關于x2+px+q=0的直觀詮釋

李中文

幾何直觀是領悟數學最積極而有效的途徑之一.為了更深刻地把握一元二次方程，本文擬從幾何角度對x2+px+q=0（p≠0，p，q為常數，以下略）的代數內涵作一直觀嘗試，懇與同行商榷.

一、x2+px+q=0的根的模型

已知，如圖1，AB為⊙O的直徑，直線m交⊙O于M、N，AC⊥m于C，BD⊥m于D，則

① AC·BD=CN·DN（由△ACN∽△NDB可得）；

② AC·BD=CM·DM（由△ACM∽△MDB可得）；

③ CM=DN（由平行線等分線段定理和垂徑定理可得）.

由①得AC·BD=CN（CD-CN），

即CN2-CD·CN+AC·BD=0.

由②得AC·BD=CM（CD-CM），

即CM2-CD·CM+AC·BD=0.

不妨設p=-CD，q=AC·BD，

則由一元二次方程根的意義可知，CN、CM就是方程x2+px+q=0的兩根的直觀模型.

二、x2+px+q=0的根的判別式模型

如圖1，過O點作OE⊥m于E，過A作AF⊥DB于F，顯然有BD+AC=2OE（OE為梯形ACDB的中位線），AF=CD（夾在平行線間的平行線段相等），BF=BD-AC，

AB2=AF2+BF2=CD2+（BD-AC）2，

∴AB2-4OE2=CD2+（BD-AC）2-（BD+AC）2=（-CD）2-4AC·BD=p2-4q（前設p=-CDq=AC·BD）.

我們來探求一下AB2-4OE2的符號與x2+px+q=0的根的情況是否存在內在的必然聯系：

1.當AB2-4OE2>0即AB>2OE時，直線m與⊙O相交→方程x2+px+q=0有兩個根CM，CN，且CM≠CN，如圖1.

2.當AB2-4OE2=0即AB=2OE時，直線m與⊙O相切→M，N重合→x2+px+q=0有兩個根CM，CN，且CM=CN，如圖2.

3.當AB2-4OE2<0即AB<2OE時，直線m與⊙O相離，如圖3，將方程x2+px+q=0變形為x（x+p）=-q.

即xAC=BDCD-x（前設p=-CD，q=AC·BD）.

假設此比例式成立，由幾何意義知x須滿足0

如圖3，不妨在CD上取點H，使CH=x，連接AH交⊙O于G，連接BH、BG，則Rt△ACH∽Rt△HDB（兩邊對應成比例，且夾角相等的兩個三角形相似），由此易得∠AHC=∠HBD.∵∠HBD+∠BHD=90°，又∵AB為⊙O的直徑，∴H必在⊙O上，這和直線m與⊙O相離相矛盾，故假設不成立，即無論x取何實數時方程x2+px+q=0均無實根.

鑒于AB2-4OE2正好等價于p2-4q，無疑將其作為x2+px+q=0的根判別式（Δ=p2-4q）的直觀模型，即Δ=AB2-4OE2.

三、x2+px+q=0的求根公式模型

這是從純幾何角度推導出的關于x2+px+q=0的根與系數的關系，即韋達定理，我們不妨把它叫作x2+px+q=0的韋達定理模型.

至此，我們已從根的意義、根的判別式、求根公式、根與系數的關系等四個方面把一元二次方程的代數內涵建構于幾何圖形各元素的有機聯系之中.筆者不揣拙淺，斗膽將以上諸點鎖定為一元二次方程x2+px+q=0的直觀詮釋，以就教于方家.

【參考文獻】

[1]梁紹鴻.初等數學復習及研究（平面幾何）[M].北京：人民教育出版社，1978：405-406.