三重積分的直角坐標計算方法及其運用研究

余小飛，李 平

(河南工業職業技術學院，河南 南陽 473000)

三重積分的直角坐標計算方法及其運用研究

余小飛，李 平

(河南工業職業技術學院，河南 南陽 473000)

三重積分的計算，應考慮如何將其化為三次積分進行，本文根據積分區域和被積函數的特點，研究幾個三重積分的計算。

三重積分；直角坐標；三次積分

0 引言

三重積分在空間物體的質量、引力方面有非常廣泛的應用，但三重積分的計算卻是非常復雜的，本文將利用直角坐標系來研究三重積分的計算與運用。

1 三重積分的直角坐標計算方法

三重積分的計算是化成三次積分進行的，其實質是計算一個定積分(一重積分)和一個二重積分，然后再將二重積分轉化為二次積分。

Σ1:z=z1(x,y)，Σ2:z=z2(x,y)

其中z1(x,y)，z2(x,y)在Dxy上連續，且z1(x,y)≤z2(x,y)。在這種情況下，積分區域Ω可表示為

Ω={(x,y,z)|z1(x,y)≤z≤z2(x,y),(x,y)∈Dxy}

或者

同理，三重積分的計算也可以先對x求定積分，再對y，z求二重積分，有

或者先對y求定積分，再對x，z求二重積分，有

2 應用例析

解將積分區域Ω投影到xOy面上，得投影區域

在Dxy內任取一點(x,y)，過此點作平行于z軸的直線，該直線過平面z=0穿入Ω，過平面z=1-x-y穿出Ω，因此

解根據三重積分的性質，可得

又由被積函數的奇偶性和積分區域的對稱性，知

而

其中積分區域

(0≤z≤c)。

因此

x2+y2=z2，z=1

所界的區域。

解曲面在xOy平面上的射影D為圓盤x2+y2≤1，于是

3 結語

在利用直角坐標計算三重積分時，可化為三次積分來進行，但積分次序的不同，計算過程的復雜程度也不盡相同，在實際計算過程中，應根據積分區域和被積函數的特點，首先運用積分的性質，然后選擇恰當的積分次序，可以大大簡化計算過程。

[1]費定輝，周學圣.數學分析習題集題解[M].濟南：山東科學技術出版社，2008：368-369.

[2]華東師范大學數學系.數學分析[M].第三版下冊.北京:高等教育出版社，2006：247-251.

(編輯 趙欣宇)

Research on the Calculation Method and Application of Rectangular Coordinates of Three Integral

YU Xiaofei, LI Ping

(Henan Polytechnic Institute, Nanyang 473000, China)

Calculation of the three integral, should consider how to convert it into the triple integral. In this paper, the calculation of several integrals of the three integral according to the characteristics of the integral region and the integrand.

three integral; rectangular coordinates; the triple integral

2017-03-14

余小飛(1986-)，理學碩士，講師。主要研究方向：基礎數學。

G712

A

1672-0601(2017)05-0085-02