初中數學教學中的全等三角形解題策略初探

本人申報廣東教育學會2016年度教育科研規劃小課題《“滾雪球”在初中數學三角形全等專題教學中的實踐研究》（負責人：謝永福），經小課題立項評審專家組評審，同意立項為廣東教育學會2016年度教育科研規劃小課題，課題編號GDXKT622 不能刪除

摘要：利用三角形全等是解決數學問題的一種重要思想和方法。教師在初中數學教學中要善于引導和幫助學生總結三角形全等的方法和策略，并指導學生應用這些策略來進行探究和分析，使學生可以在解題過程中靈活應用，得到運籌帷幄。本文主要探究了三角形全等解題的一些有效方法，促進學生數學思維的形成和解題能力的提高。

關鍵詞：初中數學 三角形全等 解題策略

對于全等三角形的研究，實際是平面幾何中對封閉的兩個圖形關系研究的第一步。它是兩個三角形間最簡單，最常見的關系。學生通過對三角形之間的關系進行觀察、操作、推理、想象，會發展學生的空間觀念，使學生可以更深刻地體會數學和圖形之間的關系，感受數學的魅力，在邏輯分析中發現問題、解決問題，積累數學活動經驗。

一、巧用三角形全等證明兩線垂直

通過對于數學知識的學習，學生在探究和實踐中會了解三角形全等的方式，通常會通過“邊邊邊”“邊角邊”“角邊角”“角角邊”“斜邊直角邊”的判定方法來證明三角形全等。當了解了三角形全等后，很多數學問題就會迎刃而解，使學生可以借助全等三角形的性質和特點來進行進一步的證明和推理，完善自己的思維，提高自己的理解能力，在大腦中建構出數學模型。學生在解題過程中可以利用三角形全等來證明兩線垂直，這是三角形全等的一種常用法。例如：AD為△ABC的高，E為AC上一點，BE交AD與F，且有BF=AC，FD=CD，求證BE⊥AC。解決本題的關鍵就是證明∠BEC=90°，而證明∠BEC=90°，也就是說∠EBC+∠BCE=90°。題目中已知AD為△ABC的高，BF=AC，FD=CD，也就是AD⊥BC，即∠ADB為90°，同時∠DBF+∠BFD=90°。所以證明本題的關鍵就是證明，這樣就可以證明∠BEC=90°。在對于∠BFD=∠BCE的過程中，學生就可以利用三角形全等的性質，這樣問題就順利解決了。解題過程中學生利用三角形全等來證明三角形中的內角相等，之后利用三角形內角和相等就可以證明兩直線的垂直。學生在解題過程中要善于利用自己的邏輯思維和推理判斷以及對于知識的遷移能力，使學生可以靈活地轉化已知條件之間的關系，證明三角形全等，之后進一步對個數量關系進行證明，提高自己的思維能力。

二、“倍長中線法”構造全等三角形

全等三角形的應用是非常廣泛的，學生在解題過程中要善于轉化和構造，使已知的數學條件可以得到充分地利用。在學生對已知條件進行加工和處理過程中，教師要適時地對學生進行點撥、引導，盡可能調動所有學生的積極性，使學生的思維可以運轉起來，主動地判斷各個數量之間的關系，成為學習的主體，提高數學解題能力。例如：已知△ABC中，AD為△ABC的中線，且AB=8cm，AC=5cm，如圖所示，求中線AD的取值范圍。為了能夠探究AD的取值范圍，學生可以借助全等三角形的性質和定理來進行推理判斷。可是題目中并沒有已知的可利用的全等三角形，學生就可以通過做輔助線的方式來自己構造全等三角形，進而借助全等三角形的性質來進行知識的分析和數量關系的判斷。為了構造全等三角形，學生可以做BE//AC交AD的延長線于E，通過已知信息，學生可以看到這樣就出了△ADC≌△EDB，有了這個條件，接下來的問題就簡單了很多。因為全等三角形△ADC≌△EDB，所以AE=2AD，BE=AC=5；在對于本題的證明中，學生需要明確在△ABE中，有AB+BE>AE，AB-BE<2AD，這樣學生就可以設AD的長度為x，這后對這個x的取值范圍進行計算既可以了。學生在解題過程中要善于發現規律，借助已知的條件來創造為自己服務的條件，了解知識的形成過程，體會了一種分析問題的方法。

三、捕捉特殊條件多角度巧構三角形全等

在對于數學知識的學習和探究過程中，教師要充分地發揮自己課堂主導的地位，使學生可以真正地成為學習主體。教師可以給學生提供練習題，并引導學生自主探究，積極思考，鼓勵學生捕捉特殊條件從多角度來構建全等三角形。例如：已知∠BAC=90°，AB=AC，M是AC邊上的中點，AD⊥BM交BC于D，交BM于E，∠AMB=∠DMC。

解題過程中學生可以借助輔助線，如圖，延長AD至F，使得CF⊥AC.

∵AB⊥AC，AD⊥BM，

∴∠ABM=∠DAC，

在△ABM與△CAF中，∠ABM=∠DAC，AB=CA，∠BAM=∠ACF，

所以△ABM≌△CAF，

∴∠BMA=∠F，AM=CF，

在△FCD與△MCD中，CM=CF，∠MCD=∠FCD，CD=CD，

所以△FCD≌△MCD，

∴∠F=∠CMD，

∴∠AMB=∠DMC.

解題過程中，學生要充分地發揮自己的想象力來做出輔助線，輔助線給學生營造了思維馳騁的空間，有效地幫助學生進行思維的想象和拓展，促進學生進行拓展思維和發散思維，在探究中明確各個數量關系，更好地利用全等三角形來進行證明。

總之，在解決數學問題中，學生要大膽地進行聯想和想象，充分地利用已知條件來建構全等三角形，這樣學生的思維就得到了鍛煉，積累了數學活動經驗，簡化了數學問題，有利于學生更好的理解數學，應用數學。在經歷知識的發現過程中，學生分類、探究、合作、歸納等能力也得到了提高和鍛煉。有利于學生綜合素質的提高。

參考文獻：

1.劉秀華 “全等三角形”中常見錯誤與分析[J] 初中生世界 2013（10）

2.姚世峰 “全等三角形”中的常考點[J] 中學生數理化：八年級數學（北師大版） 2012（7）