經(jīng)歷實驗過程 拓展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

呂瓊?cè)A

【摘 要】拓展性課程以課程知識為載體，適度的延伸、開拓，以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。“估測不規(guī)則圖形的面積”這一內(nèi)容在各套教材中以“分類數(shù)”和“轉(zhuǎn)化算”兩種算法為主，教師可以在這兩種算法的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生經(jīng)歷撒綠豆的實驗過程，自主發(fā)現(xiàn)圖形內(nèi)綠豆數(shù)量和面積之間的關(guān)系，探究估測不規(guī)則圖形的新方法。

【關(guān)鍵詞】估測 圖形面積 數(shù)學(xué)實驗

一、教學(xué)內(nèi)容及設(shè)計構(gòu)想

教學(xué)內(nèi)容：圖1中每個小正方形為1平方厘米，估計曲線所圍成的圖形面積。

版五年級上冊第六單元是“多邊形的面積”，包括平行四邊形、三角形和梯形的面積的學(xué)習(xí)，之后安排了“估測不規(guī)則圖形的面積”這一教學(xué)內(nèi)容。在不規(guī)則圖形的面積這一內(nèi)容中，教材介紹了兩種方法，可以概括為“分類數(shù)”和“轉(zhuǎn)化算”。對于估測不規(guī)則圖形面積這樣的學(xué)習(xí)內(nèi)容，學(xué)生有沒有其他方法來解決這個實際問題呢？考慮到實際操作的便捷性，本節(jié)課教師為學(xué)生提供了綠豆這一實驗材料，學(xué)生是否能創(chuàng)造出獨(dú)特的估測方法呢？

二、教學(xué)目標(biāo)

1.鞏固用分類數(shù)和轉(zhuǎn)化算的方法來估測不規(guī)則圖形的面積。

2.經(jīng)歷實驗、猜想、驗證的過程來估測不規(guī)則圖形的面積，感知數(shù)量和面積的關(guān)聯(lián)，體會轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，發(fā)展創(chuàng)造性思維。

3.感知不同估測方法之間的不同，能根據(jù)實際情況選擇合理的估測方法。

三、教學(xué)實錄

（一）提出問題

1.介紹每個小組的實驗材料：塑料筐、一盒綠豆。

2.根據(jù)下圖，你能提出什么數(shù)學(xué)問題？

3.可以怎樣來估測長方形中這個不規(guī)則圖形的面積？

學(xué)生交流：

（1）分類數(shù)：將長方形分割成單位面積的小正方形，通過數(shù)小正方形的方法估測面積。

（2）轉(zhuǎn)化算：轉(zhuǎn)化成我們已經(jīng)學(xué)過的規(guī)則圖形來估計面積。

4.明確任務(wù)：用一盒綠豆，你能創(chuàng)造出新的方法來估測這個圖形的面積嗎？

【設(shè)計意圖】對于學(xué)生來講，估測面積并不是一個新問題，能夠順利地調(diào)動已有知識和經(jīng)驗來解決這個問題，但是面對著全新的實驗材料“綠豆”，并用此材料估測不規(guī)則圖形的面積，這是一個有挑戰(zhàn)性的任務(wù)。很多學(xué)生在課的一開始時認(rèn)為這是一個“不可能完成的任務(wù)”，以實驗材料的特殊性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。

（二）探究方法

1.尋找實驗方法，分組議一議，也可以利用材料試一試。

2.方法交流。

方法1：

生：我們小組想先用綠豆填滿不規(guī)則圖形，然后數(shù)出不規(guī)則圖形中綠豆的數(shù)量，估計出一顆綠豆底部的大小，用一顆綠豆的底面積乘綠豆的數(shù)量來推測圖形面積。

