炮用象限儀角度測量不確定度的評定方法

文海, 程斌, 張開維

(中國華陰兵器試驗(yàn)中心 計量測試站， 陜西 華陰 714200)

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炮用象限儀角度測量不確定度的評定方法

文海, 程斌, 張開維

(中國華陰兵器試驗(yàn)中心 計量測試站， 陜西 華陰 714200)

競爭擇優(yōu)任務(wù)要求炮用象限儀角度測量結(jié)果給出不確定度，以便于不同行業(yè)領(lǐng)域的理解、交流和比對。在評定測量不確定度的過程中，鑒于實(shí)際工程測量樣本量小而難以實(shí)施A類評定的問題,提出用實(shí)驗(yàn)室校準(zhǔn)過程近似實(shí)際測量過程，利用歷史校準(zhǔn)數(shù)據(jù)和線性回歸方法，建立了基于統(tǒng)計過程控制技術(shù)的A類評定方法，以某型炮用象限儀的歷史校準(zhǔn)數(shù)據(jù)并結(jié)合MATLAB工具驗(yàn)證該方法可行。用測量不確定傳遞率法得到了該型炮用象限儀測量范圍內(nèi)任意角度上的擴(kuò)展不確定度曲線，并用蒙特卡洛法對其進(jìn)行了驗(yàn)證。 關(guān)鍵詞： 兵器科學(xué)與技術(shù)； 炮用象限儀； 測量不確定度； 統(tǒng)計過程控制； GUM法； 蒙特卡洛法

0 引言

炮用象限儀在實(shí)戰(zhàn)中常用于裝定火炮射角，其測量結(jié)果直接影響著射擊密集度，也會對命中目標(biāo)造成影響[1]；在靶場試驗(yàn)中，主要用于火炮最大仰角、最大俯角、高低機(jī)空回量、瞄準(zhǔn)鏡表尺裝定器與炮身實(shí)際射角一致性、瞄準(zhǔn)鏡垂直讀數(shù)與炮膛軸線的偏差量等指標(biāo)的符合性測量[2]，對評估火炮性能有指導(dǎo)意義。近年來，越來越多的競爭擇優(yōu)試驗(yàn)要求試驗(yàn)測量結(jié)果給出不確定度[3-4]，以便于不同行業(yè)領(lǐng)域的理解、交流和比對。然而，在實(shí)際測量過程中，被測對象不確定，測量獲得的樣本量少，導(dǎo)致實(shí)際測量結(jié)果的不確定度評定十分困難。

圖1 炮用象限儀結(jié)構(gòu)原理圖Fig.1 Sttructure diagram of clinometer

1 炮用象限儀工作原理

炮用象限儀用于測量在垂直面內(nèi)的傾斜角，測量范圍為0-00 mil到15-00 mil(即0°到90°)，也可用它把設(shè)備調(diào)整到規(guī)定的角度。它是火炮裝定射角或測量射角的專用儀器，由手柄、水準(zhǔn)器、轉(zhuǎn)向弧頂桿、游標(biāo)、齒弧和底座組成，如圖1所示。

圖1中，水準(zhǔn)器固定在游標(biāo)上，游標(biāo)可以在轉(zhuǎn)向弧頂桿上滑動，底座由兩個互相垂直的工作面組成，當(dāng)被測角小于45°時用1號工作面，大于45°時用2號工作面。炮用象限儀指示的角度由齒弧讀數(shù)、轉(zhuǎn)向弧游標(biāo)讀數(shù)和水準(zhǔn)器估讀共同確定。

