課例：《分析法》的教學(xué)

摘 要

本文以一節(jié)數(shù)學(xué)課《分析法》為例，探討了新課程改革下學(xué)科學(xué)習(xí)策略教學(xué)模式在課堂教學(xué)中的具體操作，從備課、授課和評(píng)課三個(gè)環(huán)節(jié)對(duì)學(xué)習(xí)策略方式教學(xué)課進(jìn)行了分析，以期能為廣大學(xué)習(xí)策略實(shí)驗(yàn)教師及研究者提供有益的指導(dǎo)。

【關(guān)鍵詞】課例分析；反思；分析法

1 課例分析

本節(jié)內(nèi)容是北師大版數(shù)學(xué)選修1-2第三章《推理與證明》中第三節(jié)《綜合法與分析法》的第二課時(shí)。教材要求學(xué)生結(jié)合已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，對(duì)數(shù)學(xué)證明的方法進(jìn)行概括與總結(jié)。教材中的例子涉及學(xué)生以前學(xué)過(guò)的許多知識(shí)，主要是從思維方式上進(jìn)行回顧與總結(jié)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)證明的特點(diǎn)，了解數(shù)學(xué)證明的基本方法。通過(guò)學(xué)習(xí)，有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

2 課例過(guò)程

2.1 復(fù)習(xí)引入

師：之前上課我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了用綜合法進(jìn)行證明，綜合法是一種由因?qū)Ч乃季S方法，那么請(qǐng)同學(xué)們來(lái)解決下面的這個(gè)問(wèn)題。

例1、已知：a，b是兩個(gè)不相等是正數(shù)，求證：a3+b3>a2b+ab2

（留5分鐘時(shí)間學(xué)生思考，教師教室巡視）

師：有哪位同學(xué)談?wù)勛约旱乃悸罚?/p>

生：

Qa3+b3=（a+b）（a2-ab+b2），a2b+ab2+ab（a+b）

而已知a，b是正數(shù)，因此a+b>0

∴只需證明a2-ab+b2>ab就可以了

又因?yàn)閍，b是不相等的正數(shù)

而（a-b）2=a2-2ab+b2>0

∴a2-ab+b2>ab成立，不等式就證明了

師：回答的非常好，那請(qǐng)你把過(guò)程寫到黑板上

生板書：證：Qa≠b∴a-b≠0∴（a-b）2>0

即a2-2ab+b2>0，亦即a2-ab+b2>ab

由已知a，b為正數(shù)，因而a+b>0

∴（a+b）（a2-ab+b2）>（a+b）ab

即a3+b3>a2b+ab2

師：過(guò)程寫的非常的清楚明了，那這是用什么方法證明的呢？

生：綜合法。

師：對(duì)，不過(guò)這個(gè)題目的思路卻并沒(méi)有從已知入手，而是由結(jié)論入手，再一步步的尋找保證結(jié)論成立的條件，直到歸結(jié)到了命題給定的條件及定理。我們把這樣的思維方法稱為分析法。

（板書課題）

師：剛才這位同學(xué)雖然使用分析法進(jìn)行思考，但過(guò)程是用綜合法表示出來(lái)，那么分析法的過(guò)程是怎樣的呢？我們來(lái)看一下。

（展示分析法證明該題的步驟）

要證明a3+b3>a2b+ab2成立

只需證（a+b）（a2-ab+b2）>ab（a+b）成立（a+b>0）

只需證a2-2ab+b2>0成立

即需證（a-b）2>0成立

而由已知條件可知，a≠b，有a-b≠0

所以（a-b）2>0顯然成立，由此命題得證。

師：請(qǐng)各位同學(xué)觀察這道題目的過(guò)程有什么特點(diǎn)？

生1：格式和以往的證明題寫法不同，以前的證明題都是寫的“因?yàn)椋浴保@道題是“要證明，只需證”構(gòu)成。

生2：綜合法的證明過(guò)程是由已知入手證明結(jié)論的成立，而分析法是從結(jié)論一步步推導(dǎo)到已知。

師：這兩位同學(xué)說(shuō)的都非常的好，這也是分析法這種思維方法的特點(diǎn)。分析法的實(shí)質(zhì)是從要證的不等式出發(fā)尋找使之成立的充分條件。綜合法是把整個(gè)不等式看成一個(gè)整體，根據(jù)不等式的性質(zhì)、基本不等式，經(jīng)過(guò)變形、運(yùn)算，導(dǎo)出要證的不等式。

而這道題目最開始我們雖然是用綜合法寫的過(guò)程，而綜合法的難點(diǎn)在于從何處出發(fā)進(jìn)行論證并不明確，因此我們常常用分析法尋找解題思路，再用綜合法表述，分析法是“執(zhí)果索因”，綜合法是“由因?qū)Ч薄?/p>

