“復數”常用數學思想方法

黃傳杰

【基金項目】本文為福建省教育科學“十三五規劃2016年度立項課題‘核心素養理念下的數學變式教學的行動研究”（立項批準號MJYKT2016-178）的階段性研究成果.

本文通過典例剖析的形式，主要歸納、總結了求解有關復數問題時常用的數學思想方法，旨在幫助學生拓寬解題思維，提高分析、解決問題的實際能力.

一、“數形結合思想”的應用

“數”與“形”是同一個事物的兩個方面，以“形”判“數”，以“數”論“形”的思想就是數形結合思想.“數”與“形”在一定條件下，可以相互轉化、相互滲透.華羅庚先生說過：數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休.

例1設復數z在復平面內對應的點為Z，若點Z在以原點O為圓心的單位圓上運動，則復數z+1+2i對應的點的軌跡是（）.

A

B

C

D

解析設復數z+1+2i=x+yi（x，y∈R），則z=x-1+（y-2）i，又復數z對應的點在單位圓上，所以，|z|=（x-1）2+（y-2）2=1，所以（x-1）2+（y-2）2=1.

于是，復數z+1+2i對應的點（x，y）的軌跡是以點（1，2）為圓心，以1為半徑的圓.故選A.

評注：本題設計比較新穎，主要考查復數的幾何意義與圓的交匯知識，需要靈活運用復數的代數形式加以求解.

二、“分類與整合思想”的應用

在解答某些數學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后整合得解，這就是分類與整合思想.分類與整合思想主要體現了“化整為零”“各個擊破”的解題策略.進行分類討論時，我們要遵循的原則是：標準統一，不漏不重.

例2集合{in|n∈N}（其中i為虛數單位）中的元素共有（）.

A.1個B.2個C.3個D.4個

解析因為n∈N，所以當n=4k，k∈N時，in=i4k=1；當n=4k+1，k∈N時，in=i4k+1=i；當n=4k+2，k∈N時，in=i4k+2=i2=-1；當n=4k+3，k∈N時，in=i4k+3=i3=-i.

綜上，集合{in|n∈N}={1，-1，i，-i}，顯然其中共有4個元素.故選D.

評注：結合虛數單位i的特性（i4=1）可知，本題應按正整數n除以4的余數（0或1或2或3）加以討論.

三、“轉化思想”的應用

將未知的或難以解決的問題，通過觀察、分析、類比、聯想等思維過程，選擇運用恰當的數學方法進行變換，轉化為在已知知識范圍內已經解決或容易解決的問題的思想叫作轉化思想.轉化思想的實質是“尋求聯系，實現轉化”.

例3已知復數z=1+（1-ti），若復數z2在復平面內對應的點在第二象限，求實數t的取值范圍.

解析∵復數z2=[1+（1-t）i]2=1+（1-t）2i2+2i（1-t）=（2t-t2）+（2-2t）i，∴由該復數對應的點（2t-t2，2-2t）在第二象限，得2t-t2<0，2-2t>0， 解得t<0.

故所求實數t的取值范圍是（-∞，0）.

評注：本題求解的關鍵在于，將復數z2對應的點在第二象限轉化為關于實數t的不等式組.

四、“函數與方程思想”的應用

方程思想是從分析問題的數量關系入手，通過聯想與類比，將問題中的條件轉化為方程或方程組，然后通過解方程或方程組，從而使問題獲解.函數思想是從題目的條件出發，通過聯想，構造函數模型，利用函數的性質（定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性等）和圖像，從而使問題獲解.

例4已知關于x的方程是x2-（tanθ+i）x-（2+i）=0.

（1）若該方程有實數根，求銳角θ和實數根；

（2）證明：對于任意θ≠kπ+π2（k∈Z），該方程沒有純虛數根.

解析（1）設該方程的實數根為a，則a2-（tanθ+i）a-（2+i）=0，

即a2-atanθ-2-（a+1）i=0.

∵a，tanθ∈R，∴a2-atanθ-2=0，a+1=0，

解得a=-1，tanθ=1.

又θ為銳角，所以θ=π4.

（2）若該方程存在純虛數根，設為bi（b∈R，b≠0），則有

（bi）2-（tanθ+i）bi-（2+i）=0，

即-b2+b-2+（-btanθ-1）i=0，

所以-b2+b-2=0，-btanθ-1=0， 易知此方程組無實數根.

綜上，可知：對于任意θ≠kπ+π2（k∈Z），該方程沒有純虛數根.

評注：根據題意靈活地“設”，是本題順利求解的切入點；根據復數相等的充要條件構建方程組，是本題進一步分析的關鍵.

綜上，關注常用數學思想方法在解題中的靈活運用，有利于提升解題的技能技巧.