裝定火炮射角的過程分為5步：1)將炮身置于水平位置；2)將炮用象限儀工作面沿身管方向，置于炮尾的水平臺上，調(diào)至零位(即0-00 mil)；3)將炮用象限儀的角度調(diào)整至擬裝定的射角；4)轉(zhuǎn)動火炮高低機(jī)，調(diào)整炮身的指向角，使炮用象限儀水準(zhǔn)器的氣泡居中；5)此時，炮身所處的位置就是火炮所需裝定的射角。而測量火炮射角的前兩步與裝定過程相同，其他改為：3)先調(diào)整高低機(jī)，將炮身調(diào)整到所需的射角位置；4)再調(diào)整炮用象限儀的轉(zhuǎn)向弧游標(biāo)，使其水準(zhǔn)器的氣泡居中；5)此時，炮用象限儀所指示的角度是火炮的射角。

綜上所述，炮用象限儀角度測量是用直接測量法得到結(jié)果，其測量模型為

y=f(x)=xa-x0,

(1)

式中：y為角度測量結(jié)果；xa為實(shí)測角度；x0為零位角度，理論上應(yīng)為0-00mil.

2 影響炮用象限儀角度測量結(jié)果的不確定度來源分析

從工作原理上看出：影響實(shí)測角度的不確定度來源主要有重復(fù)性測量、讀數(shù)誤差、上級測量標(biāo)準(zhǔn)引入、被測對象4個因素；而影響零位角度的不確定度來源主要是零位正確性；另外，環(huán)境條件是實(shí)測角度和零位角度的不確定度來源[5]。為此，炮用象限儀角度測量結(jié)果的不確定度來源可從以下6個方面來分析：

1)重復(fù)性測量引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度uA. 該項(xiàng)不確定度一般是用A類評定得到。然而，在實(shí)際測量過程中，測量結(jié)果大多為單次測量或3次測量的平均值，即測量次數(shù)m為1或3。如果當(dāng)前測量過程處于統(tǒng)計過程控制狀態(tài)[6]，那么現(xiàn)在就可以直接采用“過去通過n次重復(fù)測量得到的單次測量實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差s(x)”作為該項(xiàng)不確定度，即

(2)

4)被測對象引入的不確定度分量uB3. 測量結(jié)果的不確定度，不僅與測量設(shè)備、測量原理和測量方法等有關(guān)，還與實(shí)際被測對象有關(guān)[7]。鑒于被測對象的不確定性且重復(fù)性測量已經(jīng)包含了被測對象引入的不確定度，此項(xiàng)不確定度忽略。

6)環(huán)境條件引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度uB5. 根據(jù)炮用象限儀的說明書，在實(shí)際測量工作中，對環(huán)境條件要求較為寬泛，加之在靶場試驗(yàn)過程中，實(shí)際測量一般都是在環(huán)境條件可控的室內(nèi)開展，因此，環(huán)境條件引入的不確定度可以忽略。

3 基于統(tǒng)計過程控制技術(shù)的A類評定

3.1 原理分析

重復(fù)性測量引入的uA分量，它是在重復(fù)性條件下通過對同一被測量進(jìn)行獨(dú)立的重復(fù)觀測得到，然而在實(shí)際工程測量中無法得到滿足此要求的樣本及樣本量。鑒于實(shí)驗(yàn)室校準(zhǔn)過程是一個對校準(zhǔn)條件、測量標(biāo)準(zhǔn)、校準(zhǔn)人員、校準(zhǔn)方法等都進(jìn)行了嚴(yán)密質(zhì)量控制的過程，此時把測量標(biāo)準(zhǔn)看成被測對象，可以滿足重復(fù)性測量條件；在實(shí)際測量過程中，除被測對象不確定外，其他如測試條件、人員、方法等也可以進(jìn)行嚴(yán)格的質(zhì)量管控，若測量過程受控，則完全可以將實(shí)驗(yàn)室校準(zhǔn)過程近似為實(shí)際測量過程[8-9]。

