淺談初中數學教學中基本數學思想的培養

陳志賢

【摘 要】數學思想是在數學知識的發生和應用的過程中形成和發展的，因此，我們要有機地利用數學學習過程進行滲透，不斷加以歸納，提煉和強化，這就要求教師認真鉆研教材，從整體出發，有計劃，有目地結合數學知識的學習，進行數學思想的教學。

【關鍵詞】數學思想 基本數學思想 基本特征 教學實踐體會

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）07-0108-01

一、數學思想與基本數學思想

所謂數學思想，是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識中，經過思維活動而產生的結果。數學思想是對數學事實與理論經過概括后產生的本質認識。數學思想是與其對應的教學方法的精神實質與理論基礎，數學方法則是實施有關的數學思想的技術與操作程式，中學所用到的各種數學方法，都體現著數學思想，數學思想屬于科學思想，但科學思想未必就是數學思想，有的邏輯思想由于其在數學中的應用而被數學化了，也可稱之為數學思想，如分類討論思想。

基本數學思想則體現或應該體現基礎數學中的具有奠基性、總結性和廣泛的數學思想，它包含有傳統數學思想的精化和現代數學思想的基本特征，并是歷史地發展著的。

與初中數學教學有緊切聯系的基本數學思想，歸納起來主要有四種，即：等價轉化思想，數形結合思想，函數與方程思想，分類討論思想，在初中階段通過四種基本的數學思想的培養，在高中和以后的數學學習中，數學能力才會有大的飛躍，基本數學思想是基礎知識的靈魂。

二、四種基本數學思想及基本特征

1、等價轉化思想

所謂等價轉化思想就是把那些待解決或難解決的問題化歸到已有的知識范圍內解決問題的一種重要的基本數學思想。

等價轉化要求轉化過程中前因后果是充分必要的，才能保證轉化后的結果為原問題的結果。在數學操作中，實施等價轉化要遵偱熟悉化、簡單化、直觀化、標準化原則，即將遇到的問題轉化成比較熟悉的問題來處理；或者將較為繁瑣、復雜的問題變成較簡單的問題；或者將比較抽象的問題，轉化為比較真觀的問題，以便準確把握問題的求解過程；或者從非標準型向標準型進行轉化。

等價轉化思想即靈活又多樣，在應用該思想解題時，沒有統一的模式進行，它可以在數與數、形與形之間進行轉化，還可以在宏觀上進行等價轉化，也可以在符號內部實施轉換，即恒等變形。

【范例】：

例1：已知：如圖，平行四邊形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分別為E、F，AB∶BC=6∶5，平行四邊形ABCD的周長為110，面積為600。求：cos∠EDF的值。

2、數形結合思想

數形結合思想是借助數的精確性闡明圖形的某種屬性，利用圖形的直觀性闡明數與數之間的關系，即：“以數輔形”和“以形助數”。以數輔形，即以數為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質；以形助數，即以形為手段，數為目的，如函數圖形來直觀地說明數學的性質。

華羅庚先生說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休。”指明了數形結合的特征. 在數學教學和學習中沒有任何東西比幾何圖形更能直觀的讓我們很好的去理解，特別是初中數學課本各章開頭都會有一幅插圖，例題習題也輔以圖形，在數學教學實踐中，我們部分地利用這此圖形，結合實例，更好的引導概念，進行知識講解，學生學習起來會特別有興趣。

【范例】：

例2：二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，根據圖象，

化簡

3、函數與方程思想

函數與方程思想就是用運動和變化的觀點去分析研究具體問題中的數量關系，抽象其數量關系，建立函數關系式，同時用方程的有關知識解決問題的一種重要的基本數學思想。

函數與方程思想也是把方程問題用函數方法解決，或者把函數問題用方程來解決，或者是兩者的結合。函數思想是把給定問題用方程式轉化為輔助函數的性質研究，得出所需的結論，方程思想是把對數學問題的認識，歸納為對方程的認識。函數與方程思想常同數形結合，等價轉化思想互相融合后才能充分發揮基具體的解題功效。

【范例】：

例3：已知：如圖，正方形ABCD的邊長為a，△PQA是其內接等邊三角形。

求：PB的長。

4、分類討論思想

分類討論思想就是當問題所給的對象不能進行統一研究時，就需要對研究對象按某個標準分類，然后對每一類分別研究得出每一類的結綸，最后綜合各類結果，得到整個問題的解答，實質上是：“化整為零、各個擊破，再積零為整”的數學策略。

分類討論一般有三個步驟：（1）根據題目需要確定分類討論的對象；（2）針對討論對象進行合理的分類討論；（3）討論結果歸納合并，綜合得出結論。在分類討論中，每次分類要按同一標準進行，并做到"不重"，"不漏"，保證分類討論科學性與合理性。

【范例】：

例4.△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，則△ABC的周長為（ ）

A.42 B.32 C.42 或 32 D.37 或 33

例5.在半徑為1的圓O中，弦AB、AC的長分別是 、 ，則∠BAC的度數是 。

參考文獻：

[1]錢佩玲 邵光華 主編 《數學思想方法與中學數學 》北京師范大學出版社

[2]解恩澤、徐本順 主編 《數學思想方法 》山東教育出版社