n階行列式第一課的教學探討

文/毛元福 孫小迎

n階行列式第一課的教學探討

文/毛元福 孫小迎

《線性代數》是理工科大學學生的一門必修基礎數學課程，生產實際和科學研究中有許多問題可以歸結為線性方程組，行列式正是對線性方程組的研究中建立起來的。行列式的計算是線性代數中的重點難點，特別是n階行列式的計算，學生在學習過程中，普遍存在很多困難，難于掌握。因而對于初學線性代數的同學來說，行列式的第一課尤為重要，既要讓學生較容易的掌握行列式的基本概念，還要激發學生進一步學習行列式強烈愿望。本文就行列式的第一課做了一些結構性的教學探索。

n階行列式的計算是線性代數中的一個重要問題，也是一個很復雜的問題，其技巧性很強.理論上任何一個n階行列式都可以按定義計算，但是當n較大時，直接按定義計算而不借助于計算機幾乎是不可能的.因此，探尋n階行列式的計算方法是十分必要的.

《線性代數》第一課一般安排的教學任務是一些基本的概念，比如排列，標準排列，逆序數，排列的奇偶性，對換，在此基礎上引入二、三階行列式的概念及其計算方法，這些概念學生也容易理解，但是由于學生還不了解二、三階行列式的運用領域，這個時候學生只是被動接受二、三階行列式的計算方法，也不能調動學生學習《線性代數》新知識的積極性和興趣。

為引起學生的注意力和探索新知識的積極性，《線性代數》第一課可以做一些結構性的調整。首先導入一個沒有難度系數的二元一次方程組，和學生們一起運用熟知的加減消元法很快地求得方程組的解為，再引出二元一次方程組的一般形式，這里的x1，x2是未知數，a11，a12，a21，a22，b1，b2，均為常數，當a11a22-a12a21≠0時，同樣運用加減消元法容易得到方程組的解為，很顯然這可以作為二元一次方程組的一般形式在a11a22-a12a21≠0時的求解公式，其形式復雜，難于識記。

這時我們把二元一次方程組一般形式的未知數的系數a11，a12，a21，a22，按規律寫成數表，并記D==a11a22-a12a21≠0，也就是引入一種新的運算法則（這個法則有些學生在初中見過），數表中的4個元素是有二元一次方程組的一般形式未知數的系數構成的二行二列矩形數表，把這個二行二列矩形數表就定義為二階行列式，它的值就按D==a11a22-a12a21計算，即把左上角到右下角稱為主對角線，把右上角到左下角稱為副對角線，二階行列式的值就等于主對角線兩個元素的積減去副對角線兩個元素的積，這就是二階行列式運算的對角線法則。

如果把b1，b2同樣看做一列去替換D=中的第一列可得D1==b1a22-a12b2，把b1，b2同樣看做一列去替換D=中的第二列可得D2==a11b2-b1a21，因而二元一次方程組的一般形式的解就可以簡單地表示為x1=， x2=，容易識記，但運算量并未減少，體現不出這個公式的優勢。這時提出解三元一次方程組能否運用這種思想方法呢？啟發學生思考。

其中主對角線上3個元素的積取正號，副對角線上3個元素的積取負號（提示學生符號還有其它方法來確定，為后面講述逆序數等概念做鋪墊），且3個元素都取自不同行不同列，再將b1，b2，b3作為一列替換D中第一列得到D1=，替換D中第二列得D2=，替換D中第三列得D3=，當D≠0時，可得這個三元一次方程組的解：x1=，x2=，x3=，其正確性可由來驗證，運算量顯然增加了，尤其是對角線法則不能適用16個元素排成的四行四列的四階行列式D=及n2個元素排成的n行n列的n階行列D=式的計算，而前面推導二元線性方程組、三元線性方程組解的公式形式卻可以類比運用到四元線性方程組及n元線性方程組。

此時直接引出定理Cramer法則：設有線性方程組

由定理Cramer法則讓學生們確信運用行列式解n元線性方程組是一個行之有效的法則，到這里學生們明白了學習行列式的意義，因為只要能計算n階行列式D的值，就可以求解n元線性方程組，從而能激發學生們學習n階行列式D計算的濃厚興趣。這個時候回過來講解諸如排列，標準排列，逆序數，排列的奇偶性，對換等一系列基本概念，學生們表現更期盼學習下一節行列式的性質與計算，變被動學習為主動學習。

（作者單位：南昌工學院 民族教育學院）