由中心極限定理[10-11]可知，在實(shí)際測量過程和實(shí)驗(yàn)室校準(zhǔn)過程中，當(dāng)測量過程受控時，可以認(rèn)為它們的測量輸出呈現(xiàn)出同一個正態(tài)分布總體的統(tǒng)計特性。再根據(jù)統(tǒng)計過程理論，可以認(rèn)為實(shí)際測量過程獲得的新子樣平均值和標(biāo)準(zhǔn)差與實(shí)驗(yàn)室校準(zhǔn)過程獲得的舊子樣近似相等。如果實(shí)際測量過程輸出與實(shí)驗(yàn)室校準(zhǔn)過程的測量結(jié)果表達(dá)形式一致，那么可以基于統(tǒng)計過程控制技術(shù)，利用歷史校準(zhǔn)數(shù)據(jù)評定出uA分量。

3.2 評定過程推導(dǎo)

3.2.1 評定準(zhǔn)備

1)測量結(jié)果表達(dá)形式的一致。在炮用象限儀的實(shí)驗(yàn)室校準(zhǔn)中，給出的校準(zhǔn)結(jié)果是各個名義示值上的誤差值(取絕對值)；而在實(shí)際測量中，給出的測量結(jié)果為m次測量的平均值。為使實(shí)際測量過程輸出與實(shí)驗(yàn)室校準(zhǔn)過程的測量結(jié)果表達(dá)形式一致，以其測量結(jié)果平均值為名義示值，各測量值減去該平均值并取絕對值作為本組各次測量的誤差值。

2)取得名義示值序列。鑒于實(shí)驗(yàn)室校準(zhǔn)不可能對炮用象限儀角度測量范圍內(nèi)所有名義示值進(jìn)行校準(zhǔn)，設(shè)名義示值校準(zhǔn)點(diǎn)為d，以集合X1×d來表征這些名義示值序列，單位為°.

4)進(jìn)行線性相關(guān)假設(shè)。如果炮用象限儀的名義示值與該名義示值上的誤差平均值及標(biāo)準(zhǔn)差之間線性相關(guān)，那么名義示值與其誤差平均值及標(biāo)準(zhǔn)差的臨界值之間也應(yīng)線性相關(guān)。

為此，利用實(shí)驗(yàn)室校準(zhǔn)的歷史數(shù)據(jù)，運(yùn)用線性回歸方程，可以預(yù)測出在給定置信概率下，任意名義示值的誤差平均值及標(biāo)準(zhǔn)差的臨界值。

在實(shí)際測量過程中，只要每組測量誤差的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差均在相應(yīng)的臨界值內(nèi)，即可認(rèn)為該組測量過程受控。然后，可以將此時誤差標(biāo)準(zhǔn)差的臨界值作為單次測量實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差代入(2)式，從而計算出uA分量。

3.2.2 臨界值的計算

1)分別計算各個名義示值上示值誤差校準(zhǔn)結(jié)果的平均值及標(biāo)準(zhǔn)差。

示值誤差平均值以集合Y1×d={y1,y2,…,yd}表示，示值誤差標(biāo)準(zhǔn)差以集合S1×d={s1,s2,…,sd}表示。

(3)

(4)

2)在實(shí)際測量過程中，其樣本數(shù)為m，設(shè)YN和SN為實(shí)際測量過程的誤差平均值及標(biāo)準(zhǔn)差，計算實(shí)際測量過程的誤差平均值YN的置信區(qū)間，記為YN∈[Ymin,Ymax].

(5)

3)計算實(shí)際測量過程的誤差標(biāo)準(zhǔn)差SN的置信區(qū)間，記為SN∈[Smin,Smax].

(6)

3.2.3 線性回歸方程的建立

1)建立在測量范圍內(nèi)任意名義示值X與其誤差平均值臨界上限Ymax之間的線性回歸方程。

基于線性相關(guān)的假設(shè)，可以建立名義示值X與其誤差平均值臨界上限Ymax的z階線性回歸方程為

ymax=β0+β1x+β2x2+β3x3+…+βzxz+ε，

(7)

式中：x為炮用象限儀實(shí)際角度測量值；ε為無窮小量。

(8)

2)對X-Ymax線性回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，可以構(gòu)建統(tǒng)計量F為

(9)

