分數階離散灰色模型及其在備件需求預測中的應用

潘顯俊， 張煒， 趙田， 郭小強

(1.裝備學院, 北京 101416; 2.63872部隊, 陜西 華陰 714200)

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分數階離散灰色模型及其在備件需求預測中的應用

潘顯俊1， 張煒1， 趙田1， 郭小強2

(1.裝備學院, 北京 101416; 2.63872部隊, 陜西 華陰 714200)

針對某型新概念武器裝備缺乏可比對的現有裝備，備件需求歷史數據少，對裝備本身保障特性缺乏了解等問題，提出應用分數階GM(r,1)模型進行備件需求預測的方法。應用矩陣擾動理論證明了GM(r,1)模型的擾動界小于GM(1,1)模型的擾動界。利用1階累加矩陣及其矩陣乘法運算推導出p階累加矩陣。應用分數階差分方程理論，將p階累加矩陣推廣到r分數階累加矩陣，建立分數階累加灰色模型GM(r,1)。通過矩陣求逆運算，得到r分數階累減矩陣，簡化了r分數階累減計算方法。應用遺傳算法確定GM(r,1)模型最優階數，利用GM(r,1)模型預測維修備件需求，并通過實際數據實驗，表明GM(r,1)模型比GM(1,1)模型具有更好的預測性能。

兵器科學與技術； 裝備保障； 灰色模型； 備件； 需求預測； 分數階； 遺傳算法

0 引言

在裝備保障中，維修保障占據主要地位，而維修備件需求預測是裝備維修保障一項重要工作，它直接影響備件庫存策略、維修保障費用和裝備維修效率。備件的短缺將直接影響裝備戰備完好性和使用可用度。一直以來如何準確地預測備件需求是一個研究熱點。備件需求預測可以分為兩大類：一類是在工程研制及生產階段，通常采用的方法有相似分析法、工程分析法、專家決策法、經費類比法和建模仿真等方法，預測備件需求，建立初始備件方案，使得裝備在部署時，能夠得到及時的保障；另一類是在裝備部署階段，可以利用備件需求統計數據，進行備件需求預測，進一步完善或優化備件保障方案，提高備件保障能力。但是對于某型新概念武器缺乏類似可以參照的裝備、采用新機理和新材料部件的可靠性數據也不夠準確等原因，降低了利用以上傳統方法進行初始備件預測的精度，增加了前期備件保障工作的風險。初始備件方案與實際備件需求情況相差甚遠，造成某些備件嚴重短缺，降低保障系統保障能力；某些備件存儲過多，造成資源浪費。同時，由于該型新概念武器裝備數量和使用單位極少，相應的備件需求統計數據樣本量也極少。因此在該型新概念武器裝備使用初期，如何利用極少的年度備件需求數據，預測備件需求，對于提高該型裝備保障系統備件保障能力、完善和改進保障系統顯得尤為迫切。

針對以上兩類備件需求預測問題，目前主要采用的方法有：1)基于裝備可靠性數據的備件需求預測[1-4]；2)基于神經網絡、支持向量機(SVM)等人工智能學習方法的備件需求預測[5-7]；3)基于建模仿真的備件需求預測[8-10]；4)基于時間序列分析的數據分析方法[11-13]；5)上述幾種方法的綜合方法[14-15]。針對備件需要的預測，國外有可修復備件多級供應技術(METRIC)系列模型和Simlox、OPUS10等相應的備件優化決策和評估工具，主要應用于建立和評估初始備件方案。第1種方法需要準確的裝備可靠性數據以及可靠性數據的分布信息。通常需要利用數理統計方法，對裝備的可靠性參數和維修性參數，如故障率、修復率等參數進行估計，需要一定數量的統計樣本，其估計精度和可信度依賴于樣本量的大小，經常用于初始備件方案的確定。第2種方法，通過分析影響備件需求的因素，如任務時間、工作環境、人員技能等，并對影響因素進行量化，利用神經網絡或SVM等方法，建立影響因素與備件需求量的映射關系，進而預測各種因素組合下的備件需求。其本質是一種聚類方法，其精度取決于學習樣本的數量和樣本準確性。該方法需要足夠的歷史數據，對模型進行訓練，適用于同類型裝備的備件需求預測。第3種方法，對數據的分布類型沒有嚴格的要求，可以適應各種不同的數據模型，利用裝備可靠性、維修性和保障性參數、保障系統信息和使用任務信息，建立準確的仿真模型，通過模型仿真運行，得到備件需求信息，該方法在裝備各個壽命階段都有廣泛應用。該方法需要詳細、準確掌握裝備系統和保障系統信息，建模工作復雜、應用要求高，對于“信息不完全”灰色系統難以建立可信的仿真模型。第4種方法直接以備件需求的歷史數據為研究對象，應用時間序列分析技術，對備件需求進行預測。常用的方法有時間序列擬合、自回歸移動平均(ARMA)以及小波分析和灰色模型等。文獻[13]利用小波分析、ARMA方法和灰色模型GM(1,1)，進行備件需求預測，提高了預測精度，但是過程過于復雜，同時小波分析需要較多的樣本數據。與文獻[13]類似，結合其他方法改進GM(1,1)預測精度[11-13,15]，都需要足夠的樣本數據，沒有從根本上解決“小樣本”的問題；基于數理統計的方法，需要有一定數量的樣本量，雖然許多學者針對小樣本的問題提出了相應的解決方案[16-17]，但是還不能解決“小樣本，貧信息”的問題。對此，鄧聚龍首次提出了灰色理論[18]，解決“小樣本、貧信息”系統問題，劉思峰等[19]對灰色系統理論在模型預測中的應用進行深入的研究，進一步豐富了灰色理論的內容。

