初中數學“錯誤”資源的挖掘與利用

在學生學習數學的過程中，經常會出現教師意想不到的錯誤，有一些錯誤易被忽略，不少錯誤也會在學生的作業和考試中反復出現。此情此景，教師會認為學生沒有用心聽，沒認真反思、訂正，甚至會急功近利地指責學生“不開竅”，但靜下心來，透過這個現象，是否也要找找我們教師自身的原因呢？是否在教學設計、教學過程等環節出了問題？是否可將學生在學習數學的各個環節中出現的“通病”合理利用呢？筆者也一直在嘗試、積累、反思，取得了較好的效果，現舉幾處學生犯的“錯誤”，談談筆者的心得。

一、利用錯誤，挖掘學生的探究因子。在每節數學課的相關環節，我都會精心設計與所學新知相關聯的素材，這些素材中一部分是學生作業、考試中的常見錯誤，有一部分是筆者從教材或課外學習材料中提煉設計的“陷阱”，利用孩子的天性，充分調動他們的探究積極性。這些教學資源來源于生活實際或是學生平時學習中易犯的錯誤，故更有說服力，讓學生在找錯、糾錯的過程中強化了對知識的理解，培養應用數學的意識和良好的數學思維品質。

教學案例一：9.1“反比例函數”的教學片段。

實際問題：無錫到南京的路程大約是200km，一列火車的速度是vkm/h，從無錫到南京所用時間為th。

師：我和南京有著不解之緣，30年前，家人帶我從無錫坐火車去南京，不過那時火車的速度只有50km/h，請問需用多長時間？

生：4h。

師：15年前，我在南京讀大學時，火車速度大約是80km/h，從無錫到南京坐火車需用多長時間？

生：2.5h。

師：上周我坐高鐵去南京，速度達到了250km/h。

生：哇……只有0.8h呀?。ㄟ叴疬吿畋砀瘢?/p>

師：t是v的函數嗎？

生：是的。

師：你還能舉出生活中類似存在這種數量關系的實例嗎？

生：……

師：這些函數關系式的形式有何特征？（小組交流，合作探究。）

學生甲：因變量y隨著自變量x的增大而減小。

師：你是從兩個變量之間的對應變化關系上分析的，切入點選得很好，但剛才我們所列舉的都是實際問題，使用數據都是正數，容易造成錯覺，通過后面知識的學習，我們就會知道這兩個變量之間的關系并不那么“單純”，這為以后學習反比例函數的性質埋下了很好的伏筆。

分析與反思：此處學生以偏概全地概括出反比例函數的增減性，由于是實際問題，很容易將自變量的范圍定為正數。每一個錯誤，都能折射出隱藏的思維問題：有的審題不清，忽略或錯誤理解題意；有的是順著前面的思路，沒有求異思維；有的是概念混淆，理解不深刻。合理利用學生“自創的錯誤”，以此為突破點，充分挖掘“問題所在”，這也是一種突破教學重點、難點的好點子。

二、利用錯誤，培養學生的創造意識。在學生學習新知識時，腦海里往往已經儲存了不少對舊知識錯誤或片面的認識，若對學生的這些問題置之不理的話，則會影響對新知的認識、理解、應用。為解決此類問題，筆者借助以前學生學習同類知識時最容易出現的錯誤，通過“設疑自探-解疑合探-質疑再探”，讓學生在自我反思中發現問題，在小組討論中體現自身思維的價值，通過同伴幫助，教師點撥，完善對知識的理解，學生的質疑創造意識逐漸建立起來。

教學案例二：“勾股定理”教學片段。

師：請思考Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C分別對應邊a，6，c，若a=3，b=4，求c。

生：c=5，勾三股四弦五嘛。

師：反應很快，勾股定理是對于直角三角形而言的。c=5就是根據勾股數得到的嗎？

生：根據∠C=90°。

師：很好，抓住了本質——直角。

生：但不一定是∠C=90°，題目中沒有說明，無法確定哪個角是直角。

師：不確定怎么辦？

生：分情況討論，若∠C=90°，則c=5；若ZB=90°，則c=根號下（4²-3²）=根號下7?！螦不可能是直角，因為它所對的邊。不可能是最大邊。

師：這種思想方法還在學習哪些內容時用過？

生：等腰三角形的存在性問題，全等三角形的對應關系不確定時……

分析與反思：此處錯誤是學生思維不嚴密所致，在不明確哪個角是直角的情況下，應分情況討論，分類思想是很重要的數學思想，讓他們多“掉陷阱”，學生對此會理解得更深刻。學生犯錯誤的過程，是教育的最好契機；讓學生通過糾錯，完善思維方法，提升了自身的數學基本素養，并讓學生在糾錯中獲取進一步學好數學的自信，甚至能從中發現一些有價值的數學思想方法。

