在游戲中探索策略

朱姍姍

隨著新一輪義務教育課程改革深入推進后，拓展性課程成為了熱點話題。我們認為，數學拓展性課程，應該體現兩個特征：第一，激發學生學習數學的興趣；第二，激活學生思維，開發學生潛能。而以游戲為載體，發展學生的數學思維能力，應該是數學拓展性課程中的一種形式。

一、內容設計構想

在一次練習中，有一道習題引起了筆者注意：在8×8的棋盤右下角有一顆棋子，甲、乙兩人輪流下棋，規定只能下在前一顆棋子的上面、左面或者左上方距離一格處，誰能用自己的棋子占領左上角誰就獲勝，如果甲先下，那么誰會贏？

學生練習后，筆者在批改時發現，全班沒有一位學生能夠解決。經過交流發現，學生無法解決的原因有三：第一，部分學生不能理解題意，無法解題；第二，無法選擇或有效使用“倒推”這一策略；第三，學生對必勝策略的尋找毫無頭緒，無從下手。

究其原因，下棋是兩個擁有理性思維的人之間的一種博弈，如果將這道題完全放給一個學生課后單獨去做，沒有兩個人之間的對弈經驗，學生很難從博弈角度去思考問題，思考也很難全面。

那么，這樣的材料我們何不將其整理變形，構架一堂拓展課呢？筆者據此設計了“棋盤上的奧秘”這一數學拓展課課例。基本教學思路：第一，有師生對弈的引領，有生生對弈的探索以及三方討論；第二，課堂中給予學生充分的對弈體驗，讓學生在與他人下棋的過程中，自主萌生博弈觀念、倒推策略；第三，課程內容有一定的難度，因此，材料呈現循序漸進，環節推進張弛有度，逐步逼近學習目標。

二、教學內容

在“8×8”“8×8-5×5”的棋盤右下角放一顆棋子，以它為起點，兩人輪流在這個棋盤上下棋，規定只能下在前一顆棋子的上面、左面或者左上方距離一格處，誰能用自己的棋子占領左上角誰就獲勝。找出必勝策略。

三、教學目標

1.在下棋活動中學會用嘗試驗證和倒推的方法探索必勝策略。

2.在經歷與他人博弈下棋的過程中，培養邏輯推理能力；嘗試解釋自己的思考過程，培養語言表達能力。

3.培養數學學習興趣。

四、教學過程

（一）回顧微課內容，引出課程中心

在授課前一天，學生已在家觀看微課“棋盤上的奧秘”，內容為：紅紅和明明兩人在12×12的棋盤上下棋，規定從右下角開始，兩人輪流下，且只能下在前一顆棋子左上方距離一格或兩格處，誰先搶到左上角的點，誰就獲勝。紅紅因搶到必勝點，三局都獲勝。

師：昨天看了微課，誰能告訴我，為什么紅紅三局都能贏？

生：因為紅紅搶到了3號點，在3號點上，不管對手下一格還是下兩格，都能搶到終點。

師：像這樣，不管對手如何下，都能保證必勝的點，我們叫它必勝點。

師：想要下到這個必勝點，又得下到哪些點呢？

生：想要下到3號點，我們必須搶到2號點，想要搶到2號點，必須搶到1號點。

師：我們用倒推的方法找出了所有的必勝點。所以在這個棋盤上，要后下，下必勝點，才能獲勝。

【設計意圖】這部分內容是整堂課的準備環節。有以下幾個意圖：①在微課中演示12×12的棋盤及根據相應的游戲規則的操作，便于學生熟悉棋盤，理解8×8棋盤的游戲規則；②引出在一維線上進行逆向推理的核心能力問題；③定義了必勝點并規范必勝策略的說法，使學生后續作答更具指向性。

（二）利用8×8的棋盤，在對弈中感悟嘗試和倒推

1.理解規則。

展示題目：在8×8的棋盤上的右下角放一顆棋子，以它為起點，兩人輪流在這個棋盤上下棋，規定只能下在前一顆棋子的上面、左面或者左上方距離一格處，誰能用自己的棋子占領左上角誰就獲勝。

