淺談試題編制中“認識封閉”現象及其應對策略

“認識封閉”是數學學習與研究中的常見現象，本文擬通過教材一道錯題產生原因的剖析，談談題目編制中的“認識封閉”現象及其矯正策略。

一、問題提出

1. 題目呈現

如圖，△ABC的周長為

24，面積為48，求它的

內切圓的半徑。

與教材配套的《教師教學用書》提供的答案是：設△ABC的內切圓的半徑為r，切點分別為D、E、F，連接OD、OE、OF、OA、OB、OC。由題意，得OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥CA，且OD=OE=OF=r。由S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△COA=[12]r·AB+[12]r·BC+[12]r·CA=[12]r·（AB+BC+CA）=12r，S△ABC=48，易得r=4。

2. 題目證偽

上述解答正確嗎？我們知道，周長一定的三角形中，等邊三角形的面積最大。不妨將問題特殊化：設AB=BC=CA=8，此時△ABC的面積最大為 16[3]<16×3=48，顯然“周長為24，面積為48”的三角形不存在。為進一步探究其周長與面積的關系，現將問題一般化：設三角形的三邊長分別為a、b、c，面積為S，記p=[12]（a+b+c）。

由海倫公式得：S=[p（p-a）（p-b）（p-c]），所以（p-a）（p-b）（p-c）=[S2p]。①

由均值不等式得：（p-a）（p-b）（p-c）≤（[p-a+p-b+p-c3]）3，當且僅當a=b=c時，等號成立。因為（[p-a+p-b+p-c3]）3=[[3p-（a+b+c）3]]3=（[3p-2p3]）3=[p327]，所以（p-a）（p-b）（p-c）≤[p327]。②

把①代入②，得[S2p]≤[p327]，所以S≤[39]p2，當且僅當a=b=c時，等號成立。

即：三角形周長一定時，面積Smax=[39]p2；三角形面積S一定時，p=[33S]。

就案例中的問題而言，三角形的周長為24，即p=12，則S≤[39]×122=16[3]<48，這就從理論上證明了周長為24、面積為48的三角形不存在。

二、問題探因

該題旨在讓學生通過問題解決，理解三角形的周長C、面積S、內切圓半徑r的關系，即S=[12]Cr，并知道已知其中兩個量，可求第三個量，進而鞏固三角形內切圓的相關性質。問題是：題目編寫者只注重了三者之間形式化的關系，而忽視了隱含條件，根本原因就是“認識封閉”現象。

“認識封閉”是特有的思維錯誤現象，產生這一現象的原因較多，如數學知識結構不完整，數學思維方式與習慣偏差等。在題目編制中的“認識封閉”現象主要原因則是關聯思維不夠，缺乏高觀點下理解數學問題的意識。

三、應對策略

應對題目編制中的“認識封閉”現象的策略較多，其中，優化思維方式、高觀點解釋問題是主要策略。

1. 優化思維方式。一是提高關聯思維的能力。無論是教師、還是教材編寫者，并不缺乏數學知識，之所以出現認識封閉現象，主要還是缺乏對知識的系統整合與有效關聯，形成思維定勢，沒有將題目數據與圖形存在的條件整體地、關聯地思考。因此，要在完善知識結構的前提下，注意提高自身整體地、關聯地思維的能力，盡可能在題目編制中考慮與之相關聯的知識、方法，并嘗試從不同角度理解與解釋。二是強化反思思維的意識。反思是一種重要的思維習慣，是思維深刻性與縝密性的具體體現。如果題目編寫者對問題稍作反思，比如將問題特殊化或一般化，就不難發現題目的瑕疵。有時需要對問題條件進行探究，通過限定條件的外延與內含，使問題的結論具有確定性、可靠性。

2. 高觀點解釋問題。數學的知識和方法是發展的，一般來說，上位（更高級）的數學知識和方法對下位（初級）的內容是兼容的，用上位的數學知識與方法可以更全面、更深刻地理解、解釋下位的數學現象。因此，作為題目編制者，必須有這種意識，就是在編制題目時，用上位的數學知識、方法對題目進行驗證，用高觀點來看待編制的數學問題，只有居高臨下，才能確保問題準確無誤。

（作者為江蘇省鹽城市葛武初級中學校長）