在活動中生成 在問題中發(fā)展

為了更好地體現(xiàn)新課程的基本理念，正確理解和把握教學(xué)內(nèi)容，突出數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)內(nèi)涵，關(guān)注數(shù)學(xué)知識的形成過程，本節(jié)課的框架共分為5個部分。課堂上，學(xué)生通過自主動手畫圓，理解什么是圓，從而抽象、歸納出圓的定義，同時，教師以問題串來驅(qū)動，使學(xué)生在愉悅的氣氛下較自然地經(jīng)歷了數(shù)學(xué)知識的形成過程，理解了數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)內(nèi)涵，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維方式和思維習(xí)慣。

一、教學(xué)實(shí)錄

1.我們認(rèn)識的圓是什么樣的圖形——激活糾偏。

師：同學(xué)們請看，這里有沒有你熟悉的幾何圖形？

生（七嘴八舌）：圓。

師：在小學(xué)我們就學(xué)過圓，現(xiàn)在你對圓有哪些認(rèn)識呢？

生（七嘴八舌）：圓有圓心、半徑，我們還會求圓的面積、周長等。

師：在古代曾有記載“圓，一中同長也”，這是什么意思？圓到底是一個什么樣的圖形呢？我們先來看這幾個問題，問題1：（出示呼啦圈圖片。）呼啦圈是圓嗎？你還能舉出生活中跟圓有關(guān)的例子嗎？

生1：車輪，滿月，紅日……

師：生活中的圓處處可見，問題2：（出示籃球圖片。）籃球是圓嗎？為什么？

生2：不是，圓是平面圖形。

師：好，再看問題3：（出示一元硬幣圖片。）一元硬幣是圓嗎？牡丹花在圓上嗎？

生3：一元硬幣是圓，牡丹花在圓上。

生4：一元硬幣不是圓，圓好像是線，不是面。

師：那么究竟是不是呢？我們過會兒再來判斷。問題4：（出示橢圓圖片。）這個圖形是圓嗎？為什么？

生5：是。

生6：不是，這個圖形有點(diǎn)圓圓的樣子，但好像又不是那么圓。

師：是不是呢？似乎有點(diǎn)說不太清楚，所以在初中階段，我們需要對圓做進(jìn)一步的研究。今天這節(jié)課我們就一起來研究圓。（板書：2.1圓。）

評析：教師把要講的東西形成問題串，以問題串來驅(qū)動，用4個問題達(dá)到目標(biāo)，這里每個問題都是有目的，有用意的。問題1，這是正面的例子，讓學(xué)生感知生活中圓的形象處處可見；問題2，是反例，認(rèn)識圓是平面圖形；問題3，這也是反例，圓不是面，是曲線，認(rèn)識上的誤區(qū)引起認(rèn)知上的沖突，這就是最后我們需要認(rèn)清的東西；問題4，還是反例，究竟什么是圓呢，得出進(jìn)一步研究的必要性，從而引出課題。

2.圓是怎樣形成的——運(yùn)動定義。

師：同學(xué)們會不會用圓規(guī)畫圓？下面先請同學(xué)們用圓規(guī)在作業(yè)紙上畫一個圓。

活動1：用圓規(guī)畫圓。（學(xué)生動手操作，教師巡視指導(dǎo)。）

師：我來看看同學(xué)們畫的，畫得真不錯，畫圓最主要是要確定什么？

生7：圓心和半徑。

師：老師也想來畫一個圓，但是這圓規(guī)在白板上不能畫怎么辦？老師這兒有筆還有繩子，能畫圓嗎？你們能不能動手試試？

活動2：用一根繩子和筆，在作業(yè)紙上作圓。（學(xué)生動手嘗試，請一位學(xué)生在黑板上演示。）

師：厲害啊！利用繩子我們也能畫出一個圓，能畫出圓的同學(xué)請舉手。我想問，這個圓是怎樣形成的呀？同座位同學(xué)可以互相交流一下。

生8：我們可以將這根繩子看成是一條線段，繞著它的一端，旋轉(zhuǎn)一周。

師：那是誰形成的圖形？

生9：繩子的另一端。

師：這樣我們就得到了圓的定義：我們把平面內(nèi)線段OP繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，端點(diǎn)P運(yùn)動所形成的圖形叫作圓。這是從圓形成的運(yùn)動的角度來給它下的定義。（板書圓的運(yùn)動定義。）其中點(diǎn)O叫作圓心，線段OP叫作半徑。我們來給這個圓起個名字吧，叫它什么呢？我們通常是以圓心的字母來命名圓的，記作“⊙O”，讀作“圓O”。