配合學(xué)生的回答，教師呈現(xiàn)圖3。

討論：用這個方法做實驗，可能會碰到什么困難？

生：豆子很難數(shù)。

生：綠豆并不是一個規(guī)整的立體，計算底面積有點困難。

方法2：

生：我們小組在前面這組的基礎(chǔ)上調(diào)整了一下，先將綠豆鋪滿整個不規(guī)則圖形，然后不改變這些綠豆的數(shù)量，將它們擺成一個長方形，只要測量這個長方形的長和寬，就能算出長方形也就是原來不規(guī)則圖形的面積了。

配合學(xué)生的回答，教師呈現(xiàn)圖4。

師：你們覺得這個方法怎么樣？

生：我覺得這個方法將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形，可以更精確，也更方便地算出這個不規(guī)則圖形的面積。

方法3：

生：我們組的方法是在不規(guī)則圖形的上空撒下一把綠豆，然后分別數(shù)出在長方形里面和不規(guī)則圖形里面的綠豆的數(shù)量，看看兩部分?jǐn)?shù)量有怎樣的倍數(shù)關(guān)系，它們的面積也應(yīng)該具有這樣的倍數(shù)關(guān)系。因為長方形的長和寬可以測量，可以計算出長方形的面積，然后就可以根據(jù)倍數(shù)關(guān)系計算出不規(guī)則圖形的面積了。

師：這一組采用的是什么方法？

生：用圖形中綠豆的數(shù)量關(guān)系來推測圖形的面積關(guān)系。

師：你們是怎么想到用撒綠豆這個方法的呢？

生：因為我們盒子里的綠豆很少，不夠鋪滿整個不規(guī)則圖形，所以我們就想到是不是可以用撒綠豆的方法來研究不規(guī)則圖形的面積。

師：用這個方法到底能不能求出不規(guī)則圖形的面積呢？

生：我們可以試一試，做實驗。

師：想一想，我們做撒綠豆的實驗時，可能會碰到什么問題？

生：綠豆撒得不均勻。

師：怎樣才能撒得均勻呢？每個小組拿出綠豆和筐試一試。

3.小組活動與交流。

【設(shè)計意圖】面對一盒綠豆和一個長方形中的不規(guī)則圖形，很多學(xué)生首先想到的是密鋪，也就是方法1，可行但是不太方便。方法2在方法1的基礎(chǔ)上有了很大的進(jìn)步，即利用等積變形，把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形，這樣計算就方便了。得到方法3的小組因為發(fā)現(xiàn)綠豆不能鋪滿整個不規(guī)則圖形，于是走了另一條路，用撒綠豆的方法通過尋找數(shù)量間的關(guān)系來推測圖形面積間的關(guān)系。

（三）小組實驗

1.實驗要求：（1）撒一撒；（2）數(shù)一數(shù)；（3）記一記。

2.小組實驗。

3.數(shù)據(jù)匯總。

【設(shè)計意圖】這一環(huán)節(jié)意在讓學(xué)生經(jīng)歷一個完整的實驗過程。從實驗前的設(shè)計、小組合作實驗（有的學(xué)生負(fù)責(zé)撒綠豆，有的負(fù)責(zé)數(shù)數(shù)，有的負(fù)責(zé)記錄）、數(shù)據(jù)匯總以及后面的數(shù)據(jù)分析，這一過程對促進(jìn)學(xué)生的實驗意識，感受和理解數(shù)學(xué)實驗的意義很有幫助。

（四）數(shù)據(jù)分析，初步推斷

師：觀察這些數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？又會有什么猜想呢？

生：長方形內(nèi)綠豆數(shù)量是不規(guī)則圖形內(nèi)綠豆數(shù)量的2倍左右。我猜想長方形的面積是不規(guī)則圖形面積的2倍左右。

師：通過測量，我們可以發(fā)現(xiàn)長方形的長和寬分別是17厘米和12厘米，請大家估計一下不規(guī)則圖形的面積大約是多少？

生：17×12÷2≈100（cm2）。

師：這只是我們的一種猜想和推測，猜想是否合理呢？

生：我們可以用分類數(shù)和轉(zhuǎn)化算的方法來驗證。

【設(shè)計意圖】對于數(shù)學(xué)實驗來講，每一個環(huán)節(jié)都很重要，然而要發(fā)現(xiàn)實驗和數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)系，必須依托于數(shù)據(jù)分析。當(dāng)每一組的數(shù)據(jù)逐步輸入excel表中，學(xué)生能夠逐步感受到數(shù)據(jù)的魅力所在，同時也在不知不覺中完成了圖形幾何領(lǐng)域與統(tǒng)計概率領(lǐng)域的跨界，兩者結(jié)合成功解決實際問題。

