隨機共因失效條件下的多階段任務成功概率評估研究

曹文斌， 胡起偉， 蘇續軍， 趙建民

(1.軍械工程學院 裝備指揮與管理系, 河北 石家莊 050003; 2.軍械工程學院 火炮工程系, 河北 石家莊 050003)

?

隨機共因失效條件下的多階段任務成功概率評估研究

曹文斌1， 胡起偉1， 蘇續軍2， 趙建民1

(1.軍械工程學院 裝備指揮與管理系, 河北 石家莊 050003; 2.軍械工程學院 火炮工程系, 河北 石家莊 050003)

共因失效廣泛存在于裝備作戰任務過程中，合理地對共因失效事件進行建模，對于準確評估裝備任務成功概率，具有十分重要的意義。針對現有的多階段任務成功概率評估模型中沒有考慮的一類隨機共因失效問題，采用隱式二元決策圖法，建立了當共因失效事件的產生服從隨機分布時的多階段任務成功概率評估解析模型，并以某型火箭炮裝備為實際案例對模型進行了驗證。研究結果表明：所建立的數學模型可以解決隨機共因失效條件下的多階段任務成功概率評估問題，為評估裝備多階段任務成功概率提供了模型支撐；合理地任務剖面分析與建模有助于準確評估裝備任務成功概率。

系統評估與可行性分析；多階段任務； 成功概率； 隨機共因失效； 二元決策圖

0 引言

多階段任務系統(PMS)是指由執行時間上具有連續性和不重疊性，功能上具有相關性的多個階段組成任務的復雜系統[1]。每個任務階段，系統工作部件及結構關系、外部環境、任務要求可能不同[2]。典型的PMS有飛機[2-3]、衛星系統[4]、核電站[5]、某些武器裝備[6-7]等。任務成功概率是指在規定的條件下和規定的任務剖面內，裝備能完成規定任務的概率[8]。雖然研究多階段任務成功概率評估的文獻相對較多[9-14]，但是如何考慮作戰任務的復雜性和裝備戰場損傷的不確定性，對裝備多階段任務成功概率進行評估，現有的解析模型還不能有效解決。

在戰場條件下，影響裝備任務成功概率的損傷可分為非戰斗損傷和戰斗損傷兩部分。非戰斗損傷主要是由自然故障、人為差錯、裝備不適于作戰環境等原因造成的[15]，而戰斗損傷是指敵方武器作用造成的裝備損傷[15]。戰斗損傷的產生往往具有隨機性和并發性，即裝備執行任務過程中，敵方武器作用的時刻、次數都是隨機的，且往往會以一定的概率造成我方裝備多部件同時損傷。因此，敵方武器作用是一種典型的共因失效事件，這里將這類具有隨機性的共因失效稱為隨機共因失效(RCCF)。雖然現有的考慮共因失效的多階段任務成功概率評估方法可以用于評估裝備多階段任務的成功概率，但是，大部分數學模型假設共因失效事件會以一定的概率發生，且發生時必然造成多個部件的同時故障(即共因失效發生的條件下部件故障概率為1)，這類共因失效被稱為確定性共因失效(DCCF)。只有Wang等[16]研究了概率性共因失效(PCCF)條件下多階段任務成功概率評估問題，即共因失效事件以一定的概率發生且以一定的概率造成多部件同時故障。但是，該模型假設共因失效事件只有發生和不發生兩種情況，不適用于評估裝備這類RCCF情況下的多階段任務的成功概率。鑒于此，本文結合裝備作戰任務特點，考慮共因失效事件的產生服從某一分布這類隨機情況，研究建立裝備多階段任務成功概率評估解析模型，并以某型火箭炮裝備為例進行應用驗證，從而為評估RCCF條件下裝備多階段任務成功概率提供模型支撐。

