以“弧度制”為例淺談概念的引入

吳星云　李三平

【摘要】概念的引入方式對學生概念的獲得具有一定的影響。本文以“弧度制”概念的引入為例，通過對三種教材中關于“弧度制”概念的引入方式、素材選擇以及概念定義方式等的探討，在概念引入方面獲得了一些重要的啟示。

【關鍵詞】弧度制；概念；引入；教材比較

【中圖分類號】G634.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）28-0152-02

一、問題的提出

“弧度制”是北師大版《高中數學必修4》第一章第三節的內容[1]，本節課的教學目標主要包括：了解弧度制的概念，體會弧度是度量角度的一種方式，能夠進行弧度與角度的轉化，能夠掌握弧度制下扇形的弧長公式、面積公式并靈活運用幾個公式；同時要求學生理解角與實數集之間一一對應的關系。根據教材的安排，學生已經學習了周期性、角的概念的推廣，即將學習誘導公式以及三角函數的圖像與性質。由此可見，本節內容是學習三角函數的起點，在課程結構中具有“承上啟下”的作用。

對“弧度制”概念的引入進行探討，主要有以下原因：第一，從學生學習的角度來看，本節課學生只要知道“ ”這個事實，就能夠完成弧度與角度的互化，只要記住弧長、面積公式就能解題。但是，關于概念的引入，為什么要用弧度制來表示角度卻沒有太多的解釋。在初中階段，學生已經學習過角度制來度量角的大小，而現在又要用弧長所對圓心角的大小去刻畫角的大小，這對學生來說有一定的困難。根據學生的認知規律，像“弧度制”這樣在生活中沒有接觸過的概念，若直接給出定義，學生是不容易接受的。第二，從教師的角度（尤其是新任教師）來說，本節課是概念課，關于概念的引入，教材所給的素材不夠豐富，弧度制概念似乎有些突兀，而且不易找到與弧度制理想的知識結合點和技能生長點[2]，在引入概念時不易找到恰當的方法。因此，我們認為有必要對“弧度制”這節課概念的引入進行探討。

二、北師大版教材、人教版教材、美國天才教育教材的對比

我們知道，教材是實現課程目標、實施教學的重要資源，教材又是學生獲取知識的主要來源和教師教學的主要依據[3]。所以，通過比較北師大版教材、人教版教材、美國天才教育教材關于該課題的引入，從中得到一些啟發。因為中美兩國作為中西方文化的代表，近年來有許多研究人員從各個層面對中美兩國教育進行比較研究，與美國教材作對比，希望能對中國教材的編寫提供借鑒。

我們主要從三個方面對三種版本的教材進行比較，即概念引入的方式、素材的選擇、概念定義方式[4]。需要說明的是，本文主要研究弧度制概念的引入問題，而弧度制就是一種用弧度來度量角的單位制，所以，對弧度制引入的研究，關鍵是對“1弧度角”定義的研究。下面給出三種教材的比較。

可以看出，從概念引入的方式來說，人教版教材與北師大版教材都由不同單位制指出角的另一種度量方式。人教版教材直接給出了“1弧度”的定義，學生對這樣突兀的概念是很難理解的。而北師大版通過大量鋪墊（復習初中學習過的弧長公式，觀察表格，讓學生理解“圓心角一定時，弧長與半徑的比值是一定值”），引入了弧度數這一概念，進而給出了“1弧度”的定義。美國天才教育教材卻是以相關數學史入手，引出角的另一種度量方式，并且由學生自己計算進行探究，得到弧度與角度互化的公式。由此可見，美國天才教育教材所選用的素材涉及的知識更廣泛，學生可以通過對本知識的學習了解更多的課外知識，增長的見識，有助于幫助學生學會“有用的數學”[5]。

從素材的選擇來看，人教版教材在介紹了概念之后，強調單位圓中長度為1的弧長所對的圓心角即為1弧度的角，并且給出了對應的幾何圖形，這似乎更加直觀的刻畫了1弧度角的大小，并且對后續課程單位圓的使用進行了鋪墊。北師大教材也使用了同樣的刻畫方式，不同的是，北師大版教材先通過觀察半徑不同的同心圓，及給出的弧長與半徑關系的表格，得到弧長與半徑之比為常數，并將這一常數稱為該角的弧度數，從而得到了相應的概念。美國天才教育教材與北師大版教材類似，通過填寫角度、半徑、弧長、弧度的關系引出弧度的概念，但是美國教材在素材的選擇上更能引起學生的興趣——選擇相關的數學史材料，并且更能體現學生的探究活動。這一點，在我國的兩種常用版本的教材中并沒有體現。

