一課研究明確“比”的定義 突出本質教學

吳春敏

【摘 要】人教社實驗版與修訂版教材對“比”的定義表述不同，但強調的都是“兩個數相除”的屬性，在修訂版的數參中，突出了“比”是一種關系這一本質。教學中，要讓學生深究從“量比”到“關系”蘊含的概念內涵；繼而在“比定義”揭示與教學方式和學習方式聯系中，明確比的本質屬性。

【關鍵詞】倍比關系 除法運算 量比

“比”是小學數學教學的重要內容。人教社實驗版和修訂版教材給出了不同的比的定義，本文試圖對人教版“比”的內容進行對比分析并給出教學建議。

一、課時安排，自立門戶凸顯個性

在我國，自1963年起將“比和比例”內容下放到小學教材中以來，“比的認識”這一內容在單元教學編排中一直處于不停的搖擺中。從1963年至1995年，人教版教材將“比和比例”合二為一單元，放在小學階段最后一冊進行教學。1996年開始，編者又將“比”內容與“比例”分離開來，提早一學期，編入第9冊（或六上）的“分數除法”單元中。直至2012版修訂稿教材，雖然時間安排依舊在六上，但內容編排已經脫離了“分數除法”單元，自立門戶，單獨設立一個單元為“比的認識”。這樣的改變意欲何為？查閱《義務教育課程標準實驗教科書數學六上教師教學用書》（以下簡稱實驗版教師用書）發現，“比”與分數有密切聯系，把“比”的最基礎知識提前安排在分數除法單元中教學，有利于加強知識間的內在聯系，為以后學習比例知識打好基礎。然而隨著課改的深入，對于“比”概念本質屬性的深入研究及思考，學者們發現：“比”不應只是從“兩個數相除”的運算角度理解，而更應突出其量與量之間的關系。因此在《義務教育教科書教師教學用書》（以下簡稱修訂版教師用書）中，明確提出：將“比”作為獨立單元存在，有以下三種優點。一是學生從量與量之間的關系這一角度去認識比，有助于培養學生的代數思想；二是“比”的書寫格式區別于除法形式，更強調量與量之間的倍比關系的直接描述；三是實際運用中有時不需關注具體比值是多少，亦可同時表示兩個、三個乃至更多量之間的倍比關系。

由此可見，實驗版教師用書對于“比”的界定，更傾向于“比”是兩個數相除，比是除法的一種延伸，比是一種運算。而修訂版教師用書不再僅將“比”的認識停留在運算角度，而是從其本質入手即“比表示量與量之間的關系”，這里的量可以是兩個量或多個量，這種關系是用除法算式表示的倍數關系，它直接描述量之間的關系本身，無須過多強調比值這一結果。由此可見，修訂版教材的教學意圖逐步走向概念本質的屬性，走進定義內涵的深入。

二、教學內容，強調關系凸顯“量比”

1.情境導入部分。實驗版教材和修訂版教材采用同一主題圖，給出兩面長方形小旗的數據，研究長與寬的關系。但同樣的教學內容在教師用書的編寫意圖中卻有所不同。

[實驗版

教師用書 引導學生討論長與寬的倍數關系，得到長度相除的兩個算式，由此引出同類量的比 修訂版

教師用書 引導討論長與寬的關系，得到大小比較關系、差比關系、倍比關系等。直接指出用比表示倍數關系，引出同類量的比 ]

從上述表格對比中，我們不難發現，兩者的編寫意圖有所不同：實驗版直奔主題強調“倍數關系可用除法表示，突顯比與分數除法的連接性；而修訂版則側重兩個量之間的各種關系，突出量與量之間大小、差比、倍比的關系，在此基礎上指出比表示倍數關系，更為關注概念和屬性，豐富比的內涵。

2.“異類量比”教學部分。兩個版本教材均介紹飛船的運行路程與時間，用除法表示出飛船進入軌道后的速度，得到異類量的比。對比兩個版本教師用書中的編寫意圖，兩者之間又存在細微差別：實驗版讓學生用“除法”表示速度，引出異類量比；而修訂版則直接指出可以用比來表示路程和時間的關系。前者強調衍生量“速度”的求法形式，后者強調衍生量“速度”的來源關系，突出比是除法關系的另一種表示方式，這一表示方式在不同的量與量之間會衍生出新的量，這個新的量是原有量與量之間倍比關系的一種體現。

三、教學方式，強調體驗積累經驗

盡管新課改和深化課改都強調了“學生的主體學習”理念和“自主探索，引導發現”的學習方式，但從兩個版本編寫意圖的“關鍵詞匯描述”中，不難發現實驗版和修訂版對于教學方式的側重點各有差異。

1.同類量比的教學。實驗版由倍數關系“引出”同類量的比，修訂版則在量與量之間各種關系的基礎上“直接指出”比表示倍數關系。看似兩者都將比和倍數關系進行推理等同，實則在教學策略上有所側重，修訂版更強調學生的直觀體驗和經驗的積累，強調在情境中學習的同時對于概念的探索重視對比教學，在類比和推導中經歷比與倍比兩者之間的聯系。

2.異類量比的教學。由于生活現實中存在異類量比，單講同類量比不利于實際應用與進一步學習，因此人教版教材從1981年開始，增加了“異類量比”的教學內容，并擴大了比的概念“兩個數相除又叫作兩個數的比”，此后30多年來一直選用“路程和時間”的比作為異類量比的素材進行教學。盡管“路程、時間和速度”的數量關系式學生在三年級就接觸過，且運用非常廣泛，但其作為“異類量比”的典型代表，學生的理解有偏差。筆者曾對此做過一次實證調查，詳見以下表格。

實證數據證實，半數以上學生認為“單位不同的兩個量不能比”。實驗版用除法表示速度“引出”非同類量比，修訂版“直接指出”還可用比表示路程和時間的關系。對比兩者的關鍵詞，進一步發現：“引出”既引導學生進行思辨、交流，得出異類量的比，而“直接指出”則更強化約定俗稱的一種存在就是合理的現狀。由此可見，修訂版弱化了新課改前期轟轟烈烈的“自主探究，引導發現”教學方式，而是采用“直接給出”的教學策略，讓學生了解具有實際意義的兩個異類量比較，也可以用“比”來表示，突破了比只作為同類量“倍數關系”的狹義定義，讓定義外延更加寬闊，使學生進一步認識比的意義以及比和除法的關系。

3.定義的揭示。實驗版側重學生個體的“概括”，而修訂版則強調學生多種感官參與的體驗和“直接抽象”。概括是形成概念的一種思維過程和方法；抽象是從眾多的事物中抽取出共同的、本質性的特征，舍棄其非本質的特征。要抽象，就必須進行比較，沒有比較就無法找到在本質上共同的部分，由此對于素材內容的直觀體驗和對比分析更為突出。盡管兩者有聯系，沒有抽象就不能進行概括，但兩者在行為執行力上，在程度上都是有所不同的。可見，對于定義的揭示，實驗版和修訂版教材盡管教學內容相同，然而由于單元編排的不同、編寫意圖的不同、教學方式的不同，學生的學習方式會發生變化，學生對于定義的經歷和體驗、定義的推導都會有所變化。

（浙江省溫州市甌海藝術實驗小學 325000）