“牛吃草”問題解法的實質

【中圖分類號】G4 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）07-0088-01

“牛吃草”問題，是英國物理學家牛頓提出的，牛在吃草在長的數學問題。在小學奧數競賽中常以變形的解決實際的問題出現，我們先來看擴展的例題。

例1.有三塊草地，面積分別是5、6、8公頃。草地上的草一樣厚，而且長得一樣快。第一塊草地可供11頭牛吃10天；第二塊草地可供12頭牛吃14天。那么第三塊草地可供19頭牛吃多少天？

分析，牛吃多少，草有多少，草長的速度？涉及這三個變量，但很容易知道的基本等式：原有的草量+生長的草量=牛吃的草量

于是我們可以這樣解：設每公頃有草x，每公頃草每天長y，每頭牛每天吃草a， 根據上面的等式有

第一塊： 5x+5×10y=11×10a ……①

第二塊： 6x+6×14y=12×14a ……②

第三塊： 8x+8×？y=19×？ a ……③

（假設19頭牛吃？天）

有把上面方程中的a看已知數，聯合①②解得

x =7a， y=1.5a

把x，y代入③

8×7a+8×？×1.5a =19×？ a

兩邊同除以a，得？= 8×7÷（19-8×1.5）

=8（天）

其實在上面①②的結果中，很容易看出或證明x、y、a三者之間是倍數關系，這就是它們的實質。因此令a=1，那么可以求出x、y；只要令三個未知數其中任一個為1，那么可以求出另外兩個未知數（只需單位一樣）。所以為什么有的算術解法可以把其中設為“1”的就是基于它們之間的關系。在各種雜志刊物的和網絡看到的種種解法，也僅僅是上面解法的變形而已。

當三塊草地同樣大小即變成了一塊地，則成了“牛吃草”的基本問題。

另外，從上面可以看出5×10y可以寫成（5×y）×10，也就是5公頃草地每天長5y，是一個恒量；而6×14y=（6×y）×14，也即6公頃的草地每天長6y的草，也是一個恒量；對同一塊地，把這個值重新設置，問題就更簡單化。

例2：一片10公頃的草地，每天都勻速的長出青草，這片草地可供27頭牛吃6周或23頭牛吃9周，那么可供21頭牛吃幾周？

設每頭牛每周吃“1”份，這片草地每周長x份（當然也可以每頭牛每周吃x份，草每周長“1”份）（如圖）：

那么兩線段相減得：9x-6x=23×9×1-27×6×1

x=15

原有草量： 23×9×1-9×15=72（份）

于是有21頭牛可吃

72÷（21×1-15） =12（周）

顯然“10公頃”是一個多余條件，一般就忽約而敘述成“一片草地，一塊地”等。實質是牛吃草問題是一種理想化狀態。首先牛吃第一天、第二天等后，被它吃過的草也在隨著時間在長，總不能要求它又倒回來吃；而草的厚度生長快慢都假想一樣，所以說是理想化。但實際生活中，也有這種相對的如勻速前進的車、水流等問題，只是我們沒必要糾纏細節，否則簡單問題復雜化就會寸步難行，就找不到解決問題的途徑。利用例2的方法，可以去解生活中的車站檢票、一只水管進一只水管出、某些工程、行程問題等“牛吃草” 變形的數學問題，如

1.某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊，設每分鐘來的旅客人數一樣多，從開始檢票到等候的隊伍消失，若同時開4個檢票口需要30分鐘；同時開5個檢票口需要20分鐘，為了使15分鐘內檢票隊伍消失，需至少開多少個檢票口？（提示，所檢的人數=開始排隊的人數+又來的人數）

2.快、中、慢三輛車同時從A地出發到B地去，出發后6分鐘快車超過了一名長跑運動員，過了2分鐘后中車也超過去了，又過了2分鐘慢車也超了過去。已知快車每分鐘走1000米，中車每分鐘800米，求慢車的速度。（提示，三車未出發時，運動員離A有一段距離）

3.自動扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓.已知男孩每分鐘走20級梯級，女孩每分鐘走15級梯級，結果男孩用了5分鐘到達樓上，女孩用了6分鐘到達樓上.問：該扶梯共有多少級？（提示，把剛上扶梯腳踩的梯級看作一個點，那么人到達扶梯頂端所跑的級數，就是頂端離這個移動的點之間的級數，而這時這個點離扶梯底端也移動過一定的級數）

羅天恩，男，1963年1月，大專（數學系），小學高級教師，全國小學奧數一級教練。

本文主要探討“牛吃草”問題解法的實質，為什么有的變量可以設為“1”？以及生活中“牛吃草”的變形的數學問題。