力的合成與分解方法的探究

【摘要】力的合成與分解是力學中重要的知識點，合力和分力之間是效果上的等效“替代”關系，它們之間具有合成與分解的關系。在分析力的合成與分解問題的動態過程中，由于中職生數學水平的限制，用公式法討論較困難，而用圖解法，結合平行四邊形定則等規律解決簡單、明了、易接受。

【關鍵詞】分力；合力；圖解法；平行四邊形定則

【中圖分類號】G633.7 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）28-0209-02

對于中職學生而言，他們對物理課本所講的關于共點力的合成和分解的概念，一般都能接受，但對于需要深入思考的一些習題，卻不知如何著手。針對這點，我在教學中通過探究，尋找方法和技巧，把繁瑣的數學公式法轉變為圖解法，結合平行四邊形定則等規律，使較困難的問題變得簡單、明了、易接受。

從講力的概念開始我就穩扎穩打，講透受力物體和施力物體的意義。指出受力物體和施力物體是相對的。為力的合成與分解的講解做好鋪墊，力的合成與分解，是力的概念的進一步抽象和應用。這種抽象和應用是以力產生的實際效果為依據的，因而在分析合力與分力過程中永遠離不開力的等效。在實際應用中力的合成與分解可以簡化問題，但只有找對方法，才能達到事半功倍的效果。首先要先了解合力和分力，力的分解和合成的概念：對于同一物體而言，如果一個力產生的效果跟幾個力共同作用的效果相同，則這個力就叫那幾個力的合力，而那幾個力就叫這個力的分力。合力和分力之間是效果上的等效“替代”關系，它們之間具有合成與分解的關系。在分析力的合成與分解問題的動態過程中，結合多年教學，經過不斷的探討和研究，結合例題應用圖解法對力的合成與分解的動態過程進行探究：

探究一：已知兩個分力F1和F2大小不變，它們之間的夾角θ在隨時改變，求它們合力F的變化？

公式法分析： 由于θ角在0?和180?之間變化，cosθ的值在1到-1之間變化，合力F 等于F12+F22+2F1F2cosθ在（F1+F2）2和（F1-F2）2之間變化，所以|F1-F2|≦F≦F1+F2，這里涉及到完全平方和、完全平方差公式和復雜的推導過程。

作圖法分析：F1和F2分別用兩條線段表示，逐漸改變θ的大小，（1）θ=0?；（2）0? <θ<90?；（3）θ=90?；（4）90?<θ<180?；（5）θ=180?。觀察F的變化。依據平行四邊形定則，如下圖一所示：

結論：兩個分力F1和F2大小不變，它們之間的夾角θ在隨時改變，則它們的合力|F1-F2|≦F≦F1+F2。（兩分力同向時取最大值，反向時取最小值）。

探究二：若兩個分力的夾角不變，其中一個分力不變，另一個分力增大，分析其合力變化：

1.當θ=0?，合力肯定增大，且方向不變，如圖二所示：

2.當時0?<θ≦90?時，合力的變化如圖三所示：

結論：若兩個分力的夾角0?<θ≦90?，且保持不變，其中一個分力不變，另一個分力逐漸增大，其合力也隨之增大。

3.當時90?<θ<180?時，合力的變化如圖四所示：

結論：若兩個分力的夾角90?<θ<180?時，且保持不變，其中一個分力不變，另一個分力逐漸增大，其合力先減小后增大。當F合與其中增大的分力F2垂直時，F合最小，此時F2=F1sinθ。

案例：如圖五所示，水平放置的物體在斜向上的拉力F的作用下，處于靜止狀態，當F逐漸增大到物體即將相對水平面向前運動的過程中，水平面對物體的作用力可能怎樣變化？（ ）。

A、逐漸減小 B、先減小后增大

C、逐漸增大 D、先增大后減小

分析：1.首先對物體進行受力分析，如圖六所示，物體受到自身的重力G，水平面對物體的支持力N，水平面對物體的靜摩檫力Ff和與水平面夾角為θ的斜向上的拉力F。

2.在初始狀態時，拉力F的大小未知，所以水平面對物體的摩擦力大小未知，故在斜向上的拉力F逐漸增大的過程中，水平面對物體的作用力的變化存在多種可能性。

3.本案例中問的是水平面對物體的作用力，這個作用力是指水平面對物體的支持力N和水平面對物體的靜摩檫力Ff的合力，因為物體始終保持靜止狀態，所以水平面對物體的作用力和物體重力G與拉力F的合力是平衡力。兩個力平衡的條件：兩個力作用于同一物體，大小相等，方向相反，作用于同一條直線上。因此，判定水平面對物體的作用力的變化就轉化為分析物體重力G與拉力F的合力的變化。

4.物體重力G與拉力F的合力變化，本題屬于探究物體重力G與拉力F夾角為（90?+θ）兩個分力，其中一個力（G）不變，另一個力（F）增大時，合力的變化情況，通過上述分析可知：1、若兩個分力的夾角0?<θ≦90?，且保持不變，其合力隨著其中一個分力的增加而增大。2、若兩個分力的夾角90?<θ<180?時，且保持不變，其合力隨著另一個分力先減小后增大。合力和那個增加的李垂直時，合力達到了最小值。

