平面向量來牽線，余弦定理來搭橋

摘 要

對一道斜三角形題，利用平面向量中基底法、投影法、平行四邊形法及坐標(biāo)法從不同視覺求解角，與正余弦定理的完美結(jié)合，讓平面向量的幾何與代數(shù)雙重屬性在解三角形的舞臺上大顯身手。

【關(guān)鍵詞】平面向量；余弦定理；三角形；多種解法

在高三數(shù)學(xué)試卷講評課中，如何講，講多少，是擺在每個高三老師面前的一道難題.如何引導(dǎo)學(xué)生從茫茫題海中解放出來，讓學(xué)生思維活躍，是每個數(shù)學(xué)老師亟待解決的課題.然而，試卷講評中的一題多解，可以使學(xué)生從不同角度，不同側(cè)面，不同層次對問題進(jìn)行深入探究，開闊視野，加深對問題的理解，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，在解題過程中能夠培養(yǎng)學(xué)生的探索鉆研精神，提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識解決實(shí)際問題的能力，一題多解是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本體現(xiàn)，是全面落實(shí)立德樹人的根本要求，下面給出“綿陽市2017屆高三理科數(shù)學(xué)第一次診斷性考試”第19題試題及六種解法。

題目：在△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，△ABC的外接圓圓心為O，滿足

，且，求sinB。

方法一：基底法

解：由于O為△ABC的外接圓圓心，所以，選為基底，因?yàn)?，?/p>

，

所以

，，所以

，所以

，化簡得

，

即，所以

，由余弦定理可得

，，由正弦定理得

，可得。

方法二：基底法

解：選為基底，由于

，所以。

由于O為△ABC的外接圓圓心，所以，所以

，化簡得

即，故

，下同解法一。

[點(diǎn)評]上述兩種方法緊扣三角形外接圓圓心的定義，即方法一選用外心三條中垂線的交點(diǎn)，方法而選用外心到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等，巧選基底，利用向量內(nèi)積及夾角公式解出角A，再結(jié)合正余弦定理，使問題迎刃而解，讓平面向量實(shí)現(xiàn)了由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化，在這里平面向量的工具性得到了充分的展現(xiàn)。

方法三：基底法

解：選為基底，因?yàn)?/p>

，所以

，即

，兩邊平方得

化簡得所以

，所以，下同解法一。

[點(diǎn)評]上述方法較方法一、方法二簡潔，技巧性較強(qiáng)，學(xué)生不容易想到.基本思路為巧選基底，利用向量線性運(yùn)算，借助內(nèi)積工具，將向量變?yōu)閷?shí)數(shù)，抓住圓心角與圓周角的關(guān)系，求解角A。

方法四：投影法

解：由于

，所

，

由于M，N分別是 的中點(diǎn)，所以AB，AC，所以

，

，所以，由正弦定理可得

，所以。

[點(diǎn)評]上述方法直接將兩個相等向量兩端作內(nèi)積，把向量化為實(shí)數(shù)，再將內(nèi)積等價投影，從而直接求出外接圓的半徑.該方法構(gòu)思巧妙，向量工具使用嫻熟，尤其是對向量內(nèi)積的加工，讓內(nèi)積再一次和投影巧妙結(jié)合，可以加深學(xué)生對向量內(nèi)積概念的理解.

方法五：線性運(yùn)算法

如圖所示，取AB，AC的三等分點(diǎn)分別為點(diǎn)M，N。

解：以為鄰邊作平行四邊形，可得，所以，，取AB的中點(diǎn)H，連接OH，則且，故

，所以，即，下同解法一。

[點(diǎn)評]該方法將向量的線性運(yùn)算用幾何的形式呈現(xiàn)，通過幾何關(guān)系，求解出圓心角的大小，進(jìn)而確定角A的大小，該方法實(shí)現(xiàn)了向量從形到數(shù)的完美轉(zhuǎn)化，與方法三殊途同歸。

方法六：坐標(biāo)法

解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸建立直角坐標(biāo)，設(shè)，則A（0，0），B（12，0），，又O為△ABC的外接圓圓心，所以

即

整理得

，下同方法一。

[點(diǎn)評]上述方法利用直角坐標(biāo)系，將向量問題坐標(biāo)化，緊扣外接圓的定義，即外心到三角形頂點(diǎn)的距離相等，進(jìn)而利用方程思想求出角A，該方法是數(shù)形結(jié)合、方程思想的綜合表現(xiàn)，思維層次更高，更具有創(chuàng)新性.

從以上六種解法可以看出，“一題多解”源于用不同的定理、原理、方法，從不同的角度、知識點(diǎn)解決同一問題，以達(dá)到事半功倍的效果，既有奇思妙解又有腳踏實(shí)地，是培養(yǎng)學(xué)生良好數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的催化劑，通過探討解斜三角形的問題，用平面向量來牽線，正余弦定理來搭橋，分析了六種求解方法之間的差別與聯(lián)系，可以引導(dǎo)學(xué)生從不同角度主動思考問題，尋找各種解題途徑，變定向思維為多向思維，挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力，一題多解，一葉知秋，讓學(xué)生走出題海.

參考文獻(xiàn)

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[2]方茹，楊國俅，王勇.一道高等數(shù)學(xué)題的多種解法[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2014（06）.

作者單位

貴州省遵義市第四中學(xué) 貴州省遵義市 563000