評析：對于運(yùn)動定義部分，教師安排了兩個活動。學(xué)生用圓規(guī)畫圓，這是對已有知識的回顧，明確圓的兩要素：圓心和半徑。將繩子拉直了就可以看成是一條線段，用繩子畫圓的過程其實(shí)就是圓形成的過程。學(xué)生自己動手操作，感知圓的運(yùn)動定義。

3.圓由什么樣的點(diǎn)組成——集合定義。

師：剛才我們在作業(yè)紙上畫了一個圓，現(xiàn)在你在這個平面上再任意畫一個點(diǎn)，請同學(xué)們思考問題5：平面上任意一點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有幾種呢？

生10：點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓外。（教師板書。）

師：好，我們來看練習(xí)1——說出圖中點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C與圓的位置關(guān)系。

生11：點(diǎn)A在圓內(nèi)、點(diǎn)B在圓上、點(diǎn)C在圓外。

師：很好，練習(xí)2——在圖中再畫一些圓內(nèi)的點(diǎn)、圓上的點(diǎn)、圓外的點(diǎn)。哪位同學(xué)愿意上黑板來畫一畫？（學(xué)生們在作業(yè)紙上畫圓內(nèi)的點(diǎn)，請一位學(xué)生在黑板上畫。）

師：這樣的點(diǎn)還有嗎？

生12：有。

師：繼續(xù)畫，還有嗎？

生13：有。

師：這樣的點(diǎn)多不多？

生14：多。

師：有多少個？

生15：無數(shù)個。

師：誰再來畫圓上的點(diǎn)？圓上的點(diǎn)有多少個？

生16：無數(shù)個。

師：那圓外的點(diǎn)呢？誰來畫一畫？

生17：圓外的點(diǎn)也有無數(shù)個。

師：也就是說，一個圓可將整個平面劃分為3個區(qū)域：圓的內(nèi)部、圓上、圓的外部。每個部分都可以看成是由無數(shù)個點(diǎn)所組成的。這無數(shù)個點(diǎn)就組成了點(diǎn)的集合。下面我們分別來研究這3類點(diǎn)的集合，我們先從最簡單的開始——圓上的點(diǎn)，請問：圓上所有點(diǎn)都滿足什么條件？

生18：到圓心的距離等于半徑。

師：到圓心距離等于半徑的點(diǎn)都在哪？

生19：圓上。

師：好，問題6——圓可以看成是滿足什么條件的點(diǎn)的集合？

生20：圓是到圓心的距離等于半徑的點(diǎn)的集合。（教師板書。）

師：圓心和半徑在沒有圓的時候能用嗎？

生21：不能。

師：所以在這兒我們把它改為定點(diǎn)和定長，這樣更規(guī)范。這樣，我們從集合的角度又給圓下了一個定義：圓是到定點(diǎn)（圓心）的距離等于定長（半徑）的點(diǎn)的集合。（教師板書。）

師：現(xiàn)在我們知道圓是由無數(shù)個滿足一定條件的點(diǎn)組成的，當(dāng)然這無數(shù)個點(diǎn)也就組成了圓，所以圓是一條線？還是一個面？

生22：是一條線。

師：是一條怎樣的線？

生23：是一條曲線。

師：怎樣的曲線？

生24：首尾順次相接的封閉的曲線。

師：好，問題7——用上述類似的方法研究圓的內(nèi)部和圓的外部，你能得出什么結(jié)論？

生25：圓內(nèi)部的所有點(diǎn)到圓心的距離小于半徑。

師：咦？這里怎么又改成圓心和半徑啦？要想確定圓的內(nèi)部和外部，首先要有什么呀？

生26：圓。

師：所以在這里我們用圓心和半徑，在這個細(xì)節(jié)上我們感受到了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美！我還想問，圓內(nèi)部的點(diǎn)到圓心的距離為什么小于半徑呢？你能用幾何的方法說明嗎？