1 問題描述

裝備作戰環境復雜、損傷原因多、戰斗損傷隨機性強，為了針對性地開展研究，這里做如下假設：

1)假設裝備損傷只包含戰斗損傷和自然故障兩部分，且戰斗損傷和自然故障二者相互獨立；

2)敵方武器作用的時刻服從某一分布，且以一定的概率造成我方裝備多個部件同時損傷；

3)裝備任務由多個階段組成，每個任務階段內工作的部件不同，且各任務階段的持續時間確定且已知；

4)在任務過程中，不考慮裝備維修過程。

考慮以上情況，這里以某型火箭炮裝備為例，分析需要解決的問題。某型火箭炮裝備的典型任務過程如圖1所示，包括裝填、行軍、射擊準備、發射、撤收和陣地轉移6個任務階段，每個任務階段工作的部件不同，任務持續時間也不同。火箭炮裝備在執行任務過程中可能存在敵方武器作用(即RCCF事件)，且到達時刻服從某一分布，并以一定概率造成火箭炮裝備多部件同時損傷。決策者需要根據火箭炮裝備多階段任務特性，考慮戰斗損傷和自然故障，計算火箭炮裝備作戰任務成功概率。在下文描述中，用“RCCF事件”代替“敵方武器作用”。

2 基于隱式二元決策圖法的裝備多階段任務成功概率評估

現有的多階段任務成功概率評估方法主要可以分為兩大類：解析法和仿真法[17]。解析法包括組合建模法(如微部件法、故障樹法、二元決策圖(BDD)法等)、狀態空間建模法(如馬爾可夫鏈法、Petri網法等)和模塊化建模法(如BDD與馬爾可夫鏈相結合的方法等)。仿真法可以有效解決復雜情況下的任務成功概率評估問題，但是該方法計算過程較復雜，運算時間較長；而解析法的優勢在于計算過程簡單，計算效率高，因此這里采用解析法。BDD法是一種有效的靜態建模法，廣泛應用于多階段任務成功概率評估。當考慮共因失效時，基于BDD的多階段任務成功概率建模方法可以分為兩類：顯式法[18]和隱式法[16]。由于RCCF事件的發生次數是隨機的，用顯式法建模較困難，而且相比于顯式法，隱式法建模和計算過程較簡單，因此，這里采用隱式BDD法。

2.1 基于隱式BDD法的裝備多階段任務成功概率評估流程

采用隱式BDD法，對RCCF條件下裝備多階段任務成功概率評估建模的流程[16]為：

1)按照“任務階段—功能—部件”的對應關系，進行任務剖面分析及裝備結構分解。

在多階段任務成功概率建模中，最重要的是準確分析每個任務階段內裝備各部件的工作情況及對應的結構。由于裝備組成部件較多，在結構分解時，如果將其分解到最底層的組成部件，則會顯著提高分析工作的復雜性。為了簡化分析過程，提高分析效率，在進行“任務階段—功能—部件”分析時，應遵循以下3個原則：

①將裝備分解到實現任務階段內某項功能的部件，其下一層次的組成部件不再細分；

②若某幾個部件同時參與完成所有階段的任務，且在各任務階段的結構關系相同，在分析時可以將它們看作一個虛擬部件進行分析；

③重點分析易發生損傷的部件，對于不容易發生損傷的部件，可認為其任務成功概率為1，分析時將其忽略。

2)根據多階段任務剖面分析得到的“任務階段—功能—部件”對應關系，畫出每個任務階段的可靠性框圖和故障樹模型。

3)根據故障樹模型，畫出每個任務階段的BDD模型。將故障樹中各事件根據按向前階段相關性(即事件排序與任務階段順序相同)或者向后階段相關性(即事件排序與任務階段順序相反)進行排序。用ite(If-Then-Else)結構，將故障樹轉換為邏輯表達式為

ite(A,B,C)=AB+A′C,

(1)

即，若A成立，則B成立，否則，C成立。按照(2)式的規則，可得到各任務階段的BDD模型。

(2)

