數(shù)學(xué)原理教學(xué)及其設(shè)計

方友明　李麗芳

摘 要 以促進中學(xué)數(shù)學(xué)原理課的教學(xué)效果為目的，在總結(jié)國內(nèi)數(shù)學(xué)原理課教學(xué)及其設(shè)計的研究現(xiàn)狀基礎(chǔ)上，分析中學(xué)數(shù)學(xué)原理的本質(zhì)、學(xué)習(xí)的程度以及原理課教學(xué)所采取的由原理到例子的教學(xué)內(nèi)涵，并設(shè)計由原理到例子的數(shù)學(xué)原理課教學(xué)設(shè)計的案例，以期為中學(xué)教師的教學(xué)提供幫助和借鑒。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)原理 教學(xué)設(shè)計 案例

中圖分類號：G633.6 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2017）12-0025-03

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)原理課是一門很重要的課程，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起著很重要的作用，而部分教師在原理教學(xué)過程中只教會了學(xué)生數(shù)學(xué)原理要記住數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)法則、數(shù)學(xué)性質(zhì)和數(shù)學(xué)定理，而并沒有讓學(xué)生理解這個原理的真正的數(shù)學(xué)意義。因此講授數(shù)學(xué)原理時不僅僅是讓學(xué)生單純的學(xué)會數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)性質(zhì)、數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)法則，而是要他們理解數(shù)學(xué)原理的真正含義并能實際運用。而原理課的教學(xué)設(shè)計是教師為了使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)原理時更容易接受和更好的理解數(shù)學(xué)原理。教學(xué)中教師要讓學(xué)生理解并掌握數(shù)學(xué)原理，把握住數(shù)學(xué)思想，感悟出數(shù)學(xué)的思維方式，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)原理課的興趣，還要使學(xué)生了解原理的公式、性質(zhì)、法則、定理在整個數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)中的作用、地位和價值，尋找如何在中學(xué)數(shù)學(xué)原理教學(xué)中讓學(xué)生輕松學(xué)好原理的方法。

本文主要探討是原理課的教學(xué)和設(shè)計，講述中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)原理課的本質(zhì)、學(xué)習(xí)的程度以及學(xué)習(xí)原理課的幾種形式，列舉原理課的教學(xué)設(shè)計的案例，為中學(xué)教師的教學(xué)提供幫助和范例。

一、數(shù)學(xué)原理教學(xué)的研究現(xiàn)狀

我國在很早以前的教育史上就出現(xiàn)了關(guān)于數(shù)學(xué)原理的研究，他們不僅注重數(shù)學(xué)原理的言語性信息還注數(shù)學(xué)原理的本質(zhì)。到了當(dāng)代，數(shù)學(xué)原理的教學(xué)及其設(shè)計的理論與實踐出現(xiàn)了勃勃生機。從上世紀80年代到現(xiàn)在，我國教育界對數(shù)學(xué)原理的教學(xué)及其設(shè)計進行了許多的理論與實踐研究。近年來國內(nèi)關(guān)于本論文的研究很多，有學(xué)術(shù)性論文、碩士論文和博士論文，楊勤合于2012年在《學(xué)周刊》第5期刊登了《新課程理念下數(shù)學(xué)原理的教法和學(xué)法》一文，分析了新課程下的原理教學(xué)的方法以及做好原理課設(shè)計的各項工作。數(shù)學(xué)原理教學(xué)及其設(shè)計的理論研究以及各種模式的教學(xué)實驗已出具規(guī)模，對其教學(xué)和設(shè)計的課程的開展提供了理論依據(jù)。

數(shù)學(xué)原理課的教學(xué)及設(shè)計有著長久的歷史，從古至今，國內(nèi)外關(guān)于數(shù)學(xué)原理教學(xué)的文章有很多，由此可見，數(shù)學(xué)原理教學(xué)及其設(shè)計是具有重要意義的課題，值得我們?nèi)リP(guān)注，并通過案例解析。同時，對數(shù)學(xué)原理教學(xué)及其設(shè)計的研究也是有理論依據(jù)和研究背景的，廣大學(xué)者的研究結(jié)晶有助于我們進一步實踐。教師在教學(xué)過程中改變原理課的教學(xué)方式、教學(xué)手段，通過案例分析，突出數(shù)學(xué)原理課的重要性，可以提升其教學(xué)設(shè)計情操和能力，融入學(xué)生，做學(xué)生的良師益友，讓學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)原理課，提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

二、數(shù)學(xué)原理教學(xué)的本質(zhì)