灰色模型GM(1,1)可以對“小樣本，貧信息”系統做出很好的預測，近年來得到越來越多的重視，廣泛應用于工程、經濟、農業和軍事等領域。GM(1,1)模型在進行數據累加計算時，對數據序列采用的等值加權，這與“新信息優先”原理不一致，為此利用分數階累加的概念，建立分數階GM(r,1)模型[20-21]，分數階累加灰色模型GM(r,1)可以降低預測模型擾動界，提高預測模型的穩定性，分數階反向累加灰色模型GOM(r,1)可以改善遞減趨勢序列的預測精度。

由于該型新概念武器裝備，缺少準確的可靠性和維修性參數，也沒有類似的參照裝備，其初始備件方案誤差較大。并且該型裝備數量和使用單位極少，備件需求數據樣本少，屬于“小樣本，貧信息”系統。將分數階灰色模型應用于該型裝備的備件需求預測，解決了“小樣本”數據預測問題，與GM(1,1)相比，分數階灰色模型提高了預測精度。本文利用矩陣方法，構建了分數階離散灰色模型、分數階累加(和分)矩陣和分數階累減(差分)矩陣，代替文獻[22]的累加算子和累減算子，解決了對于任意實數累加算子和累減算子不一定滿足指數法則的問題；提高了灰色模型預測精度，簡化了分數階離散灰色模型計算方法，并將其應用到備件需求預測中；通過具體實例驗證模型的有效性，拓展了灰色預測模型工程應用范圍，為小樣本數據的備件需求預測提供了一種新方法。

1 整數階累加灰色模型

1.1 灰色模型GM(1,1)

(1)

定義1 階累加矩陣Σ=

α、β的最小二乘估計為

(2)

1.2 整數階離散灰色模型

定理1 設非負原始序列為X(0)=[x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)]，則p階累加生成序列為

(3)

式中：k=1,2,…,n；p∈Z+.

證明 原始序列X(0)的p∈Z+階累加生成序列為X(p)=X(0)Σp，只要證明

(4)

(4)式可以通過歸納法證明。

(5)

根據1.1節和本節建立的累加矩陣Σ和Σp，其轉置矩陣ΣT和(Σp)T就是相應的1階和p階反向累加矩陣。通過X(p)=X(0)(Σp)T實現序列反向累加生成，可以便捷地建立反向累加灰色模型GOM(p,1).

因為，序列X(0)=[x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)]的1階反向累加，定義為x(1)(k)=

X(1)=X(0)·ΣT，

(6)

2 分數階累加灰色模型

為定義分數階累加運算，首先，引入上升階函數(x)(n)記[22]

(7)

下面將GM(p,1)的階數p推廣到一般正實數r，從而得到分數階累加灰色模型GM(r,1).

結合(7)式可以得到

將p推廣到一般的正實數r，令r∈R+，定義

(8)

為r階累加生成序列。當r∈(0,+∞)時，x(r)(k)為r分數階累加生成，寫成矩陣形式：

X(r)=X(0)Σr，

(9)

與整數階累加矩陣Σp類似，Σr的轉置矩陣(Σr)T為r分數階反向累加矩陣。通過X(r)=X(0)(Σr)T實現序列的分數階反向累加生成，建立反向累加灰色模型GOM(r,1).