式中：k1和k2分別表示不同部件；G=ite(k1,Gk1=1,Gk1=0)和F=ite(k2,Fk2=1,Fk2=0)為ite結構的邏輯表達式；Gk1=1=G1和Fk2=1=F1分別為部件k1和k2的狀態取1時G和F的邏輯表達式；Gk1=0=G2和Fk2=0=F2分別為部件k1和k2的狀態取0時G和F的邏輯表達式；◇表示“與”或者“或”邏輯運算符；index(k1)和index(k2)分別表示預先定義的部件k1和k2的事件序號。

4)根據(2)式和(3)式的規則，用邏輯“或”將各任務階段的BDD模型連接，形成整個多階段任務的BDD模型。對于不同部件按(2)式的規則運算，對于相同部件但不同的任務階段(表示為kw1和kw2)，按照(3)式的規則運算。

(3)

式中：kw1和kw2分別表示相同的部件k在不同的任務階段w1和w2；Gkw1=1=G1和Fkw2=1=F1分別為kw1和kw2的狀態取1時G和F的邏輯表達式；Gkw1=0=G2和Fkw2=0=F2分別為kw1和kw2的狀態取0時G和F的邏輯表達式。

2.2 僅考慮自然故障的裝備多階段任務成功概率評估

假設T=[t(1),…,t(w),…,t(W)]表示各任務階段的持續時間長度，Dk=[dk(1),…,dk(w),…,dk(W)]表示部件k在各階段的工作情況，則dk(w)為

(4)

若用pk(w)表示部件k在第w個任務階段開始時未發生故障的條件下，在結束時仍未發生故障的概率。當僅考慮自然故障時，部件k在任務階段w(w=1,2,…,W)的任務成功概率可以描述為

(5)

式中：Rko(w)表示僅考慮自然故障時，部件k在任務階段w的任務成功概率。根據第1節中假設條件4，當不考慮裝備任務中的維修過程時，部件k在任務階段wk結束時的任務成功概率為部件k從任務階段1到任務階段wk各任務階段任務成功概率之積。即

(6)

(7)

僅考慮自然故障時的多階段任務成功概率為

(8)

2.3 考慮RCCF的裝備多階段任務成功概率評估

為了不失一般性，假設當在某個任務階段發生RCCF事件時，裝備所有組成部件(包括不參與該階段任務的部件)都可能發生損傷。若用C=[c(1),…,c(w),…,c(W)]表示各任務階段內是否發生RCCF事件，則c(w)可定義為

(9)

若用ti(i=1,2,…)表示第i次RCCF事件與第i-1次RCCF事件的時間間隔，ti(i=1,2,…)獨立同分布，分布函數表示為F(ti). 基于更新過程理論，在任務階段w內，RCCF事件的發生次數N(t(w))[19]為

N(t(w))=max{i:t1+t2+…+ti≤t(w)},

(10)

t(w)時刻內發生i次RCCF事件的概率[19]為

Pr(N(t(w))=i)=

Pr(N(t(w))≥i)-Pr(N(t(w))≥i+1)=

F(i)(t(w))-F(i+1)(t(w))，i=0,1,…,

(11)

則任務階段w內發生i次共因失效事件且未造成部件k故障的概率為

Rkc(i)=(F(i)(t(w))-F(i+1)(t(w)))(1-pkf)i,

(12)

式中：pkf表示RCCF事件發生時部件k故障的概率。若用iw表示任務階段w內RCCF事件可能發生的最大次數，則部件k在第w個任務階段和整個多階段任務的任務成功概率分別為

(13)

(14)

計算RCCF條件下，整個裝備的多階段任務成功概率時，這里分兩種情況討論：裝備在連續的任務階段內存在RCCF事件(記為情況1)和裝備在非連續的任務階段內存在RCCF事件(記為情況2)。情況1是指存在RCCF事件的幾個任務階段時連續的；情況2是指裝備存在RCCF事件的任務階段是非連續的，即在兩個存在RCCF的任務階段之間的某些任務階段內肯定沒有RCCF事件發生。很顯然，這兩種情況下的任務成功概率計算方法不同，這里分別進行討論。

