錯題整合，拓展周長教學的深度空間

單愛芬

【摘 要】周長的教學是幾何教學的一個起點，是今后學習各種圖形周長和面積的一個開始，因此在這一單元中培養學生的周長概念和空間觀念就顯得尤為重要。可是面對學生在作業當中出現的一些錯誤，我們是就題論題去解決問題呢，還是去思考錯誤背后的根源呢？一個錯題體現的是某一個知識體系的缺失，如果我們能將錯題整合，深度分析原因，改進教學的策略，或許就能提升學生對周長的進一步認識。

【關鍵詞】錯題整合 拓展 周長 數學活動

周長的教學是學生學習幾何類圖形的開始，是學生學習的重點。當學生進行單獨的周長學習時，學生總覺得非常簡單易學，而一旦進入深度學習之后，各種各樣的錯誤便暴露出來了。筆者根據自己的教學實踐，對長方形周長的深度拓展來談一些自己的思考和改進方法。

一、直面錯題——在錯題的困惑中起步

下面是教材中的一道練習題：一張長方形的紙，長30厘米，寬21厘米。從這張紙上剪下一個最大的正方形，正方形的周長是多少厘米？剩下的圖形周長是多少厘米？

求剩下圖形的周長，學生的錯解：

（30+21）×2-21×4=18（厘米）

21×4=84（厘米）

（30-21）×2=18（厘米）

在學生的錯解中我們不難發現：第一種情況學生是在用大周長減小周長的方法，曲解了對周長本質的理解；第二種情況是學生算成正方形的面積了；第三種情況是根本不理解題意，對題目本身的要求不清楚。

周長的教學是我們幾何教學的一個起點，是今后學習各種圖形周長和面積的一個開始，因此在這一單元中讓學生掌握周長概念和培養空間觀念就顯得尤為重要。可是面對學生在作業當中出現的一些錯誤，我們是就題論題去解決問題呢，還是去思考錯誤背后的根源呢？一個錯題體現的是某一個知識體系的缺失，如果我們能將錯題進行整合，深度分析原因，改進教學策略，或許就能提升學生對周長的進一步認識。

二、深度解讀——在錯題的類聚中提煉

一般情況下，作為教師首先想到的是對題目進行詳細講解，然后進行一定題量的訓練。可是在以后的練習中我們不難發現，學生還是會錯，要么拼錯圖形，要么不知道怎么拼、怎么剪，要么用減法來求剩余圖形的周長、用加法來求合并后圖形的周長。從有些學生的解答上來看，好像是學生由于審題不清導致的解答錯誤，但是在粗心的背后，也反映出了學生認知上的某些缺失和障礙。即使有些學生會解題了，但題目本身所蘊含的數學思想學生就沒有想得那么多了，因為他們沒有從根本上理解圖形拼剪后周長的變化規律，所以這不僅僅是因為題目偏難學生不會做，也不僅僅是因為學生審題不清。其實任何知識的偏漏，都有它基礎構建的缺失，筆者認為主要的原因不外乎以下三點。

1.對周長概念的建立不夠透徹，即周長教學時概念的外延不夠豐富，特別是變式呈現缺失。錯誤的解答通常不是由于錯誤的審題所致，也不是教師沒有教過這方面的內容，錯誤的解答常常有著理論的支撐，如果要理解題目，那么了解學生的理解就顯得非常重要。學生為什么會用減法來求剩余圖形的周長、用加法來求合并后圖形的周長，就是沒能很好地理解“封閉圖形一周的長度”這個概念。對于這種組合圖形，當周長以變化的方式呈現以后，學生就更加找不到周長了。因此，“周長”概念的建立是學生學習的一個重點，很多錯誤都與周長概念建立的不扎實有關。

2.學生由于缺乏動手操作的機會，導致由形象到抽象的空間想象能力不夠。在課堂教學中，出現最多的就是就題論題，學生的經驗無非就是用求周長的方法來指導解題，因此學生的思維也就停留在較淺的思維層次，對于一些稍復雜的思維題學生就束手無策了。這是因為在面對文字表述的問題時，未能在大腦中形成相應的空間圖形，由于在平時的課堂中缺乏相應的操作建立的一種表象，故而也就無法抽象出剪拼后對圖形周長的理解。即使有學生有意識地在大腦（草稿紙上或借助實物）中對圖形進行拼割，也很難完成拼割的過程，可見學生對圖形的空間想象能力是相當缺乏的。

3.學生數形結合意識的缺失。面對這些拼割問題，學生僅停留在數與數之間的運算狀態，缺少形的指導并與形有效對接，學生就無法抽象出對題意的理解。即使學生有以形指導的意識但未能在形的基礎上找出相應的數據，這樣的情況下解題還是有一定困難的。可見數形結合意識的缺失不但是學生數學發展上的一個障礙，也是我們教師在教學過程中的一個薄弱點。

三、活動整改——在操作活動中發展

（一）解讀題型

錯例中的題目和教材中的題目都是通過剪拼來呈現的，這幾道題不僅是為了鞏固長方形和正方形周長的計算，更是為了發展學生的空間觀念，在剪拼過程中立體地感受周長。如果單一地分析題目，學生很難從題目當中立體地呈現周長的變化，周長的增加和周長的減少其實是同一個系列的變化，它們同屬于對周長知識的一次拓展和提升，鞏固和發展對周長的理解有著舉足輕重的作用。

