發揮變式功能，讓學生參與課堂

陳夕忠

摘要：數學習題課如何選題是關鍵，而變式的成功更能擴大題目的功能，使學生更能積極地參與課堂；本文嘗試從六個方面就如何變式作了一點研究，也是實際教學過程中的一點反思。

關鍵詞：高效課堂；習題課；變式；反思；參與

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）10-0113

問題的提出：近日筆者參加一次教學視導，聽了幾節數學課，其中一節課為文科班習題課；先看一段課堂部分實錄：

學案中有一道題：

例題：定義兩種運算a b=■，a b=■，則f（x）=■的圖像關于 對稱。

教師：（課前用手機將學生預習的學案拍成照片，制作成PPT）投影了學生答案——空白；

教師：為什么不做？（請未做的同學回答）

學生：不會；

教師：直接寫出函數解析式f（x）=■；

教師：為什么不用特值法進行嘗試？

板書：f（1）=■=-■，f（-1）=■=■，∴f（-1）=-f（1），f（x）為奇函數，故圖像關于原點對稱。

教師：這樣不就做好了嗎！我們再看函數的定義域是什么？

學生回答教師板書：4-x2≥0x-2-2≠0得x∈[-2，0）∪（0，2]，

教師：下面應該干什么？

學生：化簡解析式；

教師板書：f（x）=■=-■，f（-x）=-f（x），故圖像關于原點對稱。

最后，教師總結：

教師：“學生要養成一種先求定義域的習慣”“學生要養成一種化簡函數解析式再判斷奇偶性的習慣”；并作了一道變式題進行當堂鞏固：

變式：已知函數f（x）=lnx-2kx（k常數）

（1）求函數的單調區間；

（2）若f（x）

學生當堂練習，并請一位女生進行板演，做完第1問后先訂正該問，接著再做第2問，共用時近25分鐘；一節課很快結束。

從這一案例中，教師也讓學生參與到課堂中了，筆者認為還有諸多方面問題：

（一）例題中的主要問題是很多學生其實卡在第一步，即學生不會將新問題——未見過的抽象符號，轉化為熟悉的數學符號——函數解析式；學生普遍對新定義有一種陌生及恐懼心理，不敢進行嘗試，并沒有作出理性的分析，而該教師對這一點嚴重疏忽。

（二）用特值法是否恰當：比如出現f（x0）=f（-x0）=0怎么辦？取的值在不在定義域怎么辦？由f（-1）=-f（1）一定能得到函數是奇函數嗎？等等。

（三）變式與例題關聯不大，尤其是第2問，如果說兩者有關的話，只有第1問要先研究定義域，所以此變式并未起到訓練鞏固的效果。

其實可作如下變式：

變式：定義新運算 ，當a≥b時，a b=a，當a

這樣的例子很多，目的在于仍從新定義出發，題型類似，使學生少陌生感，能積極參與，達到鞏固的目的。

（四）如何通過變式使學生積極主動參與課堂教學。這道變式更是沖淡了本節課的主題，偏離了教學目標。

從上述案例中，我們看到，數學習題課作為解題教學是中學數學教學的重要組成部分，其主要目的是教會學生如何分析問題，如何運用所學知識尋找相應對策，解決未知問題，提高學生的解題能力，而變式更是體現學生對該題涉及的知識掌握的程度與靈活運用的程度。經常聽到教師抱怨學生：“講了幾遍學生還不會！”其實教師更要從自身找原因：是題目難了？還是方法繁了？是講解缺乏條理性，還是就題講題難點未能突破……，結合上述實例，以及自己的教學體會，筆者認為習題課應從如下幾個方面來進行變式，以提高學生的課堂參與度：