三、利用錯誤，培養學生的生成意識。如何突破本節數學課的教學難點時，我總是“絞盡腦汁”，當然課堂中會出現預設的“錯誤”，也會有一些“突發事件”，若教師采用教學智慧，合理利用，會達到“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”的效果。

教學案例三：“軸對稱圖形”教學片段

師：如下圖，四邊形ABCD中，AB=AD，∠ADC=∠ABC，問CD=BC嗎？請大家思考后再討論。

學生甲：根據原圖，沒辦法使用條件直接證明，由軸對稱想到連接AC，可通過證△ADC≌△ABC得到。

師：很好，從圖形的特征想到連接AC，不僅構造了兩個三角形且為全等創造了一對等邊，真是“一箭雙雕”。

學生乙：有問題，“邊邊角”是不能證兩三角形全等的，太想當然了。

師：嗯，學生甲雖然在證全等三角形方法上出了狀況，但你有嘗試改變現狀的勇氣。CD≠BC嗎？怎么回事？題目有問題呀？

學生丙：題目沒問題，若連接BD，由AB=AD，得∠ADB=∠ABD，又因為∠ADC=∠ABC，得∠CDB=∠CBD，由等角對等邊得CD=CB。

師：剛才該同學構造了等腰三角形解決了問題。有時一種思路行不通，那就得改變策略，當然要結合所學知識。若連接AC，BD，你還能得出哪些結論呢？

生：……

分析與反思：學生甲由對稱很自然地想到連接AC，但不能通過證明三角形全等來解決問題，教師并沒有急于否定，而是肯定了他的嘗試，通過學生間的互相補充，問題得到圓滿解決，并作了相應的拓展。教學的節奏應“正中”學生發展需要的“下懷”，當然也要該出手時就出手，不直接給出結果，多鼓勵學生思考，爭取有更多的課堂生成。對于那些學習暫時落后的學生，請給他們更多的時間去慢慢思索，慢慢自己調整問題，讓他們相信自己能學好數學。

四、利用錯誤，提升學生的反思能力。在布置作業時，根據以前學生作業或考試中經常出現的易錯題，適當地設計一些“陷阱”題，進一步促進學生通過“錯誤”強化對數學概念或性質的理解，達到“吃一塹長一智”的目的。

教學案例四：講評易錯題

關于x的一元二次方程ax²-（3a+1）x+2（a+1）=0，有兩個不相等的實數根x₁，x₂且有x₁-x₁x₂+x₂=1-a，求a的值。（給出以下解法，讓學生辨析，學生有說對的，有說錯的。）

這題在筆者所教的班級里，約有65%的同學是這樣做的，經過再次深入地思考后，學生提出以下想法：

學生甲：對所得結果要檢驗，當a=l時，原方程根的判別式△=0，此時原方程有兩個相等的實數根，故不符合題意，應舍去。

學生乙：由題意得，原方程的根的判別式△>0，先求出△的范圍，就會避免以上錯誤。

師：想想你們出現這類錯誤的原因是什么？

生：沒注意一元二次方程的概念，即a≠0（當然本題沒體現出來），還要準確理解一元二次方程根的判別式，思維不嚴謹……

分析與反思：此處錯誤是學生常見的錯誤，一元二次方程有兩根的前提是a≠0且△>0，多強調，讓學生抓住問題的實質。教師應再認真分析學生產生錯誤的原因，講清原委，讓學生再練習，再思考，再反思，以后遇到類似的問題，養成檢驗的習慣，避免掉進“陷阱”，讓學生的思維更嚴謹，解題習慣更具科學性。

實踐表明，讓學生經歷犯錯、找錯、糾錯、感悟提升，這樣的學習過程才是完整的。教師有預設性地設置一些障礙，利用學生本身具有喜歡找錯誤的特點，吸引其眼球，讓其探究、思考，放手讓“小馬”自己摸索過河，自己糾錯之后的快樂才是真快樂！

數學錯誤資源的挖掘和利用是一種教學手段，也是師生在教學活動中進行交流合作的一座橋梁。用心尋找這些“錯誤”并歸納分類，合理利用這些“錯誤”，能讓教師站在學生角度思考問題，設計教學環節，從而拉近了師生距離，使學生產生更加深刻的認同感。

“錯誤”亦是一種資源，若教師能合理開發，甚至是創新性地重組、升華，必能達到“別有洞天”的教學境界。