5.具體情況：當初始狀態F≧Gsinθ時，隨著斜向上拉力F逐漸增大，F合逐漸增大，水平面對物體的作用力也逐漸增大，當初始狀態F

探究三：已知合力和分力的某些要素，判定未知要素的唯一性。

（1）已知合力F和兩個分力F1和F2的方向，判定兩個分力的大小？

方法：依據平行四邊形定則，過合力F 的末端分別作兩個分力F1和F2的平形線，兩個交點即為兩個分力的末端，如圖七所示，兩個分力是唯一確定的。

（2）已知合力F和其中一個分力F1的大小和方向，判定另一個分力的大小和方向？

方法：依據平行四邊形定則，把合力F 的末端和分力F1的矢端相連接，然后分別過合力F的始端和分力F1的末端作對邊的平行線，兩條線的交點即確定另一分力大小和方向，另一個分力大小和方向是唯一確定的。

（3）已知合力F和其中一個分力F1的大小和另一個分力F2的方向，判定一個分力F1的方向和另一個分力F2的大小？

方法：以合力F的末端為圓心，以分力F2為半徑畫圓，查找與分力F1所在直線交點的情況，如圖八所示：

情況一：當圓與分力F1所在直線無交點時，此題無解，即分力F2不存在。

情況二：當圓與分力F1所在直線有一個交點時，此題有一解，即分力F2有唯一確定。

情況三：當圓與分力F1所在直線有兩個交點時，此題有兩個解，即分力F2的值不唯一確定。

對于情況二和情況三，依據平行四邊形定則，確定解的個數后分別過合力F的始端和分力F1的末端作對邊的平行線，兩條線的交點即確定另一分力的方向。

（4）已知合力F和兩個分力F1和F2的大小，判定兩個分力的方向？

方法：以合力F的末端和始端為圓心，分別以分力F1和F2為半徑畫圓，查找兩個圓交點的情況，如圖九所示：

情況一：當兩個圓無交點時，此題無解，即分力F1和分力F不存在。

情況二：當兩個圓相切有一個交點時，此題有一解，即分力F1和分力F2唯一確定。

情況三：當兩個圓之間有兩個交點時，此題有兩個解，即分力F1和分力F2的值不唯一確定。

對于情況二兩個力方向相同。

對于情況三，依據平行四邊形定則，確定解的個數后分別過合力F的始端和末端作對邊的平行線，兩條線的交點即確定兩個分力的方向。

結論：根據上述研究，已知合力，在分解過程中，兩個分力中確定任意兩個要素（大小和方向），未知分力的大小和方向都是可以確定的。

案例：如圖十所示，用細繩系住掛在光滑豎直面上的小球，細繩與豎直面的夾角為θ，當θ角逐漸減小，直至為0時，在整個變化過程中，細繩上的拉力將怎樣變化（ ）。

分析：

（1）首先對物體進行受力分析，如圖十所示，物體受到自身的重力G，豎直面對物體的支持力N和與豎直面夾角為θ的斜向上的細繩的拉力F。

（2）由于物體受到自身的重力的作用，它產生了兩個作用效果，一是小球對細繩的拉力，二是小球對豎直面的壓力，重力為合力，小球對細繩的拉力和小球對豎直面的壓力為兩個分力。

（3）本題是把一個力（G）分解為兩個分力（N和F）的典型問題，其特點是合力不變，其中一個分力N的方向不變，大小可變；另一個分力F的方向和大小都在變，如圖所示F的大小隨著方向的改變而改變，N的大小也隨時在改變，有無數解，沒有確定值。

（4）用圖解法分析此題，做出力的分解圖示，當細繩與豎直面夾角逐漸減小時，細繩上的拉力將逐漸的減小，小球對豎直面的壓力也逐漸的減小，當θ逐漸趨于0時，達到一個極小值，小球對豎直面的壓力為零，小球對細繩的拉力最小等于小球的重力。故選項A正確。

力的合成與分解滿足平行四邊形定則，中職學生經過反復的練習能夠掌握基本的畫圖方法，但對于合成和分解中的動態變化問題，學生分析還有一定的難度，這就需要我們老師多動腦，多研究，尋找適合中職學生的解題方式和方法。通過本文的講解，我們發現“圖解法” 分析是有效突破學生思維的瓶頸，它幫助了學生有效的進行理解、分析。所以遇到這一類問題用“圖解法”進行分析總結很有必要.推而廣之，在物理教學中用“圖解法”分析物理中的某一動態變化過程，一目了然，教師要逐步滲透這種分析問題的方法，用“圖解法”來具體分析物理變化過程，能夠有效的提高學生的分析解決問題的能力。

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[4]秦朝銀.解答力的合成與分解問題的特殊方法[J].物理教學探討，2005年18期

作者簡介：

辛雪麗（1976-），女，天津市人，天津市第一商業學校教師，主要從事物理教學工作。研究方向理工類。