1. 對比題組變式，幫助學生認真審題

通過題組的對比、辨析，使學生分清題目中的相關概念、條件的區別，重點字詞可用圈、點、勾、劃來做標記，從而達到審題清楚的目的。

例1. 如果函數f（x）=ax2+2x-3在區間（-∞，4）是單調遞增函數，則實數a的取值范圍是 。

變式：如果函數f（x）=ax2+2x-3的單調遞增區間為（-∞，4），則實數a的值是 。

變式的目的在于使學生區別條件中語句的關鍵詞“在區間上（-∞，4）是單調遞增”與“單調遞增區間為（-∞，4）”是否相同，提醒學生注意。

例2. 已知曲線y=■x3+■，求曲線在點P（2，4）處的切線方程；

變式：求曲線過點P（2，4）的切線方程

此變式的目的是幫助學生理解題設中的“在”與“過”的區別。

2. 類似題組變式，幫助學生總結規律

通過題組的練習，能使學生掌握對這一類求解的通法，以及要注意的問題，從而達到掌握方法與技能的目的。

例1. 若函數f（x）=■在（-∞，-1）上是減函數，求a的取值范圍。

此題為一題多解，定義法、導數法、復合函數法。

變式1：設函數f（x）=■在區間（-2，-∞）上是增函數，求a的取值范圍。

變式的目的使用學生注意分母含參而導致條件增加，用導數法容易錯解——不檢驗，復合函數法易遺漏條件——定義域。

變式2：已知函數f（x）=■（a≠1），若f（x）在區間（0，1]上是減函數。求a的取值范圍。

該變式作用在于加強學生分類討論意識的培養。

通過這三道題，學生對于這類題求解方法有了深刻的理解，歸納應該注意到的問題：①要滿足單調性；②要注意單調區間是定義域的子區間。

3. 類比題組變式，幫助學生觸類旁通

通過類比的方法，使學生由此及彼，觸類旁通，培養學生知識的遷移能力；這類題主要體現在由平面幾何到立體幾何，由等差數列到等比數列，由圓到橢圓、雙曲線等。

例1. 對于函數f（x），若存在常數a≠0，使得x取定義域內的每一個值，都有f（x）=f（2a-x），則稱f（x）為準偶函數。下列函數：①f（x）=■；②f（x）=x2；③f（x）=tan x；④f（x）=cos（x+1）。其中為準偶函數的是

（填序號）。

變式：仿此類比，可得準奇函數的一個正確命題：對于函數，若存在常數，使得取定義域中每一個值都有 ，則稱為準奇函數。

例2. 某建材商場國慶期間搞促銷活動，規定：顧客購物總金額不超過800元，不享受任何折扣，如果顧客購物總金額超過800元，則超過800元部分享受一定的折扣優惠，按下表折扣分別累計計算。

某人在此商場購物總金額為x元，可以獲得的折扣金額為y元，則y關于x的解析式為：

y=0，01300

若y=30元，則他購物實際所付金額為 元。

變式：《中華人民共和國個人所得稅法》原來規定，公民全月工資、薪金所得不超過800元（人民幣）的部分不必納稅，超過800元部分為全月應納稅所得額.此項稅款按下表分段累進計算：

若某人1月份應繳納此項稅款115元，則他的當月工資、薪金為 元。

4. 變更條件變式，幫助學生舉一反三

通過改變已知條件中的某些量，使學生弄清有哪些條件變化，避免似是而非的判斷，從而做錯題。

例1.“ x0∈R，使得x02+mx0+2m-3<0”為假命題，則實數的取值范圍是 。

變式1：“ x∈R，使得x2+mx+2m-3<0”為假命題，則實數的取值范圍是 。

變式2： ∈（-1，2），使得x2+mx+2m-3<0，則實數m的取值范圍是 。

例2. 函數f（x）=3x-7+lnx的零點位于區間內（n，n+1）（n∈N），則n= 。

變式：方程2x+x=4的根為x0，若x0∈（k-■，k+■），則整數k

。

5. 變更結論變式，幫助學生深化題意：

通過對結論的變式，來強化學生對條件的理解，乃至形成一些結論來解決問題。

例1. 與x，y軸相切，且過點P（3，4）的兩個圓的半徑分別為r1，r2，則r1r2 。

變式1. 求r1+r2，r1-r2的值。

變式2. 設兩圓C1、C2、都和兩坐標軸相切，且都過點（4，1），則兩圓心的距離C1C2= 。

這組題為利用韋達定理構造方程求解。

例2. 已知函數f（x）=log2x，正實數m，n滿足m

變式1：已知函數f（x）=log2x，正實數m，n滿足m

變式2：已知函數f（x）=logx，010，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則abc的取值范圍是 。

這組題中有一個中間結論mn=1（或ab=1）。

6. 交換條件結論，幫助學生提高能力

教師要編制一些新題，可作這方面的嘗試；將題目中的部分條件改為未知，將對結論變為已知，從而編出一些新題，即可達到效果。

例1. 求過點（0，0）與曲線y=2ex相切的直線方程。

變式1：直線y=kx與曲線y=2ex相切，求實數k的值。

變式2：直線y=2ex與曲線y=aex相切，求實數a的值。

一個教師的成熟與否關鍵在于能就題發揮，通過變式關聯，提高學生參與度，使學生能舉一反三、觸類旁通，因此我們教師一定要在練習、變式和評析中注意多角度分析問題，培養學生的比較、分析、綜合、歸納能力，指導學生總結習題所涉及的知識點，并使之系統化，同時對題目類型、解題步驟進行歸納小結，總結解題常用方法、解題的一般規律、應注意的事項、容易出現的問題等，并在掌握常規思路和方法的基礎上，啟發新思路，探索巧解、速解、一題多解的新途徑、新方法，不斷豐富學生的解題經驗，提高解題速度。

教師要經常對教育教學實踐進行再認識、再思考，并以此來總結經驗教訓，進一步提高教育教學水平。能從自己的教育實踐中來反觀自己的得失，通過教育案例、教育故事、或教育心得等來提高教學反思的質量，提高個人業務水平。

這以上僅是筆者的一些粗淺想法，至于如何才能上好一堂習題課，還有待我們在今后的教育教學過程中不斷積累、研究和探討。總之，正確認識習題教學，運用科學的方法組織教學，不僅能提高學生學習數學的興趣，還能鞏固知識，培養解題技巧，提高思維能力。

（作者單位：江蘇省高郵市第二中學 225600）