高考數學一題多解例題解析

馬寶貴+常艷艷

在2016年的高考數學試題中突出了對創新應用能力的考查，對學生的邏輯思維能力以及實踐能力進行了深入的考查，體現出了數學本身所具備的理性價值和科學價值，重視的是對數學通性以及通法的考查.為了能夠對2016年高考數學試題有更好的了解，并對一題多解有更加深刻的認識，下面就以2016年高考數學題為例探討一題多解.

例（2016年全國高考理科Ⅰ卷第18題）如圖1，在以A，B，C，D，E，F為頂點的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60°.

（1）證明：平面ABEF⊥平面EFDC；

（2）求二面角E-BC-A的余弦值.

原題中的第一個小題很容易進行證明，在這里就不再進行論述.對于第二個小題，有的考生認為點C難以確定，之所以會這樣，是因為他們沒有對題目中的“五面體”看清，也就是C、D、E、F是共面的，A、B、C、D共面，那么此時就可以根據AB∥EF來推導出AB與平面CDEF平行，接著就可以根據線面平行的相關性質來推導出AB∥DC，然后推導出CD∥EF，并且還可以證明出∠CEF為二面角C-BE-F的平面角，那么∠CEF=60°，因此，C點的位置是可以確定的.

接下來主要就第二小題的解法進行論述：

解法1

由（1）可知∠DFE=∠CEF=60°，因為AB∥EF，AB平面CDEF，EF平面CDEF，所以EF∥平面ABCD，AB平面ABCD，因為面ABCD∩面EFDC=CD，所以AB∥CD，所以CD∥EF，所以四邊形EFDC為等腰梯形.

如圖2所示，以E為原點，EF為x軸，EB為y軸，建立坐標系，設FD=1，E（0，0，0），B（0，2，0），C12，032，A（2，2，0），EB=（0，2，0），BC=12，-2，32，AB=（-2，0，0），假設面BEC的法向量為m=（x1，y1，z1）.

則m·EB=0，m·BC=0， 也就是2y1=0，12x1-2y1+32z1=0.

取x1=3，y1=0，z1=-1，則m=（3，0，-1），假設面ABC的法向量為n=（x2，y2，z2），則

n·AB=0，n·BC=0， 也就是2x2=0，12x2-2y2+32z2=0.

取x2=0，y2=3，z2=4，n=（0，3，4），假設二面角E-BC-A的大小為θ.

cosθ=m·n|m||n|=-43+1·3+16=-21919.

點評：向量法以其操作簡單的特點而被很多的學生采用，但是由于向量法有一個細節需要細心加以處理，即如何確定法向量的方向，如何讓兩個法向量之間的夾角能夠與二面角的平面角相等？其方法也十分簡單，在兩個半平面上各取一點來構造一個向量，使這個向量的內積與兩個法向量內積同號就可以了.

解法2如圖3所示，作AG⊥BC，G點為垂足；作EH⊥BC，H點為垂足，則GA，HE之間的夾角也就是為二面角E-BC-A的平面角，假設GB=λBC，那即可得出GA=GB+BA=λBC+BA，因為GA⊥BC，所以GA·BC=0.

同理，λ（BC）2+BA·BC=0，

也就是5λ+1=0，因此，λ=-15，

GA=-15BC+BA=-1512，-2，32+（2，0，0）=1910，35，-310，

同理可以得出HE=-25，-25，-235，

cosθ=GA·HE|GA||HE|=-4513810·205=-21919.

點評：選擇棱法向量法的好處就在于不用擔心兩個法向量之間的夾角與二面角之間的大小不一樣，但是使用該種方法的前提就是要保證兩個棱法向量的起點要選擇棱上的垂足點.

反思：思路決定出路，高中教師研究高考試題是必須做的功課之一，作為一名高中數學教師，應該潛心研究一些典型的高考試題，不僅能夠幫助教師從整體上把握好教材，還能夠讓數學課堂更加貼近高考.