只要統(tǒng)計量F服從F(z,d-z-1)分布，即P{F>Fα(z,d-z-1)}=1-α，就說明X-Ymax線性回歸方程的顯著性得到了檢驗(yàn)。

3)建立在測量范圍內(nèi)任意名義示值X與其誤差標(biāo)準(zhǔn)差臨界上限Smax的線性回歸方程。

同理，可得到X與Smax的v階線性回歸方程為

(10)

4)對X-Smax線性回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，可以構(gòu)建起統(tǒng)計量F′為

(11)

只要統(tǒng)計量F′服從F(v,d-v-1)分布，即P{F′>Fα(v,d-v-1)}=1-α,就說明X-Smax線性回歸方程的顯著性得到了檢驗(yàn)。

3.2.4 實(shí)際測量過程的uA分量評定

1)設(shè)某實(shí)際測量過程有m個結(jié)果，記為Q={a1,a2,…,am}，單位為°.

計算Q的平均值，記為x，

(12)

3)計算本組各次測量的誤差值，記為Δ={Δ1,Δ2,…,Δm}，單位為″.

(13)

(14)

(15)

3.3 評定結(jié)果的實(shí)例驗(yàn)證

以某型炮用象限儀的歷史校準(zhǔn)數(shù)據(jù)結(jié)合MATLAB工具進(jìn)行驗(yàn)證分析。具體過程如下：

1)在實(shí)驗(yàn)室校準(zhǔn)過程中，某型炮用象限儀需要對d=7個名義示值點(diǎn)進(jìn)行校準(zhǔn)，即6.3°(1-05 mil)、12.6°(2-10 mil)、23.4°(3-90 mil)、36.2°(5-70 mil)、45°(7-50 mil)、60°(10-00 mil)和90°(15-00 mil)，以集合X1×7來表征這些名義示值，單位為°.

2)檢索該型炮用象限儀歷次校準(zhǔn)合格的記錄數(shù)為n=78，對校準(zhǔn)結(jié)果取絕對值，以集合J78×7表示，單位為″. 經(jīng)分別對各名義示值上的校準(zhǔn)序列進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)后，結(jié)果均服從正態(tài)分布。

3)臨界值計算。設(shè)顯著水平為α=0.001，根據(jù)(3)式～(6)式，分別計算出各個名義示值對應(yīng)的誤差平均值及標(biāo)準(zhǔn)差在置信概率1-α下的臨界值。有關(guān)數(shù)據(jù)及計算結(jié)果見表1.

表1 臨界值計算表

4)建立X與Ymax的線性回歸方程。根據(jù)3.2.3節(jié)，可建立名義示值X與其誤差平均值臨界上限Ymax的4階線性回歸方程，記為

圖2 X-Ymax 散點(diǎn)及線性回歸圖Fig.2 X-Ymax scatter and linear regression diagram

(16)

將表1中X和Ymax的數(shù)據(jù)代入(16)式，得到散點(diǎn)和線性回歸圖，如圖2所示。

根據(jù)表1中Ymax數(shù)據(jù)，可以計算出統(tǒng)計量F≈3 344.571 6，顯然大于F0.001(4,2)，說明(16)式的顯著性得到了檢驗(yàn)。

5)建立X與Smax的線性回歸方程。

同理，可得到X與Smax的3階線性回歸方程，記為

(17)

圖3 X-Smax 散點(diǎn)及線性回歸圖Fig.3 X-Smax scatter and linear regression diagram

將表1中X和Smax的數(shù)據(jù)代入(17)式，得到散點(diǎn)圖和線性回歸圖，如圖3所示。

根據(jù)表1中Smax數(shù)據(jù)，可以計算出統(tǒng)計量F′≈380.574 4，顯然大于F0.001(3,3)，說明(17)式的顯著性得到了檢驗(yàn)。

6)驗(yàn)證分析。用MATLAB工具進(jìn)行驗(yàn)證分析。具體如下：

①模擬正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差σ依次選取炮用象限儀最小分辨力(30″)的1倍、2倍和3倍；