生27：在圓的內(nèi)部任意取一點(diǎn)，設(shè)為A，連接OA并延長交⊙O于點(diǎn)C，因?yàn)镺A

師：反過來，我們又得到——所有到圓心的距離大于半徑的點(diǎn)都在圓的外部。那么圓的內(nèi)部又可以看成是滿足什么條件的點(diǎn)的集合呢？

生28：圓的內(nèi)部是到圓心的距離都小于半徑的點(diǎn)的集合。

師：圓的外部呢？

生29：圓的外部是到圓心的距離都大于半徑的點(diǎn)的集合。

師：現(xiàn)在你能解決前面的兩個問題嗎？一元硬幣是圓嗎？牡丹花在圓上嗎？

生30：一元硬幣不是圓，圓不是面，是曲線，牡丹花不在圓上，它在圓的內(nèi)部。

師：那橢圓是圓嗎？

生31：不是圓。

評析：圓的集合定義是這節(jié)課的難點(diǎn)，為了突破難點(diǎn)，教師讓學(xué)生自己動手畫圓內(nèi)的點(diǎn)、圓上的點(diǎn)、圓外的點(diǎn)，讓他們充分感知每部分都是由無數(shù)個點(diǎn)所組成的，感受到點(diǎn)的集合的概念，并提煉出：一個圓可以把整個平面劃分為圓的內(nèi)部、圓上、圓的外部這3個區(qū)域。再分別研究這3類點(diǎn)的集合，重點(diǎn)研究最簡單的一個——圓上的點(diǎn)，然后類比得出圓的內(nèi)部、圓的外部的概念。當(dāng)學(xué)生得到結(jié)論：圓內(nèi)部的所有點(diǎn)到圓心的距離都小于半徑時，教師并沒有滿足于學(xué)生通過直觀感知得到的這一結(jié)論，而是希望學(xué)生能結(jié)合圖形簡單說理，這種思維對學(xué)生以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是非常重要的。

4.如何判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系——判定定理。

師：任何一個定義其實(shí)都有判定和性質(zhì)兩大功能，現(xiàn)在我們嘗試用圓的集合定義來尋找判定點(diǎn)與圓位置關(guān)系的方法。為了表示方便，我們用r表示圓的半徑，用d表示點(diǎn)到圓心的距離，所以圓上的點(diǎn)滿足的特征我們可以簡潔地表示為：點(diǎn)在圓上 d=r，反過來，我們也可以簡潔地表示為：d=r 點(diǎn)在圓上，合起來即為：點(diǎn)在圓上 d=r。（教師板書。）

師：對于點(diǎn)在圓內(nèi)、點(diǎn)在圓外，你是否可以得出類似的結(jié)論？

生32：點(diǎn)在圓內(nèi) d

生33：點(diǎn)在圓外 d>r。（教師板書。）

師：現(xiàn)在我們來看這3個結(jié)論，等號左邊刻畫的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，等號右邊刻畫的是d與r的數(shù)量關(guān)系。從左到右，是由位置關(guān)系推出數(shù)量關(guān)系，是性質(zhì)；從右到左，是由數(shù)量關(guān)系推出位置關(guān)系，是判定。二者結(jié)合起來，則體現(xiàn)了一種完美的數(shù)形結(jié)合的思想。

評析：在整體框架中，其實(shí)每個部分之間還是有聯(lián)系的，圓的判定定理就是根據(jù)集合定理得到的，教師講解時仍然是重點(diǎn)講了點(diǎn)在圓上，推而廣之得到點(diǎn)在圓內(nèi)、點(diǎn)在圓外。最后結(jié)論賞析，體現(xiàn)了一種完美的數(shù)形結(jié)合思想。

5.用結(jié)論解決相關(guān)問題——交集思想。

例1. 已知⊙O的半徑為5，點(diǎn)P為平面上的一點(diǎn)。（1）若PO= ，則點(diǎn)P在圓上；（2）若PO=5.5，則點(diǎn)P在 ；（3）若點(diǎn)P在圓內(nèi)，則PO的取值范圍是 。

例2.如圖1，已知點(diǎn)P，請作出到點(diǎn)P的距離等于1cm的點(diǎn)的集合。（1）這個圓的外部是滿足什么條件的點(diǎn)的集合？（2）請用陰影表示出到點(diǎn)P的距離小于或等于1cm的點(diǎn)的集合。