分數階GM(r,1)模型的離散形式為

x(r)(k+1)=αx(r)(k)+β，

(10)

式中：r∈(0,+∞).

引入累加矩陣和累減矩陣，不僅簡化文獻[22]計算r階差分方法，而且避免任意實數階累加算子和累減算子在某些時候不滿足指數法則的情形，拓寬了累加運算和累減運算的使用范圍。利用累加矩陣的轉置直接得到序列的反向累加矩陣，通過矩陣乘法實現反向累加序列生成，建立反向累加灰色模型，得到了累加序列和反向累加序列生成的統一表達形式。引入上升階函數，計算r階累加矩陣和累減矩陣，通過矩陣運算得到累加序列和累減序列，算法簡單，適合工程應用。

圖1 累加系數與r、n的關系Fig.1 Relationship between accumulative coefficient with r and n

3 分數階灰色模型性能分析

利用矩陣擾動分析技術，分析GM(r,1)模型性質。當原始數列出現噪聲擾動時，計算GM(r,1)模型解的擾動界，并與GM(1,1)模型進行比較。結果表明GM(r,1)擾動界小于GM(1,1)的擾動界GM(r,1)具有較好的穩定性，可以降低灰色模型預測誤差。

對于線性最小二乘問題

min‖Ax-b‖，

(11)

存在最小范數解為x=A?b，A?為A的廣義逆矩陣，A?=(ATA)-1.

設B=A+E，c=b+k，線性最小二乘問題

min‖Bx-c‖

(12)

的最小范數解為x+h.

灰色模型的白化方程系數是線性最小二乘問題min‖Ba-Y‖的最小范數解及最小二乘解為a=B?·Y，B?=(BTB)-1為B的廣義逆矩陣。

利用定理2分析GM(r,1)擾動界，并與GM(1,1)的擾動界進行對比。

首先分析GM(1,1)的擾動界。設原始序列的第k項發生擾動，即x(0)(k)=x(0)(k)+ε，

根據定理2，得到GM(1,1)的線性最小二乘擾動界為

下面分析GM(r,1)的擾動界，同樣，設原始序列的第k項發生擾動，即x(0)(k)=x(0)(k)+ε. 與G(1,1) 擾動界計算方法類似，將1階累加矩陣Σ換成r階累加矩陣Σr，可以計算得到

由C(x(0)(k))和Cr(x(0)(k))可以得出：1)k越大，解的擾動界越小，說明越新的數據發生擾動時，解的擾動界越小，這與“新信息優先”原理不符；2)n越小，解的擾動界越小，說明GM(r,1)適合小樣本數據預測；3)當0

4 結合遺傳算法的GM(r,1)預測算法

應用GM(r,1)模型進行數據序列預測時，還需要選擇一個合適的分數階累加矩陣的階數ro. 可以利用成熟的智能優化算法，如遺傳算法、模擬退火算法、禁忌搜索算法、粒子群優化算法等，對分數階累加矩陣的階數進行估計。在此應用遺傳算法，對分數階累加矩陣的階數進行估計，選擇優化的階數ro，建立GA-GM(r,1)預測算法。遺傳算法主要過程包括編碼(coding)、選擇算子(selection)、交叉算子(crossover)和變異算子(mutation)。以最小化GM(r,1)模型預測值(0)(i)的相對誤差絕對值的平均值為目標函數，應用遺傳算法確定r的最佳值ro. 階數r∈(0,1)實數，直接采用實數編碼。主要算法過程如下：

1)產生初始種群：在(0,1)產生均勻分布的20個不重復的的隨機數[r1,r2,…,r20]作為初始種群；

2)計算個體適應度：適應函數為Fitness(ri)=1/MAE；

3)計算個體選擇概率：

4)交叉運算：以交叉概率Pc選擇一對個體(rj,rk)進行交叉運算，產生新個體，r′j=βrj+(1-β)rk，r′k=(1-β)rj+βrk，β為(0,1)之間的一個隨機數，檢驗基因的有效性，確保產生基因不重復；

5)變異運算：采用隨機變異，對種群中某個個體，以變異概率Pm進行變異，產生新個體，變異方式是個體ri以隨機步長d向隨機方向移動，得到r′i=ri+d，d為一個[-D,D] 之間的隨機值(D為實數值)，檢驗基因的有效性，確保產生基因不重復。