②在0°～90°范圍內(nèi)，以均勻分布形式，隨機(jī)生成100萬個角度值，即{a1,a2,…,an}，n=1 000 000；

③在生成的每個角度值ai上，再以標(biāo)準(zhǔn)差為σ的正態(tài)分布隨機(jī)生成3個角度值，則第i組的測量值為{ai1,ai2,ai3}，i=1,2,…,n；

④根據(jù)3.2.4節(jié)的步驟進(jìn)行計算，對所有滿足過程受控要求的角度點(diǎn)累加1計數(shù)，運(yùn)算完畢后，將計數(shù)結(jié)果除以n，再乘100%，得到受控百分比，后用1減去該百分比得到失控百分比；

⑤重新選取標(biāo)準(zhǔn)差σ后，再按從2～4的步驟重新計算，直至所有標(biāo)準(zhǔn)差模擬完成。結(jié)果見表2.

表2 MATLAB模擬結(jié)果統(tǒng)計表

Tab.2 Statistical table of MATLAB simulation results

模擬正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差/(″)受控百分比/%失控百分比/%30(0.14mil)99.550.4560(0.28mil)85.9014.1090(0.42mil)41.8355.17

注：模擬點(diǎn)數(shù)n=1 000 000.

從表2看出，隨著模擬正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差增大，受控百分比逐漸降低，失控百分比卻逐步升高。當(dāng)以炮用象限儀最小分辨力的1倍為標(biāo)準(zhǔn)差作正態(tài)模擬時，幾乎不能發(fā)現(xiàn)失控的情況；當(dāng)以2倍模擬時，發(fā)現(xiàn)失控的情況已接近15%；當(dāng)以3倍模擬時，則能發(fā)現(xiàn)超過55%的失控情況。說明上述方法，能夠在實(shí)際測量過程中發(fā)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)差的大幅變動。當(dāng)確認(rèn)測量過程受控時，根據(jù)(15)式，可以得到該型炮用象限儀測量范圍內(nèi)任意名義示值X上的uA分量。

4 某型炮用象限儀角度測量結(jié)果的不確定度評定與驗(yàn)證

4.1 測量不確定度的評定

根據(jù)前文的分析，影響炮用象限儀角度測量結(jié)果的不確定度來源主要有6個，其中被測對象uB3和環(huán)境條件uB5分量可忽略不計，其他分量獨(dú)立不相關(guān)，且各不確定度分量均為對稱分布，作為輸出量的測量結(jié)果為正態(tài)分布，滿足測量不確定傳遞率法評定的要求[12]。

在實(shí)際測量過程中，輸出的測量結(jié)果為3次測量的平均值，即m=3.

因此，結(jié)合3.3節(jié)，根據(jù)不確定傳遞律，得到該型炮用象限儀角度測量的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，即uC為

(18)

當(dāng)置信概率p=0.95時，包含因子k取1.96，則該型炮用象限儀角度測量結(jié)果的擴(kuò)展不確定度U為

(19)

式中：x為炮用象限儀實(shí)際角度測量的結(jié)果，其擴(kuò)展不確定度U是一個與x有關(guān)的函數(shù)，可以作出如圖4所示的X-U圖。

圖4 X-U圖Fig.4 X-U diagram

從圖4可以看出：當(dāng)被測角小于45°時，隨著被測角增大，其擴(kuò)展不確定度增大；當(dāng)大于45°時，被測角越大，其擴(kuò)展不確定度就越小。

4.2 測量不確定度的驗(yàn)證

采用蒙特卡洛法對炮用象限儀角度測量擴(kuò)展不確定度進(jìn)行驗(yàn)證，具體方法[13]是：設(shè)某測量模型y=f(x1,x2,…xn)，xi的期望為μi，U為GUM法評定的擴(kuò)展不確定度，令[yL,yH]=[f(x1,x2,…xn)-U,f(x1,x2,…xn)+U]，作M次蒙特卡洛運(yùn)算，得到[yL,yH]包含f(μ1,μ2,…,μn)的次數(shù)C，然后觀察包含頻率C/M是否超過或接近包含概率p，若超過或接近，則表示測量不確定傳遞率法的評定結(jié)果得到驗(yàn)證。具體步驟如下：