2.2 練習(xí)鞏固

練習(xí)：已知a，b是正實(shí)數(shù)，

求證：

（學(xué)生小組討論5分鐘）

師：請(qǐng)各小組代表來(lái)談?wù)勛约旱乃悸贰?/p>

生1：因?yàn)椴坏仁降淖筮吺欠质剑曳帜付紴檎虼瞬坏仁絻蛇呁艘裕瑢⒉坏仁交烧胶笞C明。

生2：因?yàn)椴坏仁絻蛇叾际歉剑虼藢蛇呁瑫r(shí)平方后證明。

生3：不等式的左邊的分母是根式，因此先分母有理化，再去分母化為整式不等式后證明。

（學(xué)生板書過(guò)程）

師：各位同學(xué)回答的都非常好。這道題目的已知條件很少，很難下手，而從結(jié)論思考的話就能找到多個(gè)突破口，很容易探求到解題的路徑。

2.3 綜合法和分析法的綜合

師：通過(guò)剛才兩道題我們發(fā)現(xiàn)用分析法更方便我們思考如何解決問(wèn)題，而在我們解決問(wèn)題中，更多的是將兩種思維方法結(jié)合起來(lái)。

例2. 已知：a，b，c都是正實(shí)數(shù)，且ab+bc+ca=1.求證：a+b+c≥。

（學(xué)生讀題思考）

生：不等式右邊是根式，而且已知是ab+bc+ca=1，因此先將兩邊同時(shí)平方后化簡(jiǎn)。

教師板書：

要證明a+b+c≥成立

只需證明（a+b+c）2≥3，

化簡(jiǎn)得a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥3

Qab+bc+ac=1

∴a2+b2+c2≥1

生：因?yàn)椴坏仁阶筮吺瞧椒降暮停虼丝梢杂胊2+b2≥2ab這個(gè)不等式來(lái)證。

教師板書：

Qa2+b2≥2ab，a2+c2≥2ac，c2+b2≥2cb

∴上式相加得，a2+b2+c2≥2ab+2ac+2cb

生：再由已知ab+bc+ca=1就可以證明a2+b2+c2≥1的成立。

師：這道題我們共同完成了，大家思考一下，這道題目的思考過(guò)程完全是用分析法嗎？

生：在一開始是從結(jié)論開始思考，而得到了a2+b2+c2≥1，為了證明這個(gè)不等式的成立，又根據(jù)定理和已知推導(dǎo)出不等式是成立的。因此是從結(jié)論和已知一起往中間推。

師：是的，這道題目如果僅僅從結(jié)論思考，推導(dǎo)到中間就卡住了，因此再?gòu)亩ɡ砗鸵阎伎疾拍芙鉀Q。因此在證明的過(guò)程中，我們需要多種角度進(jìn)行思考，用多種方法解決問(wèn)題。

2.4 課堂小結(jié)

師：我們一起對(duì)這節(jié)課的學(xué)習(xí)進(jìn)行反思回顧，看看有哪些收獲和感悟。

經(jīng)過(guò)討論，小結(jié)如下：

（1）用分析法思考問(wèn)題更容易找到思路。

（2）分析法雖然更利于思考，但過(guò)程還是綜合法更為清楚明了。

（3）解決問(wèn)題的時(shí)候從多角度思考，多種方法綜合使用。

2.5 課后作業(yè)

（1）已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，對(duì)應(yīng)的三邊為a，b，c，求證：

。

（2）求證：當(dāng)一個(gè)圓和一個(gè)正方形的周長(zhǎng)相等時(shí)，圓的面積比正方形的面積大.

3 課例反思

分析法和綜合法是直接證明的兩種思維方法，之前上課已經(jīng)講過(guò)綜合法，綜合法是由因?qū)Ч姆椒ǎ诓坏仁降淖C明中，往往已知條件很少，如果從已知角度思考，學(xué)生會(huì)覺得非常困難，因而這節(jié)課的教學(xué)也就自然而然了。

在這節(jié)課一開始，我設(shè)計(jì)了一個(gè)題目讓學(xué)生自己思考，因?yàn)轭}目給出了已知很少，學(xué)生要想解決問(wèn)題就只能從求證入手，因而引出了分析法，而在證明格式上，學(xué)生先用綜合法寫一遍，再對(duì)比分析法的格式，更容易發(fā)現(xiàn)兩者的特點(diǎn)。

之后給出了一道練習(xí)，讓學(xué)生體會(huì)用分析法解決問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)，那就是更容易開闊思路，也更容易找到解決問(wèn)題的方法。在這一環(huán)節(jié)中，我設(shè)計(jì)了小組討論，讓大家集思廣益，共同解決問(wèn)題，也讓本來(lái)畏懼證明題的文科生，能夠更容易的體驗(yàn)到解題的樂(lè)趣以及成功的快感。

最后的例題，我和學(xué)生共同完成，讓學(xué)生感受到分析法和綜合法并不是互相獨(dú)立的兩種方法，在解決問(wèn)題中，我們通常需要多種角度多種方法來(lái)思考，在做題遇到瓶頸的時(shí)候，可以嘗試從其他角度再進(jìn)行突破。

參考文獻(xiàn)

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作者單位

西安工業(yè)大學(xué)附中 陜西省西安市 710032