例3. 如圖2，已知點(diǎn)P、Q，且PQ=2cm。（1）畫出下列圖形：到點(diǎn)P的距離等于1cm的點(diǎn)的集合，到點(diǎn)Q的距離等于1.5cm的點(diǎn)的集合；（2）在所畫圖中，到點(diǎn)P的距離等于1cm，且到點(diǎn)Q的距離等于1.5cm的點(diǎn)有幾個？請?jiān)趫D中將它們表示出來；（3）在所畫圖中，到點(diǎn)P的距離小于或等于1cm，且到點(diǎn)Q的距離大于或等于1.5cm的點(diǎn)的集合是怎樣的圖形？把它表示出來。

評析：這一環(huán)節(jié)有3個例題。例1是一個簡單的實(shí)例，讓學(xué)生對由數(shù)量關(guān)系來刻畫位置關(guān)系，由位置關(guān)系來刻畫數(shù)量關(guān)系進(jìn)行應(yīng)用。例2讓學(xué)生再次體會集合思想，并為例3做了一個鋪墊，降低難度。例3引導(dǎo)學(xué)生用集合的觀點(diǎn)理解圖形。此外，這里還滲透了一種常用的數(shù)學(xué)思想方法——交集法。所謂交集法，就是先由部分條件構(gòu)成一個集合，然后再由剩余的條件構(gòu)成另一個集合，兩個集合的交集就是問題的解。

師：通過今天的學(xué)習(xí)，你對圓有哪些新的認(rèn)識嗎？（學(xué)生暢所欲言。）

師：我們不僅從運(yùn)動的角度了解了圓，也從集合的角度認(rèn)識了圓，更理解了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系之間的一種轉(zhuǎn)化。

二、教后反思

1.數(shù)學(xué)概念注重生成與預(yù)設(shè)相結(jié)合。

數(shù)學(xué)概念是客觀世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性在人腦中的反映，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的邏輯起點(diǎn)，是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的核心，是數(shù)學(xué)思想與方法的載體，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中具有十分重要的意義。在揭示新知階段，教師讓學(xué)生經(jīng)歷了用圓規(guī)和繩子兩種不同工具畫圓的過程，感受圓是怎樣產(chǎn)生的，使學(xué)生在動手操作的過程中理解什么是圓，從而抽象、歸納出圓的定義。在這節(jié)課中，教師對圓的定義的教學(xué)，是把已有的知識和經(jīng)驗(yàn)作為新知識的生成點(diǎn)，當(dāng)學(xué)生的嘗試、探究有了生成時，教師不斷引導(dǎo)，使得圓的概念在學(xué)生的概括中一步步完善，定義的給出合情合理，學(xué)生的抽象歸納顯得水到渠成。

2.數(shù)形結(jié)合思想主要體現(xiàn)在點(diǎn)與圓的位置關(guān)系上。

平面上的一個點(diǎn)與圓存在3種關(guān)系：點(diǎn)在圓內(nèi)、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓外，這3種關(guān)系可以直接判斷。但通過學(xué)生的探索，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系又和點(diǎn)到圓心的距離和圓的半徑的大小比較上存在著等價的關(guān)系。前者是從圖形的角度進(jìn)行的研究，后者是從數(shù)量的角度進(jìn)行的研究，一個是形，一個是數(shù)，兩者很好地結(jié)合并相輔相成。轉(zhuǎn)化思想是數(shù)形結(jié)合思想的延續(xù)，因?yàn)閿?shù)形結(jié)合思想就是把圖形問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成圖形問題。學(xué)生在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的同時，也在運(yùn)用著轉(zhuǎn)化的思想。

3.例題的設(shè)計(jì)環(huán)環(huán)相扣，目的清晰。

設(shè)計(jì)的例題既加深了學(xué)生對集合概念的理解，又突出了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系與點(diǎn)到圓心的距離和半徑之間的數(shù)量關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)化，為本章后續(xù)內(nèi)容的教學(xué)做好了鋪墊。同時習(xí)題的設(shè)計(jì)突出層次，不同的學(xué)生能獲得不同的體驗(yàn)，此外解決問題的方法、蘊(yùn)含的思維含量都具有挑戰(zhàn)性，這樣更有利于學(xué)生認(rèn)識圓的本質(zhì)及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，增強(qiáng)對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。重在理解教學(xué)內(nèi)容，而不是停留在沒有思維的運(yùn)算和反復(fù)操練上。

（作者為江蘇省丹陽市華南實(shí)驗(yàn)學(xué)校教師）