（二）活動意圖

綜觀這些易錯題，要想將里面所蘊含的空間想象和數學思想在新課教學當中馬上落實，這是有一定困難的，這需要學生有一個積累和成熟的過程。但是如果分解在不同的時段里教學，又會將題目本身所蘊含的數學思想分解得支離破碎。本著對錯誤資源的充分利用和對教材的整合，既減輕學生的學習負擔，又能拓展學生對周長的深度思考，所以本次教學改進將在利用錯題資源的基礎上整合教材，以數學活動課的形式呈現。設想在教學中體現：①周長概念外延的拓展和變式的呈現，在活動課中重點突破“加減法意義”的負遷移，拓展學生對周長的立體思考。②通過實物操作、畫圖操作、想象操作三個層次的活動培養學生的空間意識。③在數學教學中有意識地進行數形結合思想的滲透和培養。力求在資源的整合中，進一步發展學生的空間想象能力和空間觀念。

（三）活動方案

1.復習引入。

師：同學們，這是一張長方形紙，它的周長在哪里，你能描出來嗎？（學生說，老師在黑板上描）

師：老師告訴你們這個長方形的長和寬分別是18厘米和12厘米，請你算出它的周長。板書：（18+12）×2=60（cm）。

2.探究。

（1）探究大圖形變成幾個小圖形后周長的變化規律。

①取最大的正方形。

猜：你能在這個長方形中剪出一個最大的正方形嗎？你覺得最大的正方形邊長應是多少？為什么？

折：這個最大的正方形你能把它折好并撕下來嗎？（用同樣的方法描到黑板上）

算：請算一算這個最大正方形的周長。板書：12×4=48（cm）。

②求剩下小長方形的周長。

你能根據前面的計算結果直接口算出這個小長方形的周長是多少嗎？你是怎樣想的？

學生可能的答案：60-48=12 （總周長—正方形周長） 還有沒有不同意見呢？讓學生充分表達自己的想法。

（這是教學的關鍵處，可充分讓學生思辨。在此關注學生的錯誤，暴露學生的思維，并適時進行教學改進。）

驗證學生的想法：量或算剩下小長方形的長和寬并得出結果。

（12+6）×2=36（cm）

③重點討論為什么不是12而變成36呢？（這和學生的生活及數學學習經驗，求剩下只要直接相減的原有認知產生強烈的沖突）

教師順勢用課件展示周長的變化過程，讓學生清晰看到剪下后多出兩條邊。

小結：大長方形變成一正一長后，雖然它們的大小沒變，但周長卻變化了，增加了兩條邊，這就是本節課共同討論的內容。（板書課題：周長的變化）

④提升認識：（課件展示繼續剪的情況）從大長方形圖中每剪一次多出了兩條邊。

（2）探究幾個小圖形變成大圖形后周長的變化規律。

①拼兩個小長方形。

現在大家的手中都有一個小長方形。請同桌的兩個小長方形拼一拼，你能拼成什么圖形？

學生討論拼的情況，先猜想周長是多少再計算。（請學生在黑板上畫示意圖，試拼并計算）

橫拼或疊加兩種。根據學生回答板書。

（24+6）×2=60 12×4=48

重點交流：周長為何從2個36減少到了60或48了呢？兩種拼法的周長為何又不一樣呢？

深化認識：如果我們把四個同學的小長方形拼起來，周長又是多少呢？五個呢？借助課件幫助學生深化認識。

②拼正方形。

那個撕下的正方形，你也會拼嗎？（小組合作）

a. b. c.

把拼后的示意圖畫下來，描出所求圖形的周長，并說說會出現怎樣的情況。

（這樣做既可以使學生獲得豐富的表象，發展空間觀念，又可使學生學好抽象的數學知識，把抽象思維與形象思維緊密結合起來，利于發展學生的思維能力。）

你能用不同的方法來計算周長嗎？

a.數邊計算 b.套用公式計算 c.周長總和減減少的邊

③提升。

在拼的時候，我們不管用怎樣的方法計算，最后周長總會比單個周長總和要減少。

得出結論：每拼一次，隱去兩條邊。

（3）每課一得：這節課你有什么新的收獲？

結論：合拼周長減兩邊；分拆周長增兩邊。

（4）在練習中深化學生對周長變化規律的認識。

剛才我們在大長方形中剪了一個最大的正方形，如果我們只要求剪出剩下的那個小長方形，只有一種剪法嗎？試著剪一剪，并比較剩下圖形的周長和原圖形周長的大小變化。

通過練習，讓學生明白圖2周長變小，圖3周長相等，圖4至圖6周長變大。

[圖1][圖2][圖3][圖4][圖5][圖6] 總之，在操作過程中，各種拼剪后的圖形在學生腦中建立了表象，有效提升了學生的空間想象能力，可以說能夠為今后進一步學習幾何圖形打下了一定空間想象基礎。學生通過拼剪，感受到了周長的變化規律，為今后的面積學習在變和不變的規律中尋求知識的支點。盡管這一次的數學活動的嘗試，對于部分學生來講加大了教學的難度，但是既要拓展學生的認知空間又要處理好重點的把握和難度的跨越，這兩者之間也有一個矛盾的結合體，于是我們也只能在兩者之間尋找一個平衡的支點，即使戴著“鐐銬”也別忘自己是個舞者。

（浙江省紹興市柯橋區實驗小學 312000）