1.數(shù)學(xué)原理的本質(zhì)

數(shù)學(xué)原理的理解一般分為兩種，一種理解為客觀原理，采用言語符號信息來描述概念之間的關(guān)系，屬于陳述性知識；另一種理解為主觀原理，即學(xué)習(xí)者的心理操作反應(yīng)系統(tǒng)（產(chǎn)生式系統(tǒng)），是學(xué)習(xí)者在某些特定的情況下能根據(jù)各種關(guān)系做出相關(guān)響應(yīng)的反應(yīng)，屬于程序性知識。

數(shù)學(xué)中的原理主要包含定理、公式、性質(zhì)和法則。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)原理主要是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)性質(zhì)、數(shù)學(xué)法則。教師在數(shù)學(xué)原理教學(xué)中應(yīng)樹立以下理念：

（1）數(shù)學(xué)原理的學(xué)習(xí)就是數(shù)學(xué)概念之間關(guān)系的學(xué)習(xí)，概念學(xué)習(xí)也就成為原理學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

（2）數(shù)學(xué)原理的學(xué)習(xí)不但要習(xí)得原理的言語性知識，還得習(xí)得原理的心理意義。

（3）習(xí)得數(shù)學(xué)原理的不是孤立地掌握某一個數(shù)學(xué)原理，而是要在各個原理之間建立起聯(lián)系，形成一種原理網(wǎng)絡(luò)。

（4）學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)原理的本質(zhì)是習(xí)得產(chǎn)生式。只要信息條件滿足，相關(guān)的行為反應(yīng)就會出現(xiàn)，學(xué)習(xí)者可以據(jù)此指導(dǎo)自己解決遇到的新問題。

2.數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)的幾種程度

了解、理解、掌握和綜合應(yīng)用是數(shù)學(xué)原理的四種程度學(xué)習(xí)水平：

（1）了解：能復(fù)述出原理的言語信息，并能辨認出這種原理的常見題型，還能列舉出一些相關(guān)例子。

（2）理解：能區(qū)別原理的反例與例證，能與相關(guān)的數(shù)學(xué)原理建立聯(lián)系，能掌握原理的本質(zhì)屬性。

（3）掌握：在理解的基礎(chǔ)上，直接將原理運用在新的問題情境中。

（4）綜合運用：在綜合類型的題目中運用原理解決問題。

3.數(shù)學(xué)原理教學(xué)的幾種形式

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)原理不僅要學(xué)會原理的言語性知識，還要掌握原理的程序性知識。在數(shù)學(xué)原理課堂教學(xué)中一般有兩種教學(xué)形式，即由原理到例子的教學(xué)和由例子到原理的教學(xué)。

由例子到原理的教學(xué)是教師先向?qū)W生提供豐富的例子，通過教師的適時指導(dǎo)，使學(xué)生從例證中順利、準確地歸納總結(jié)出一般結(jié)論。這是一種獨立發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)，對學(xué)習(xí)者認知水平要求較高，簡稱為“例子—原理法”。

由原理到例子的教學(xué)是教師先向?qū)W生呈現(xiàn)數(shù)學(xué)原理，讓學(xué)生在掌握構(gòu)成原理的各個概念、原理的基礎(chǔ)上，運用實例來說明原理的準確性（有時需要邏輯證明），并指導(dǎo)學(xué)生運用原理解決問題，從而讓學(xué)生掌握住原理。這是一種接受式學(xué)習(xí)，簡稱“原理—例子法”。對學(xué)習(xí)者認知水平要求不高，初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中主要采取原理到例子的教學(xué)形式，在掌握數(shù)學(xué)原理本質(zhì)的基礎(chǔ)上，運用大量的例證來說明原理所反映的關(guān)系。

高中的學(xué)習(xí)正弦定理和余弦定理，教師可以先呈現(xiàn)正弦定理“在三角形中，各邊和它所對的正弦的比相等”和余弦定理“三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的2倍。”然后再通過具體的例子來說明這個數(shù)學(xué)原理的運用，接著通過一些練習(xí)讓學(xué)生掌握這個數(shù)學(xué)原理。但采用“原理到例子的學(xué)習(xí)”的前提條件是，學(xué)習(xí)者必須已經(jīng)掌握了構(gòu)成這個原理的其他項的概念。比如說，在正弦定理中，學(xué)習(xí)者必須已經(jīng)掌握了什么是正弦角和余弦角，否則就不會運用由這些概念構(gòu)成的正弦定理。

