數學歸納法解決數列中的探索性等問題

吳方躍

摘 要：本文介紹了數學歸納法的定義，并舉例說明了我們在使用數學歸納法時應注意的問題，告戒我們不能盲目的歸納，避免得出錯誤的結論，本文還重點介紹了我們在使用數學歸納法解題時應注意的步驟，還介紹了數學歸納法推理的常用技巧，并通過在數列中的應用實例的分析，啟發人們在解題中更好地使用數學歸納法。

關鍵詞：數學歸納法；歸納假設；歸納推理；數列

數學歸納法的應用比較廣泛，可以講凡是關系到自然數的結論都可以用它來驗證。學習和應用數學歸納法能夠培養學生的運算能力、觀察能力、數學化能力、邏輯思維能力和解決綜合性問題能力。另外，它也是每年高考中必不可少的內容，而且是得分點，同時也是初等數學與高等數學銜接的一個紐帶。下面我介紹數學歸納法及在數列中的應用。

1數學歸納法

1.1數學歸納法的定義

正確時，若在正確的情況下，也是正確的，便可遞推下去。雖然我們沒有對所有的自然數逐一的加以驗證，但事實上，這種遞推就已經把所有自然數都驗證了，這種方法就是數學歸納法。

1.2運用數學歸納法證題的步驟：

（Ⅰ）驗證當1時，某命題是正確的；

（Ⅱ）假設時，命題也是正確的，從而推出當時，命題也是正確的。因此，命題正確。

容易悟錯的是：既然是任意的自然數，是正確的，那么也是正確的。即與應該表示同一個意思。何必還要證明呢？這很容易理解，雖然是任意假設的自然數，但是，一旦假定了時，就是一個固定的自然數了，換句話說，就是一個有限的數。因而，能否從n=k時命題正確，推出時命題也是正確的，這就不一定。如在時正確，推出了也是正確的，這時，問題就出現了一個跨越，發生了本質的變化，從到，便是由有限變化到無限的過程，這正是數學歸納法之精髓。

在比較復雜的情況下，數學歸納法的兩個步驟都要有一些相應的變化，下面有兩種變形。

形式1：證明中的第一步不一定從1開始，如果當的時候，命題是正確的，又假設時，這個命題是正確的，可以推出當時，這個命題是正確的，那么這個命題當時都正確，從而得出命題正確。

例：當且時，求證：

證明：（1）時，左邊

左邊>右邊，所以不等式成立。

（2）假設n=k時不等式成立，即：

當時，

即時，不等式成立。

根據（1）與（2）得，對于且，所證不等式成立。

形式2：運用數學歸納法證明時，第一步不只驗證第一個值，而是要驗證從初始值始連續若干個值的特殊值時命題都是正確的，第二步假設是正確的，推出是正確的，那么這個命題就是正確的。

例：如果，，并且對所有自然數有

試證：

證明：由題意，需驗證，兩值。

（1）當時，，另一方面命題是正確的；還有時，，另一方面命題是正確的。

（2）假設當時命題是正確的，當然也是正確的。

即，成立，

則故在時，命題也成立，于是可以斷定原命題成立。

應注意，運用數學歸納法論證某一問題時，它的兩個步驟是缺一不可的。沒有第一步的證明就沒有基礎，而不做第二步的證明，就無法斷定命題在一般情況下是否成立。如果二者缺一，將可能會得出十分荒謬的結論。

2用數學歸納法解決數列中的探索性等問題

類比與猜想是解決探索性問題較為突出的思想，從具體的、有限的問題，通過觀察、分析，進行科學的歸納、猜想。

例：已知數列滿足條件=且，設，求：的通項公式。

解：當時，由=得

當時，因為，代入=得

同理可得，再代入，得，，

由此猜想（也可由），，，，猜想，要證，可證

當時，，前面已求得，所以猜想正確。

假設時，，

則當時，由已知得

所以：

所以時，成立。

綜上，對一切，都成立，所以，的通項公式

啟迪歸納：（1）運用數學歸納法證明命題時，要注意對的依賴作用，當時，證明命題成立必須用上歸納假設。

數列中的歸納——假設證明是對學生觀察、分析、歸納、論證能力的綜合考察，先以具體的、特殊的情況入手，進行細致的分析，合理歸納，再慎重、準確地猜想，最后再嚴密地推理論證。

數學歸納法在很多學科方面都有很廣泛的應用，要很好的運用數學歸納法解題，就需要熟練的掌握數學歸納法的原理和數學歸納法的幾個步驟。

參考文獻：

[1]L.I格拉維娜，I.M雅格洛姆著.姚時宗，童增祥譯.數學歸納法在幾何中的應用[M].莫斯科米爾出版社，1979.

[2]華羅庚.數學歸納法[M].上海：上海教育出版社，1963.

[3]洪帆.離散數學基礎（第二版）[M].武漢：華中理工大學出版社出版，1997.

[4]北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組編.高等代數（第二版）[M].北京：高等教育出版社.