2.3.1 情況1：裝備在連續的任務階段內存在RCCF事件

圖2 連續任務階段內存在RCCF的任務剖面Fig.2 Mission profile of RCCF occurring in continuous phases

(15)

圖3 任務階段劃分Fig.3 Reclassification of mission phases

(16)

(17)

(18)

(19)

將自然故障考慮在內，路徑集lj對應的任務成功概率為

(20)

(21)

2.3.2 情況2：裝備在非連續任務階段內存在RCCF

圖4 任務階段劃分Fig.4 Reclassification of mission phases

(22)

則僅考慮隨機共因失效時，路徑集lj的任務成功概率為

(23)

(24)

(25)

根據(21)式和(23)式，考慮路徑集的相關性，可得到在非連續的任務階段內存在隨機共因失效情況下的裝備多階段任務成功概率為

(26)

3 案例分析

3.1 某型火箭炮裝備多階段任務成功概率評估

某型火箭炮裝備的任務剖面如圖1所示。根據2.1節的多階段任務成功概率評估流程，對某型火箭炮裝備進行“任務階段—功能—部件”分析，共得到50個組成部件，其中15個部件可靠度較高且不易發生戰損，這里將其忽略。另外，有9個部件在參與所有任務階段內且結構關系不變，這里將其合并為一個部件分析，簡化后共有27個組成部件。各任務階段持續時間及工作部件如表1所示，僅考慮自然故障時，各部件在各任務階段的任務成功概率如表2所示(考慮到保密問題，這里對數據進行了處理，但不影響結論)。在“發射”階段，部件12和部件13串聯后與部件14并聯，其他部件在所有任務階段中均為串聯關系。假設RCCF事件到達時刻服從指數分布，分布參數為λ=0.5 h-1. 為了方便計算，假設每次RCCF事件對火箭炮裝備所有組成部件造成損傷的概率相等，值為pkf=0.015.

表1 各任務階段持續時間及工作部件

根據2.1節的流程，可以得到整個多階段任務的BDD模型，如圖5所示。從圖5中可以看出，共有3條任務成功時的路徑集l1，l2和l3，分別為：

表2 僅考慮自然故障時各部件在各任務階段的任務成功概率

注：“-”表示部件在該任務階段未工作。

圖5 多階段任務BDD模型Fig.5 BDD model of phased mission

首先根據2.2節的模型，計算得到了僅考慮自然故障時，某型火箭炮裝備多階段任務成功概率為0.690 1. 當考慮RCCF時，這里討論了兩種情況：情況1，在任務階段“裝填”內不會發生RCCF，而在其他任務階段都可能發生RCCF，此時，按2.3.1節的模型得到任務成功概率為0.449 2；情況2，假設在任務階段“裝填”和“發射”兩個階段內都不會發生RCCF，而在其他任務階段內可能發生RCCF，此時，根據2.3.2節的模型得到任務成功概率為0.458 7. 通過對比可以看出，0.449 2<0.458 7<0.690 1，即不考慮RCCF時的任務成功概率最大，情況2的任務成功概率次之，情況1的任務成功概率最小，與實際情況相符。結果表明RCCF可降低任務成功概率；合理地任務剖面分析與建模有助于準確評估裝備任務成功概率。

3.2RCCF事件對任務成功概率的影響分析

為了量化和評估RCCF對任務成功概率的影響，這里分析了兩種情況(即情況1和情況2)下，任務成功概率R、λ和pkf之間的關系。分布參數λ決定了RCCF事件的發生次數，而pkf決定了共因失效事件發生時，造成部件損傷的概率。理論上來說，當pkf值一定時，λ值越大，任務期間發生多次共因失效事件的概率就越大，任務成功概率會越小；當λ值一定時，pkf值越大，每次共因失效事件造成部件損傷的概率越高，任務成功概率越小。因此，任務成功概率會隨著λ和pkf的增大而減小。

圖6 連續任務階段內RCCF對任務成功概率的影響Fig.6 Effect of RCCF occurring in continuous phases on mission success probability