三、原理到例子的教學(xué)設(shè)計

1.原理到例子的教學(xué)模式

數(shù)學(xué)原理的學(xué)習(xí)是有意義的學(xué)習(xí)，是新舊數(shù)學(xué)原理知識的相互作用，從而形成新的認知結(jié)構(gòu)的過程。如果學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)中具備了新原理的相關(guān)的適當(dāng)觀念，就能促進新原理的學(xué)習(xí)。在課堂教學(xué)中，老師可以適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生回憶、復(fù)習(xí)與原來相關(guān)的舊知識，以便幫助學(xué)生同化新的原理。

在初中學(xué)習(xí)原理“偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸成軸對稱圖形，奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點成中心對稱圖形”。老師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)偶函數(shù)、奇函數(shù)、軸對稱圖形、中心對稱圖形、兩點關(guān)于一條直線對稱和兩點關(guān)于一點對稱等概念，這樣才可能讓學(xué)生同化新原理。

2.原理到例子的教學(xué)設(shè)計

課題兩角和的余弦公式。

教學(xué)內(nèi)容三角恒等變換，兩角和的余弦公式。

[教學(xué)目標(biāo)]

學(xué)會推導(dǎo)并熟記平面內(nèi)兩點間距離公式；能夠運用公式從正反兩個方向解決簡單應(yīng)用問題，為建立其他兩角差的公式奠定基礎(chǔ)。

[教學(xué)重點和難點]

教學(xué)重點：兩角和的余弦公式的推導(dǎo)及運用。

教學(xué)難點：兩角和的余弦公式的靈活運用。

[學(xué)法與教學(xué)用具]

學(xué)法：啟發(fā)式教學(xué)

教學(xué)用具：多媒體

[教學(xué)過程設(shè)計]

（一）導(dǎo)入

讓學(xué)生先討論“cos（45€？30€埃？cos45€？cos30€笆欠癯閃ⅲ俊薄#ㄑü厥飩僑嗆島陀嘞液鬧滌頡⒓撲閆鰲⒘坑嘞蟻叩某ざ熱滯揪督餼鑫侍猓5貿(mào)鯿os（45€？30€埃賑os45€？cos30€啊=貿(mào)鯿os（ + ）≠cos +cos 這個結(jié)論。此時再次提出那么cos（ + ）又等于什么呢？這正是我們今天要研究的內(nèi)容。（揭示課題：兩角和的余弦。）

設(shè)計意圖：通過創(chuàng)設(shè)情境，順其自然地提出問題，揭示出課題，引導(dǎo)學(xué)生思考。使學(xué)生明確目標(biāo)、迅速進入角色。

復(fù)習(xí)提問：

（1）畫出一個鈍角、一個銳角的余弦線、正弦線。

（2）如果單位圓與角a的終邊相交于某點P，那么點P的坐標(biāo)可以用角a的三角函數(shù)值表示嗎？怎樣表示？

（3）用在同一坐標(biāo)軸上的兩點寫出兩點間距離公式。

新課引入：我們在解決上面的三個問題之前，先解決“平面內(nèi)兩點間距離的求法”這一問題。

通過上面的知識點回顧，我們了解了同一坐標(biāo)軸上兩點間距離公式。那么，坐標(biāo)與平面內(nèi)兩點間距離有什么關(guān)系呢？（通過具體的例子讓學(xué)生觀察同一坐標(biāo)軸上兩點間距離和平面內(nèi)兩點間距離的關(guān)系。）

教學(xué)過程：

3.結(jié)論

對于數(shù)學(xué)原理課的教學(xué)設(shè)計，不僅需要對原理掌握透徹，而且還需要靈活的運用，善于將知識之間的聯(lián)系緊密連接起來，因此我們需要不斷的分析典型的教學(xué)案例，找出其內(nèi)在的規(guī)律與聯(lián)系，這樣才能對原理課的教學(xué)及其設(shè)計才有更深刻的掌握、理解及運用。

總之，數(shù)學(xué)原理課的內(nèi)容形式變化不斷，教學(xué)設(shè)計要有適應(yīng)性、靈活性，我們要善于思考、分析、總結(jié)，才有可能找出問題的突破口，從而解決問題。

參考文獻：

[1]陳曉慧.教學(xué)設(shè)計[M].北京：電子工業(yè)出版社，2005.

[2]烏美娜.教學(xué)設(shè)計[M].北京：高等教育出版社，1994.

[3]馬復(fù).試論數(shù)學(xué)理解的兩種類型[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2001，（3）.

（責(zé)任編輯 陳 利）