從概念定義方式來看，美國天才教育教材并沒有給出1弧度角的概念。與我國的兩種教材相比，人教版教材的定義更具有普遍意義，北師大版只是在單位圓中定義了1弧度角，這可能會讓學生產生疑問“為什么一定要在單位圓中？”“是不是離開了單位圓這樣的定義就沒有意義了呢？”

通過比較分析，我們不難發現，美國天才教育教材更加強調知識獲得的過程，引導學生有充分的空間進行探索，有利于學生進行觀察、猜測、推理，對概念的定義沒有過多的敘述。而且，美國天才教育教材的素材也是比較豐富的，并與其他知識結合，有助于激發學生的學習興趣。北師大版教材在概念引入時作了更多的鋪墊，更加強調知識的本質，所選擇的素材也是多樣的，而人教版教材只是給出了概念的定義。

三、啟示與思考

《普通高中數學課程標準（實驗稿）》提出，課程內容的呈現方式，應注意反映數學發展的規律，以及學生的認知規律，體現從具體到抽象、特殊到一般的原則。教材在概念引入時，應注意創設情境，從具體實例出發，展現數學知識的發生、發展過程，使學生能夠從中發現問題、提出問題，經歷數學發現和創造過程，了解知識的來龍去脈[6]。

1.把概念引入建立在學生已有的知識基礎上

張奠宙教授指出：“概念引入，它不同于一般的課題引入（也就是通常意義上的課堂導入）。概念引入是站在‘學的立場上考慮，以學生為主體，為學生提供學習環境，讓學生處于一種問題情境中，促使學生自主去分析、比較、綜合、抽象出概念”[7]。概念的引入，不僅要從具體的實例出發突現數學知識的發生過程，更重要的是要讓學生從中能夠發現問題、提出問題，體會數學概念的本質，感受概念探究發現的過程。在概念引入的過程中，教師應充分考慮學生的認知過程和規律，體現由抽象到具體，再由具體到抽象的這一過程。也就是說，在引入概念的時候要以學生已有的知識水平為基礎引入概念，再由學生自己抽象概括出新的概念。

2.對教材的重構與把握

從教的角度來說，概念教學是教學的基本任務之一，和概念學習一樣，概念教學離不開思考。傳統意義下的概念教學常常是枯燥乏味，學生也只是記住了概念，但是不注重概念的理解。所以，教師在進行教學設計時，應該廣泛閱讀文獻資料，結合不同版本的教材（有條件的可以參考國外學校的教材或教學參考書），對教材內容進行整合與歸納，在理解的基礎上，對教材的內容進行重構，把握概念的內涵與外延，豐富教學素材。

3.數學文化的滲透

新一輪的基礎教育課程改革，倡導數學文化的教育教學價值，數學課程應適當反映數學的歷史、應用和發展趨勢。像“弧度制”這一課程內容，可以結合美國天才教育教材的編排方式，在概念引入時增加有關的數學史知識，這樣將有助于提高學生的學習興趣與學習熱情。不僅如此，在很多的數學課程中都可以與數學史的內容結合起來，比如：函數的概念、微積分、平面解析幾何的產生等知識，都可以將數學文化滲透其中。

四、結束語

在概念教學中，關于概念引入的問題，我們應建立在學生已有的知識基礎上，引導學生進行概念學習，體會概念學習的過程。同時，概念教學是需要教師反復思考與探究的過程，以教材為依托，而不受到教材的束縛，以教材為出發點，加入自己的理解與思考。

參考文獻：

[1]嚴士健，王尚志主編.《普通高中課程標準實驗教科書數學必修4》[M].北京：北京師范大學出版社，2007

[2]高敏.課例：弧度制[J].中學數學教學參考（上旬），2015.04：16-18

[3]胡曉婷.高中數學教材中三角函數內容的比較研究[D].首都師范大學，2011

[4]張瀟瀟.基于概念引入的高中數學教材比較研究[D].首都師范大學，2013

[5]張笑謙，胡典順.澳大利亞VCE課程與人教版高中數學教材平面向量章節的比較與思考[J]數學通報，2013.10：22-27

[6]中華人民共和國教育部.《普通高中數學課程標準（實驗稿）》[M].北京：北京師范大學出版社，2011

[7]張瀟瀟.基于概念引入的高中數學教材比較研究[D].首都師范大學，2013

作者簡介：

吳星云（1991.12-），女，陜西西安，陜西師范大學數學與信息科學學院，2014級課程與教學論專業，研究方向：數學教育。

李三平（1962-），男，陜西西安，陜西師范大學數學與信息科學學院，副教授。主要研究方向數學教育，中學數學與高等數學等。