠得到恰當(dāng)?shù)慕忸}思路的指導(dǎo)，卻是必要的. 這也是解題能力體系形成的另一個(gè)重要保證，筆者在教學(xué)中主要將精力放在不同水平小組合作的指導(dǎo)上，以盡量將自己的指導(dǎo)與學(xué)生的思維水平形成一個(gè)互補(bǔ)的關(guān)系，當(dāng)然，這里生生互助也是必要的. 其實(shí)無論是師生之間還是生生之間的互動(dòng)，對(duì)于解題能力體系的形成都是極有幫助的，其效果遠(yuǎn)比教師的講授甚至是灌輸要有用得多. 筆者仔細(xì)尋找過原因，結(jié)果發(fā)現(xiàn)在師生互動(dòng)與生生互動(dòng)的過程中，學(xué)生更容易形成一種默會(huì)性的認(rèn)識(shí)，這種認(rèn)識(shí)雖然無法用語(yǔ)言表示，但卻成為學(xué)生解題能力的重要組成部分，具有為解題能力體系大廈的構(gòu)建提供牢固的黏結(jié)劑的作用.