1)根據(jù)測量模型(1)式和前文所述的測量不確定度來源分析，重復(fù)性測量uA、讀數(shù)誤差uB1和上級測量標(biāo)準(zhǔn)uB2等3個分量是影響實(shí)測角度xA的不確定度來源，而零位正確性uB4分量是影響零位角度x0的不確定度來源，因此，炮用象限儀角度測量結(jié)果不確定度的測量模型應(yīng)為

y=f(x)=(uA+uB1+uB2)-uB4.

(20)

圖5 X-C/M圖Fig.5 X-C/M diagram

2)根據(jù)前文不確定度來源的分析，設(shè)定各輸入量的概率密度函數(shù)。

②uB1分量：均勻分布，分布區(qū)間為(0,30)，即uB1～R(0,30).

③uB2分量：正態(tài)分布，uB2～N(0,52).

④uB4分量：均勻分布，分布區(qū)間為(0,15)，即uB4～R(0,15).

3)根據(jù)MATLAB程序的運(yùn)行結(jié)果，得到炮用象限儀測量范圍內(nèi)任意角度X上的包含頻率C/M曲線圖，如圖5所示。

顯然，在炮用象限儀的0°～90°測量范圍內(nèi)任意角度上的包含頻率C/M均大于包含概率p=0.95. 因此，采用測量不確定傳遞率法評定的炮用象限儀角度測量結(jié)果擴(kuò)展不確定度得到驗(yàn)證。

5 結(jié)論

1)給出的炮用象限儀測量范圍內(nèi)任意角度上的擴(kuò)展不確定度X-U曲線，對于裝定火炮射角或測量火炮射角等實(shí)際工程測量具有參考價值。

2)提出的基于統(tǒng)計過程控制技術(shù)的A類評定方法，用實(shí)驗(yàn)室校準(zhǔn)過程近似實(shí)際測量過程，用歷史校準(zhǔn)數(shù)據(jù)和線性回歸方法，解決了實(shí)際工程測量因樣本量小而難以實(shí)施A類評定的問題。

3)當(dāng)炮用象限儀用于靶場試驗(yàn)測量活動時，運(yùn)用本方法，每輪只需要輸入3次角度測量的結(jié)果，就可以即時獲知本輪測試過程是否受控。若受控，可進(jìn)一步得到本輪角度測量結(jié)果的擴(kuò)展不確定度，試驗(yàn)測量數(shù)據(jù)質(zhì)量會更高。

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Method for Evaluating Angle Measurement Uncertainty of Gun Clinometer

WEN Hai, CHENG Bin, ZHANG Kai-wei

(Department of Metrology and Testing, Huayin Ordnance Test Center of China, Huayin 714200, Shaanxi, China)

In order to facilitate understanding, exchange and comparison, a clinometer is asked to provide an uncertainty in the competition task. In the actual measurement, the evaluation of class A is difficult when the sample size is small.A laboratory calibration process is proposed to approximate the actual measurement process. The historical calibration data and linear regression are used to establish a class A evaluation method based on statistical process control technology. The method is proved to be feasible by using the historical calibration data of a certain type of clinometer and the MATLAB tool. The GUM me-thod is used to obtain the extended uncertainty curve at any angle. This conclusion is verified by Monte Carlo method. Key words: ordnance science and technology; gun clinometer; measurement uncertainty; statistical process control; GUM method; Monte Carlo method

2016-09-20

軍內(nèi)科研項(xiàng)目(2016年)

文海(1972—)，男，高級工程師。E-mail：whwjwy@163.com

TJ306+.1

A

1000-1093(2017)04-0817-07

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.04.025