（五）驗證猜想，得出結(jié)論

1.學(xué)生活動：用分類數(shù)和轉(zhuǎn)化算的方法求不規(guī)則圖形的面積。

2.交流反饋。

生：我是用分類數(shù)的方法得到面積大約是94cm2。

生：我用轉(zhuǎn)化算的方法，得到面積大約是99cm2。

3.得出結(jié)論：用撒綠豆的方法，計算出規(guī)則圖形和不規(guī)則圖形中綠豆數(shù)量的倍數(shù)關(guān)系，可以推測出這兩種圖形的面積，然后根據(jù)規(guī)則圖形的面積來求出不規(guī)則圖形的面積。

4.為了區(qū)別于分類數(shù)、轉(zhuǎn)化算，這個方法可以取什么名稱？（實驗估）

5.比較這三種估測不規(guī)則圖形面積的方法，你有什么想說的？

【設(shè)計意圖】數(shù)學(xué)實驗，先有猜想，再有實驗，最后有驗證，學(xué)生經(jīng)歷這樣一個完整的實驗過程，尋找到了新方法，體會數(shù)學(xué)不同領(lǐng)域之間相互滲透、密切聯(lián)系，在聯(lián)系的深處發(fā)現(xiàn)意想不到的驚喜，增添了學(xué)習(xí)的樂趣。對于挑戰(zhàn)課初之“不可能完成的任務(wù)”，學(xué)生一定是收獲了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功感。

四、教學(xué)反思

無論是小學(xué)低、中段的學(xué)生，還是高段的學(xué)生，對于動手實驗都是極其喜歡的。相對于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)性課程，數(shù)學(xué)拓展性課程在內(nèi)容選取上有了更大的空間，因此更有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，在不知不覺中學(xué)生發(fā)生了變化。

對數(shù)學(xué)的興趣在變化。學(xué)生喜歡這樣的課，得益于所獲得知識的未知性以及學(xué)習(xí)任務(wù)的挑戰(zhàn)性。撒綠豆這樣的實驗，是否能夠順利估測出不規(guī)則圖形的面積，答案不得而知。正因為如此，學(xué)生有了更濃厚的興趣。挑戰(zhàn)性越強(qiáng)，未知性越強(qiáng)，學(xué)生越有參與的內(nèi)驅(qū)力。

對數(shù)學(xué)的認(rèn)識在變化。經(jīng)歷一個實驗過程，獲得美好的實驗感受，嘆服于實驗的結(jié)果，這讓學(xué)生產(chǎn)生了美妙的感覺，原來數(shù)學(xué)是這樣的神奇，看來毫無關(guān)系的兩個事件卻可以如此緊密地聯(lián)結(jié)在一起，并且相輔相成，相依變化，在一定程度上拓寬了學(xué)生的數(shù)學(xué)視野。

學(xué)習(xí)新知和解決問題的能力得到了培養(yǎng)。學(xué)生的課堂經(jīng)歷是學(xué)習(xí)的過程，也是學(xué)習(xí)的目標(biāo)，通過這樣的經(jīng)歷，學(xué)生既能學(xué)習(xí)新知識，更能習(xí)得解決問題的辦法，“實驗—猜想—驗證”這個過程本身就是教學(xué)目標(biāo)之一，更何況在這個過程中不同的學(xué)生獲得了不同的體驗，積累了屬于自己的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

（浙江省杭州市天長小學(xué) 310000）