圖7 非連續任務階段內RCCF對任務成功概率的影響Fig.7 Effect of RCCF occurring in discontinuous phases on mission success probability

這里利用Matlab軟件進行仿真，得到了情況1和情況2中，任務成功概率R、λ和pkf三者之間的關系，分別如圖6和圖7所示。從圖6、圖7中可以看出，在兩種情況下，由本文建立的模型得到的仿真結果均與理論分析結果一致，證明了模型的正確性。另外，通過對比圖6與圖7的顏色和等高線，可以看出情況2的任務成功概率始終略大于情況1的任務成功概率，這是由于情況1假設在“行軍、射擊準備、發射、撤收和陣地轉移”5個任務階段內均會發生共因失效，而情況2假設“行軍、射擊準備、撤收和陣地轉移”4個任務階段內會發生共因失效，即情況1的共因失效事件發生次數要大于情況2的共因失效事件發生次數。因此，情況2的任務成功概率會大于情況1的任務成功概率。該結論與3.1節的分析結果相符，側面說明了RCCF會降低任務成功概率。

4 結論

考慮裝備在執行多階段任務過程中可能會發生戰斗損傷這一復雜情況，針對RCCF條件下多階段任務成功概率評估問題，采用隱式BDD法，建立了當共因失效事件的產生服從隨機分布時的多階段任務成功概率評估解析模型，并以某型火箭炮裝備為例進行了驗證，為評估戰時裝備多階段任務成功概率提供了模型支撐。模型中，裝備各部件的壽命和隨機共因失效事件的產生時刻可以服從任意分布。另外，可以從以下兩個方面進一步深入研究：一是考慮任務持續時間服從某一分布的情況，例如某些裝備執行作戰任務時，火力打擊時間往往是不確定的，可用某一分布進行描述；二是RCCF條件下多狀態系統的多階段任務成功概率評估有待進一步研究。這也是作者下一步將要研究的內容。

References)

[1] Xing L D, Dugan J. Analysis of generalized phased-mission systems reliability, performance and sensitivity [J]. IEEE Transactions on Reliability, 2002, 51(2): 199-211.

[2] Xing L D, Levitin G. BDD-based reliability evaluation of phased-mission systems with internal/external common-cause failures [J]. Reliability Engineering and System Safety, 2013, 112: 145-153.

[3] Xing L D. Reliability evaluation of phased-mission system reliabi-lity, performance and sensitivity [J]. IEEE Transactions on Reliability, 2007, 56(1): 58-68.

[4] 朱海鵬. 基于BDD的多階段任務系統可靠性建模分析[D]. 成都: 電子科技大學, 2010. ZHU Hai-peng. BDD-based reliability analysis of phased-mission system [D]. Chengdu: University of Electronic Science and Technology of China, 2010. (in Chinese)

[5] Xing L D, Amari S V, Wang C N. Reliability of k-out-of-n systems with phased-mission requirements and imperfect fault coverage [J]. Reliability Engineering and System Safety, 2012, 103(3): 45-50.

[6] 張濤, 郭波, 譚躍進, 等. 一種基于BDD的多階段任務系統可靠度新算法[J].系統工程與電子技術, 2005, 27(3): 446-448. ZHANG Tao, GUO Bo, TAN Yue-jin, et al. New BDD-based algorithm for reliability analysis of phased-mission systems[J]. System Engineering and Electronics, 2005, 27(3): 446-448. (in Chinese)

[7] 張濤, 郭波, 武小悅, 等. K階段變化條件下k/N:G系統的備件保障度模型[J]. 兵工學報, 2006, 27(3): 485-488. ZHANG Tao, GUO Bo, WU Xiao-yue, et al. Spare availability model for k-out-of N system with different k in different phases [J]. Acta Armamentarii, 2006, 27(3): 485-488. (in Chinese)

[8] 甘茂治, 康建設, 高崎. 軍用裝備維修工程學[M]. 第2版. 北京: 國防工業出版社, 2005. GAN Mao-zhi, KANG Jian-she, GAO Qi. Military equipment maintenance engineering [M]. 2nd ed. Beijing: National Defense Industry Press, 2005.(in Chinese)

[9] Gregory L, Amari S V. Reliability of non-repairable phased-mission systems with common cause failures [J]. IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics: Systems, 2013, 43(4):967-978.