師：如果我的第一顆棋子下在這里，那么你的棋子可以下在哪里？

生：可以下在您的棋子的上面、左面或者左上方。

師生對弈，當教師下在距離終點2格處的點時，學生認輸。

師：老師下到哪個點的時候，你覺得老師一定能贏，為什么？

生：老師下到這個點時我覺得老師肯定贏了，因為我只能往上，老師就能搶到終點了。

【設計意圖】因有12×12棋盤游戲的微課學習，學生對8×8的棋盤上的游戲規則比較容易理解。同時，師生對弈是為了保證全班學生都能掌握游戲規則，感知第一個必勝點，為下面找必勝點做鋪墊。

2.探索必勝策略。

師：你想不想贏老師？給你時間探索贏老師的方法。

師布置任務：請同學們拿出練習紙，你可以和同桌對弈，下到哪個點的時候你覺得自己肯定能贏，把這樣的點記錄在必勝點記錄區。

【設計意圖】在這里，我們必須給予學生充分的對弈體驗，在對弈中，讓學生萌生博弈觀念，倒推思路。

3.反饋。

（1）錯誤點

師：請找到這個點的同學來說一說是怎么想的。

生：下到這個點，如果對手往上，我就可以往左上搶到終點；如果對手往左上，我就直接往上搶到終點。

生（反駁）：下到這個點，如果對手往左，那么我就只能往上，這樣終點就被對手搶到了，所以這個點不是必勝點。

（2）往下、往右倒推點

師：看來這個點不能保證我一定能贏，所以這個點不是必勝點，這個點呢？

生：如果我搶到這個點，對手就只能往上，我就能搶到終點。

師：這位同學也找到了這個點，同時還找到了另一個點，你怎么想？

生：如果我搶到這個點，對手就只能往左，我就能搶到終點。

（3）右下倒推點

師：你還發現哪個是必勝點，說說看。

生：這個點是必勝點，如果對方往左走，那我也往左，就可以搶到1號必勝點；如果對方往上，那我也往上，就可以搶到2號必勝點；如果對方往左上，那我也往左上，就直接搶到終點，也就是說只要我搶到這個點，不管對手往哪個方向下，我都能搶到終點。

師：他說的讓你明白了嗎？誰能用自己的話再來說一說？

【設計意圖】學生的對弈過程，實際上是一個試誤的過程，不斷地在各個點上嘗試，然后發現：哪個點上不能保證一定能贏，哪個點上，不管對手怎么下一定能贏。這里的反饋分為三個層次，第一個層次，反饋錯誤點，讓學生再次明確，下棋是一種博弈，在你想往對自己有利的方向發展時，對手也是這么想的，只有“不管對手如何下，都能保證必勝的點才是必勝點”；第二個層次，往右、往下的必勝點推導，為反饋右下必勝點做鋪墊；第三個層次，右下必勝點推導，右下的必勝點的尋找稍有難度，通過多次復述的方式，讓學生充分理解。

4.帶領倒推。

師：那怎么才能搶到這個點呢？

生：我覺得應該搶到這3個點，搶到1號點，對方往上，我也往上，就能搶到那個點；搶到2號點，對方往左，我也能搶到這個點；搶到3號點，對方往左我就能搶到1號點，對方往上，我就能搶到2號點，對方往左上，我就能直接搶到這個點。

生：我們已經知道，要搶到終點，必須搶到離終點兩格的這3個點。現在，我們可以直接把這個點當成終點，就可以直接倒推出這3個點。

師：誰能像他這樣來找一找能讓我們搶到這個點的必勝點？

生：和剛才一樣，我們可以把這個點當成終點，那我必須搶到這3個必勝點。

【設計意圖】這一環節是基于學情的帶領倒推，這里要反饋兩種倒推方式：①邊試誤邊倒推→對前一環節的再一次嘗試和鞏固；②建立模型后的倒推→類比倒推，建立模型，學會簡化。