本文采用交叉概率Pc=0.8，變異概率Pm=0.05 ，使用遺傳算法得到的最優分數階累加的階數ro，應用GM(ro,1)模型進行預測，得到預測結果。

5 算例與模型驗證

以文獻[13]數據對本文的模型進行驗證。該文獻使用了1998年～2010年共13個樣本數據進行建模。本文選擇2004年～2010年共7個備件需求采樣數據，利用前6個樣本數據構建GM(r,1)模型，利用最后一個樣本作為預測值的對比樣本，檢驗模型的有效性，且數據樣本量為文獻[13]樣本量的一半，能夠滿足新概念武器裝備數據量少的要求。分別利用灰色模型GM(1,1)、分數階反向累加灰色模型GOM(r,1) 和分數階灰色模型GM(r,1)，建立預測模型。利用遺傳算法，分別得到GOM(r,1)、GM(r,1)的最優階數分別為r1=0.119 0，r2=0.703 0. 表1為各模型的預測結果和殘差記錄。

表1 2004年～2010年備件需求數據及預測結果

注：*作為預測值對比樣本。

由數據計算表明，GM(r,1)模型對2010年度備件需求的預測結果顯著優于GM(1,1)和GOM(r,1)模型的預測結果，證明了本文提出的方法的有效性。對2010年度備件需求預測結果與文獻[13]的方法預測結果近似，但是本文方法需要的數據量更少，適合小樣本數據，同時不需要經過復雜的積分等運算，實現更加簡便，便于工程應用。

6 結論

灰色模型能夠有效地處理“小樣本，貧信息”問題，可以在極少數據樣本的情況下，對數據序列進行預測。通過對灰色模型的階數由整數向分數的進一步擴展，得到以下研究結論：

1)根據分數階差分理論，建立分數階灰色模型GM(r,1)，通過對模型性能的分析表明，GM(r,1)擾動界小于GM(1,1)的擾動界，具有更好的穩定性，可以進一步降低灰色模型預測誤差。

2)將矩陣運算應用序列累加運算和序列累減運算，建立分數階累加矩陣和分數階累減矩陣。數據序列右乘累加矩陣，得到累加序列；數據序列右乘累加矩陣的轉置矩陣，得到反向累加序列。得到了GM(r,1)和GOM(r,1)的統一表達形式。累加矩陣的求逆運算得到累減矩陣，通過數據序列右乘累減矩陣，得到累減序列，簡化了GM(r,1)模型的求解。

3)對樣本數據匱乏、系統信息不夠明確的新概念武器裝備的備件需求預測問題進行了研究。研究結果表明，基于GM(r,1)模型的預測方法的精度高于GM(1,1)模型，可以解決小樣本數據的預測問題，算法簡單，計算量小，具有良好的應用前景。

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Fractional Order Discrete Grey Model and Its Application in Spare Parts Demand Forecasting

PAN Xian-jun1, ZHANG Wei1, ZHAO Tian1, GUO Xiao-Qiang2

(1.Academy of Equipment, Beijing 101416，China; 2.Unit 63872 of PLA, Huayin 714200, Shaanxi, China)

A method of applying fractional GM(r,1) to forecast the demand of the spare parts is proposed for a new concept weapon because of the lack of comparable existing equipment, less historical data on spare parts demand, and the lack of understanding the supportability of equipment. The perturbation bound of GM(r,1) is proven to be smaller than the perturbation bound of GM(1,1) by using the matrix perturbation theory.p-order cumulative matrix is obtained by the first-order cumulative matrix and its matrix multiplication. Based on fractional order differential equation theory, thep-order accumulative matrix is extended to therfractional order accumulative matrix, and a fractional accumulative gray model GM(r,1) is established.rfractional order difference matrix is obtained by matrix inversion, and the calculation method ofrfractional difference is simplified. The optimal value ofrin GM(r,1) is determined through genetic algorithm (GA). The GM(r,1) model is applied to forecast the demand of spare parts. The experimental results show that GM(r, 1) model has better prediction performance than GM (1,1) model.

ordnance science and technology; equipment support；grey model；sparse parts；demand forecasting；fractional order；genetic algorithm

2016-09-01

全軍軍事類研究生資助項目(2013JY383)

潘顯俊(1980—)，男，博士研究生。E-mail: panjun_mail@163.com

張煒(1964—)，男，教授，博士生導師。E-mail:zhangwei_zbxy@163.com

E92

A

1000-1093(2017)04-0785-08

10.3969/j.issn.1000-1093.2017.04.021