[10] Levitin G, Xing L D, Yu S J. Optimal connecting elements allocation in linear consecutively-connected systems with phased mission and common cause failures [J]. Reliability Engineering and System Safety, 2014, 130:85-94.

[11] Wu X Y, Wu X Y. Extended object-oriented petri net model for mission reliability simulation of repairable PMS with common cause failures [J]. Reliability Engineering and System Safety, 2015, 136:109-119.

[12] Wu J M, Wu X Y, Liu Y L, et al. Reliability analysis of large phased-mission systems with repairable components based on success-state sampling [J]. Reliability Engineering and System Safety, 2015, 142:123-133.

[13] Wu J M, Wu X Y. Reliability evaluation of generalized phased-mission systems with repairable components [J]. Reliability Engineering and System Safety, 2014, 121: 136-145.

[14] Levitin G, Xing L D, Amir E Z, et al. Heterogeneous warm standby multi-phase system with variable mission time [J]. IEEE Transactions on Reliability, 2016, 65(1): 1-13.

[15] 李建平, 石全, 甘茂治. 裝備戰場搶修理論與應用[M].北京: 兵器工業出版社, 2000. LI Jian-ping, SHI Quan, GAN Mao-zhi. Battlefield damage repair theory and application [M]. Beijing: Publishing House of Ordnance Industry, 2000. (in Chinese)

[16] Wang C N, Xing L D, Levitin G. Probabilistic common cause failures in phased-mission system [J]. Reliability Engineering and System Safety, 2015, 144: 53-60.

[17] Xing L D, Amari S V. Reliability of phased-mission systems [M]∥Krishna B M. Handbook of Performability Engineering. London: Springer, 2008: 349-368.

[18] Fan D M, Wang Z L, Liu L L, et al. A modified GO-FLOW methodology with common cause failure based on discrete time Bayesian network [J]. Nuclear Engineering and Design, 2016, 305:476-488.

[19] 馬文·勞沙德. 系統可靠性理論：模型、統計方法及應用[M]. 第2版. 北京: 國防工業出版社, 2011. Marvin R. System reliability theory: models, statistical methods, and applications[M]. 2nd ed. Beijing: National Defense Industry Press, 2011.(in Chinese)

Research on Phased-mission Success Probability Assessment under Random Common Cause Failures

CAO Wen-bin1， HU Qi-wei1， SU Xu-jun2， ZHAO Jian-min1

(1.Department of Management Engineering, Ordnance Engineering College, Shijiazhuang 050003, Hebei, China;2.Department of Artillery Engineering, Ordnance Engineering College, Shijiazhuang 050003, Hebei, China)

Common cause failure exists in the performing process of military equipment mission. The reasonable modeling of the common cause failure events is of great significance to the accurate assessment of mission success probability. A kind of random common cause failure has not been considered in the existing mission success probability assessment models for phased-mission system. The implicit BDD (binary decision diagrams) method is used to model the phased-mission success probability when the occurrence of the random common cause failure event follows a certain distribution. A real example is used to verify the validity of the proposed model. The results show that the proposed model can be used to assess the phased-mission success probability considering random common cause failure, and the reasonable modeling mission profile contributes to the accurate evaluation of mission success probability.

system assessment and feasibility; phased-mission; success probability; random common cause failure; binary decision diagram

2016-11-08

國家自然科學基金青年科學基金項目(71401173)

曹文斌(1988—), 男, 博士研究生。E-mail: wbyzq@foxmail.com

胡起偉(1979—)， 男， 副教授， 碩士生導師。 E-mail: h_q_w@sina.com

E92

A

1000-1093(2017)04-0766-10

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.04.019