三角形內心有關難題的簡證

蘇昌盛

【摘要】本文先證兩個定理，再利用定理證明兩道有關三角形內心的難題.

【關鍵詞】三角形內角平分線；三角形內心；不等式

在競賽輔導中，筆者發現與三角形內心I有關的一類不等式經常出現，在數學雜志的征解題中經常出現與三角形內心I有關的難題，證法頗具難度.本文提出兩個定理，利用定理巧解此類難題.

同理可證其余結論.

問題1已知△ABC，設I是它的內心，∠A，∠B，∠C的平分線分別交其對邊于點A′，B′，C′，求證：14

證明本題證法甚多，朱華偉老師給出四種巧妙證法（詳見文[1]），本文利用定理1予以簡潔新證.根據定理2，原不等式等價于

14

左不等式14<∏（b+c）（∑a）3（∑a）3<4∏（b+c）P+6Q+3R<4（2Q+R）P<2Q+R.

根據定理1（2）：P+2Q

右不等式

∏（b+c）（∑a）3≤82727∏（b+c）≤8（∑a）3

27（2Q+R）≤8（P+6R+3R）

3R+6Q≤8P.

根據定理1（1）：R≤2P，3Q≤P，

立知3R+6Q≤3·2P+2P=8P.

綜上，問題1獲證.

問題2△ABC的內心為I，內角平分線AD，BE，CF與邊相交于D，E，F，求證：32≤IDIA+IEIB+IEIC<2.（《數學通報》數學問題第849號）

證明續鐵權老師利用凸函數的一個控制不等式給了一個巧證（詳見文[2]），現利用定理2、定理1證明.

原不等式等價于

根據定理1（2），R>P+2Q，故P

綜上所述，問題2獲證.

問題3在△ABC中，三條內角平分線AA′，BB′，CC′交于點I，求證：54

證明劉允松老師給了一個簡潔證明（詳見文[3]）.

根據定理1、2，知該不等式等價于

根據定理1（1），R≤2P，又5R≤5（P+3Q），疊加而得到6R≤7P+15Q.

綜上所證，問題4獲證.

【參考文獻】

[1]朱華偉.奧林匹克數學的基本特征（三）——問題的研究性[J].中學數學，1995（5）：39-42.

[2]續鐵權.關于凸函數的一個控制不等式[J].數學通報，1995（7）：42-46.

[3]劉久松.巧證一組三角形趣題[J].中學數學，1995（8）：39-40.