深刻理解教材 踐行“用教材教”

一、教材分析

“平方根”共2個課時，本節課是第一課時。由于實際計算中需要引入無理數，使數的范圍從有理數擴充到了實數，從而完成了初中階段對數的擴展。運算方面，在乘方運算的基礎上引入了開方運算，使代數運算得以完善。因此，本節課有助于了解n次方根的概念，為今后學習二次根式、方程、函數等做了鋪墊。

二、教學目標

了解平方根的概念，學會平方根的符號表示；了解開方與乘方互為逆運算，會用平方根運算求一個非負數的平方根；理解平方根的性質，懂得一個正數有兩個平方根（它們互為相反數），0的平方根是0，負數沒有平方根。

三、教學重點

了解開方與乘方互為逆運算，能熟練地用平方根運算求一個非負數的平方根。

四、教學難點

用平方根運算求一個非負數的平方根。

五、教學過程

1. 創設情景，復習舊知。

師：想一想，什么是乘方運算？能舉個例子說說嗎？

生1： 32，（-3）2，52，54……

師：在“54”中，5、4分別叫什么？

生（眾）：5是底數，4是指數。

師：54的結果是多少？它又叫什么？

生（眾）：625，冪。

師：很好，乘方運算就是已知底數、指數，求冪的運算。

2. 提出問題，引發探究。

師：如果知道了指數、冪，底數是多少呢？也就是說“已知x4=625，求x”。我們把這種運算稱之為開方運算，就是已知冪、指數，求底數的運算。

師：我們研究數的運算往往是從簡單的開始，你們覺得我們可以先從“開幾次方”開始研究呢？

生2：開1次方。

師：對于一個數的開1次方，是多少？有沒有必要？

生3：沒有必要，開1次方還是它本身。

師：對的！那從開幾次方開始？

生4：開2次方。

師：到底開幾次方？

生（眾）：開2次方。

師：2次方又稱平方。那我們就從平方運算和對應的開平方運算開始。我們知道，22=4，若x2=4，x是多少？

生5：±2。

師：若x2=100呢？或者x2=169呢？

生6：±10、±13。

師：能再舉些例子嗎？

生7舉例。

師：你們有什么發現？

生8：平方等于同一個數的數有兩個，它們互為相反數。

師：x2=2呢？（學生討論。）

師：在這里我們沒有找到任何一個整數或分數的平方等于2，即無法找到一個有理數，使它的平方等于2。這怎么辦呢？

師：為了確定一個數，使它的平方等于2，我們在平方數2的上面放上符號“[]”來表示，記作[2]，即（[2]）2=2。這里的“[]”讀作“根號”，[2]讀作“根號2”。此時，x會是多少？

生9：[±2]。

師：可以看出，使x2=a（a>0）成立的數有幾個呢？

生（眾）：兩個。

師：它們之間有什么關系？

生10：它們互為相反數。

教師接著給出平方根的定義，并板書。

3. 嘗試練習，鞏固新知。

教師出示例題，讓學生講解，然后教師點評，鞏固新知。

例1 求下列各數的平方根：

（1）25； （2）[1681]； （3）15； （4）0.09。

4. 探索交流，發現性質。

師：在下列各括號中能填寫適當的數使等式成立嗎？如果能，請填寫；如果不能，請說明理由，并與同學交流。

（ ）2=9，（ ）2=5，（ ）2=[925]，（ ）2=0，（ ）2=-[49]，（ ）2=-8，（ ）2=-36。

生11進行了回答。

師：你有什么發現？

生12、生13、生14給出了自己的見解。教師接著板書平方根的性質：一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根。

5. 拓展練習，深化理解。

教師出示例題。

例2 計算：

（1） [36]；（2） -[214]；（3）±[0.81]。

師：式子[36]是什么意思？

生15：表示36的平方根。

師：再想想，看看黑板上的符號表示。

生16：表示36的正的平方根。

師：正確！等于多少呢？

生17：6。

師：式子-[214]是什么意思？

生18：表示2[14]的負的平方根。

師：等于多少？

生19：-[32]。

師：很好！那么，±[0.81]呢？

生20：表示0.81的平方根。

師生共同分析后，學生上臺板演。

6. 梳理小結，歸納提升。

師：請同學們圍繞以下幾個問題展開梳理：（1）這節課你是怎樣學習平方根的？（2）你對平方根有哪些認識？

生21回答。

師：同學們，乘方運算是已知底數、指數求冪的運算，開方運算是已知冪、指數求底數的運算，如果已知冪、底數，求指數叫什么運算呢？你們將在高中的學習中繼續探究。

六、教學反思

1. 立足研究教材，貼近學生現實。

著名特級教師李庾南認為，“教材不等于教學內容，教者應該從學生實際出發，力求學生的知識、智力、能力、情感、態度能達到各自的‘最近發展區’，創造性地用教材，重組教學內容，決不能只是講教材”。本節課的教材設計是以運用勾股定理計算直角三角形邊長為實際情境，引導學生感悟研究“數的開方”的必要性，激發學生的求知欲。顯然，邊長的計算結果應該是算術平方根，而不是平方根，筆者覺得有值得商榷的地方。所以，筆者放棄了教材上的情境引入，而是從“什么是乘方運算”入手，引入“開方運算”，讓學生初步感受乘方與開方互為逆運算，然后引導學生具體研究平方運算和對應的開平方運算，再給出平方根的定義，讓學生學會平方根的符號表示及求法，并歸納其性質。這樣，不僅有利于學生理解平方根的內涵，還能夠更好地揭示開平方運算與平方運算之間的內在關聯。

2. 深刻理解教材，認真理解數學。

鐘啟泉教授指出：“唯有‘用教材教’才能反映教學過程中教材的性質。這是因為，教學過程是一種社會交互作用的過程，知識不是教師通過傳遞信息強制性地灌輸給學生的，而是學生自身以及在與教師交互作用之中建構的。”章建躍教授曾說：“在課堂教學中，要以數學知識的發生、發展過程和理解數學知識的心理過程為基本線索，為學生構建前后一致邏輯連貫的學習過程，使他們在掌握數學知識的過程中學會思考。”“用教材教”就需要我們深刻理解教材、認真理解數學，不僅包括本學段內數學知識的發生、發展可能，還要思考在后續高中階段會有怎樣的生長可能，也有利于學生能從整體上理解數學，構建數學認知結構。“冪、底數、指數”三個量之間的關系是平方根教學的生長點，筆者設計具有思考性的問題串，引發學生思維沖突，引導學生準確而深刻理解平方根概念，也為學生學習高中的對數知識做了必要的準備。