5.學生自主找必勝點。

師：你能像剛才那幾位同學那樣，找到所有的必勝點嗎？試一試。

6.師生對弈2局均生贏。

師生對弈均生贏。

師：看來你已經找到必勝策略了。請把你找必勝點的過程，和同學們說一說。

生：想要搶到這個點，必須搶到這個點；想要搶到這個點必須搶到這個點；想要搶到這個點必須搶到這個點……

師：他剛才是在干嗎？

生：從終點開始往起點倒推。

師：所以必勝策略是？

生：先走，走必勝點。

【設計意圖】學生贏了教師，受到了極大鼓舞，獲得了數學學習的成就感。此環節注意引導：想要搶到這個點，必須搶到這個點；想要搶到這個點，必須搶到這個點……通過語言規范，領悟“倒推”原理。

7.小結。

師：回顧一下，為了找到這個棋盤上的必勝策略，我們先做了什么，又做了什么？

生：先嘗試，找出離終點最近的3個必勝點，再從終點開始，往起點倒推。

師：同學們，我們通過倒推的方法找完必勝點之后，老師和這位同學對弈，其實就是在驗證大家的必勝策略是否正確。（板書：驗證）

【設計意圖】回顧解決問題的全過程，并告知學生：必勝策略找到后的對弈其實是一種驗證，使解決問題的過程更完整。

（三）出示8×8-5×5棋盤，引發認知沖突

1.自行找必勝點。

師：把兩個棋盤放在一起呢？請你獨立思考，找出必勝策略。

2.反饋。

生：想要搶到這個點，必須搶到這個點；想要搶到這個點必須搶到這個點；想要搶到這個點必須搶到這個點……所以必勝策略是先走，走必勝點。

師：我們來驗證一下。（生黑棋先走，師白棋后走）

師：你不是已經找到必勝點了嗎？為什么還會輸？

生：必勝策略有誤。

師：我們用驗證的方法發現，我們的必勝策略是有漏洞的。老師下到哪個點的時候你覺得必勝策略可能是有漏洞的？

生：沒考慮老師往上走。

師：看來我們認為的必勝點，還存在著漏洞，說明我們在倒推的過程中必須考慮對手的各種可能性，讓自己的思維更嚴謹、更全面。（板書：嚴謹、全面）。那么真正的必勝點在哪兒呢？

【設計意圖】學習了前面的知識，學生會產生思維定勢，以為只要進行“田”字倒推即可，這一環節讓學生產生了強烈的認知沖突，從而促進學生反思：①得出必勝策略后要進行驗證；②倒推時務必嚴密思維。這一環節，既讓學生體驗了反思的意義，又讓學生感受到完整的解決問題的過程。

（四）回顧所學，全課小結

師：在今天這堂課上，你有什么新的收獲？

生：在尋找策略的時候我們可以先嘗試一下，找找感覺。

生：學會用倒推的方法去解決數學和生活問題。

生：思考問題要嚴密。

生：倒推后的順向驗證能幫我們驗證倒退結果是否真的正確。

五、教學反思

（一）關于材料

本課例，采用學生十分喜愛的下棋游戲，學生興趣高漲，求知欲強烈。從8×8到8×8-5×5，棋盤在不斷地演變，學生也在層次不斷遞進的材料引導下，觸碰他們的“最近發展區”，從原來的沒有一個學生能夠解決問題，到最后的幾乎每個學生都至少能夠解決8×8的棋盤，不同程度的學生有不同層次的收獲。

（二）關于過程

在課堂上，教師放手讓學生通過不斷的試誤，在嘗試中進行自我糾錯、反思和辨正，在量變下慢慢積累經驗最后“頓悟”質變，讓學生自發地去尋找解決問題的策略，有了最深刻的體驗。

讓教學中的每一個設計，都有效服務于學生的成長。整堂課的每一個過程設計都有教師的設計意圖、細化目標。盡管材料不斷演變，但本課例的每一個材料都緊緊圍繞“博弈”“倒推”展開，將最大的力氣用在培養學生的推理能力上。

（三）關于內容的延伸

授課后，我們也一直在思考棋盤的材料是否有更多可挖掘和探索的地方。如將規則改成只能往上或往左走，那么必勝策略會怎樣？這時候必勝策略的得出，除了可以在棋盤上倒推，還可以將棋盤上的路線拉成一根能走17步的線段，那么這時候棋盤就和搶數游戲完全相通了，方法和策略也在不同的材料中延伸貫通了，看來很多數學游戲可以成為我們開發的資源。

（浙江省杭州采荷第一小學教育集團 310000）