試析平面向量在解決二面角問題的應用

劉澤粲

摘要：平面向量和二面角在我們學習高中數學的過程中都是比較重要的知識點，很多同學在學習二面角的過程中會覺得比較復雜，在解決相關問題的過程中會無從下手。平面向量在高中數學學習過程中的應用范圍是非常廣泛的，并且很多數學問題轉化為平面向量的時候就可以得到一定程度的簡化，因此，在解決二面角問題的時候就可以應用平面向量，使得抽象的幾何問題能夠簡化為代數問題，從而降低數學問題的綜合性。我主要根據自身的學習經驗，對平面向量在解決二面角問題的過程中進行分析。

關鍵詞：平面向量；二面角問題；應用

隨著新課程改革的不斷深入，平面向量在高中數學學習過程中的應用范圍越來越廣，很多高中數學題都需要借助平面向量進行解答。近年來，我們在學習平面向量的過程中，可以發現越來越多的新思路和新方法被提出和應用，使得平面幾何內容越來越豐富。就平面向量的具體應用來說，將其應用于解決二面角問題能夠大大降低問題的綜合性，從而使得問題得以簡化，我們在解題過程中也可以保持更加清晰的思維，從而提升解題效率。

一、法向量方向的不同應用

1、法向量方向相同

在應用平面向量求解二面角問題的過程中，首先要明確的就是二面角問題中能夠應用平面向量解題的條件。因此，我們要知道二面角的平面角θ與法向量所成的角α是相等或者互補的，只有滿足這個條件才能應用平面向量解答二面角問題。有時候，我們會遇到二面角的兩個法向量都指向二面角的內部或者外部，這時就要知道θ的大小是等于π-α的，而當二面角的兩個法向量指向的方向不同時，就是θ=α，這時我們還需要判斷法向量的方向。我在學習過程中，發現部分同學在判斷法向量的方向時，很容易出現錯誤，所以我就具體分析一下在這種情況下如何判斷法向量的方向：我們可以在二面角的公共棱上面任意取一點，標為M，然后在二面角的內部位置上任意取一點，標為N，為了驗證取點的正確性，我們還可以在兩個半平面內各取A、B兩點，將AB連線，這是點N就是線段AB的中點，并且處于二面角的內部。然后我們再構造一個向量MN，則可以得出法向量n1和n2的方向都指向二面角內部時，有n1·MN>0并且n2·MN>0，這是根據向量的夾角的定義和其數量積得出的結論，同樣地，若都指向外部，則n1·MN<0并且n2·MN<0，最后還可以得出當二面角兩個半平面的法向量都指向二面角的內部（或外部）時，二面角θ=π-。

2、法向量方向不同

法向量在解決二面角問題的過程中如果其方向是不同的，那么就需要視具體情況進行具體分析。在一般情況下，如果法向量n1的方向指向二面角的內部，而n2的方向指向二面角外部，這時就是n1·MN>0并且n2·MN<0，也就是說n1·MN與n2·MN在異號的情況下，二面角的兩個半平面的法向量的方向就是一個在內，一個在外，可以用θ=來表示。為了使得同學們能夠對平面向量在二面角中的解題應用更加詳細的了解，我就結合具體的例題進行分析。比如：棱錐P—ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD。（Ⅰ）證明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A-PBC的余弦值。

在解決這個問題的時候，我們先將立體圖形的空間直角坐標系畫出來，然后將相關的點和線段用向量的方向表示出來，再求出兩個法向量的余弦值，這樣能夠使得復雜的圖形得到簡化，然后就可以應用我提到的異號判斷法向量的方向的方法確定二面角平面角的余弦值。這種方式主要是需要集合作圖、求證及計算才能得出結果，很多同學在應用這種方法求解的過程中會覺得比較繁瑣，在一定程度上增加了題目過程的計算量。但是這種方法在我們剛剛接觸到這種類型的題時是有較大的作用的，我們在應用這種方法解答二面角問題的時候，可以簡化思路，不需要對圖形進行想象，并且可以不要動用邏輯推理，這對于尚且還是“新手”的我們，有重要的作用。

二、基底向量法

我上述提到的用平面向量解決二面角問題主要是根據判斷法向量的方向求解，另外還有一種方式是可以不用判斷法向量的方向就可以求解二面角問題。在求解過程中，我們需要在二面角的兩個半平面中，用與公共棱垂直的兩個向量的夾角表示二面角的平面角，這就是基底向量法。在用基底向量法解決二面角問題的過程中，要在空間內選取任意不共面的三個向量作為基向量，然后再將解題過程中需要用到的向量用基底進行表示，二面角就是這兩個向量的夾角，在計算過程中我們應用的是向量的數量積和線性運算。在應用這種方法解決二面角問題的過程中，是不用求二面角的兩個平面法向量的，并且向量基的運算一向都是需要以嚴謹的思維為基礎依據的，而坐標法計算則使得這種思維得到了簡化，使得我們在解題過程中能夠更加流暢。

三、結語

綜上所述，二面角問題是高中數學學習過程中的重要知識點，其具有較多的理論知識，并且需要以嚴謹的數學思維為基礎，應用平面向量解決二面角問題能夠使得幾何問題得到一定的簡化，讓我們在解題過程中能夠更加細心和精準，對于提升我們的數學學習能力有重要的意義。

參考文獻：

[1]趙雄.淺析向量法求解二面角[J].求知導刊，2014（06）：104

[2]裴小偉.平面向量在立體幾何中的應用[J].中學生數理化：高中版·學研版，2011