以數學文化為背景的高考試題賞析

周玉梅

在2017年的高考考綱中，明確增加了數學文化的要求，數學文化作為考綱新出現的內容，應引起重視.數學文化體現了數學的人文價值和科學價值，在培養學生數學素養的教育中起著重要作用.以數學文化為背景的高考試題，在近幾年的高考試題中已多次出現，本文就以數學文化為背景的高考試題作一賞析.

一、以數學史和數學名著為背景的試題

數學史和數學名著是數學文化的重要組成部分，以數學史和數學名著作為試題情境材料，可以培養學生學習數學的興趣，讓學生感受數學家探究、解決數學問題的過程，可以進一步弘揚中國優秀傳統文化，增加學生的愛國主義情感.

例1（2015年全國卷Ⅰ文）《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有（）.

A.14斛

B.22斛

C.36斛

D.66斛

解析設米堆的底面半徑為r，則8=14·2πr，

因為π=3，所以r=163，

則V米堆=14·13πr2h=3209（立方尺），

所以3209×1.62≈22（斛）.

二、以中外數學名題為背景的試題

數學歷史名題或者直接提供了相應數學內容的現實背景，或與深刻的數學內容相結合，或者深刻揭示了實質性的數學思想，或者與經典的解法相互關聯，以中外數學名題為背景命題，也是以數學文化為背景的高考試題的一大特色.

例2（2009年湖北理）已知數列{an}滿足：a1=m（m為正整數），an+1=an2，當an為偶數時，3an+1，當an為奇數時. 若a6=1，則m所有可能的取值為.

解析（本題源于角谷猜想：德國數學家克拉茨提出的：任給一個正整數n，如果n是偶數，就將它減半（即n2）；如果n是奇數，則將它乘3加1（即3n+1），不斷重復這樣的運算，經過有限步后，一定可以得到1.）

（1）若a1=m為偶數，則a12為偶，故a2=m2，a3=a22=m4.

①當m4仍為偶數時，a4=m8，…，a6=m32，故m32=1m=32；

②當m4為奇數時，a4=3a3+1=34m+1，…，a6=34m+14.

故34m+14=1得m=4.

（2）若a1=m為奇數，則a2=3a1+1=3m+1為偶數，故a3=3m+12必為偶數

…a6=3m+116，所以3m+116=1，可得m=5.

故填4，5，32.

例3（2014年湖北文）已知圓O：x2+y2=1和點A（-2，0），若定點B（b，0）（b≠-2）和常數λ滿足：對圓O上那個任意一點M，都有|MB|=λ|MA|，則

（1）b=；（2）λ=.

解析（本題源于阿波羅圓，它的定義為：動點P到兩定點F1，F2距離之比為定值λ（λ為正數），則動點P的軌跡是阿波羅圓.）

設圓上任一點（x，y），則x2+y2=1，又|MB|=λ|MA|，

所以有（x-b）2+y2=λ（x+2）2+y2，

消去y，整理得-2bx+b2+1=4λ2x+5λ2，

所以-2b=4λ2，b2+1=5λ2， 解之得b=-12，（2）λ=12.

三、以數學美為背景的試題

德國數學家克萊茵說“音樂能激發或撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌可以扣人心弦，科學可以改善物質生活，數學則可以提供以上的一切.”以上是人們對數學認識的最高境界，也是真正進入數學王國的人們的真實感受.數學是一門優美的科學，從形式到內容，從理論到實踐，都體現著美的特征，展現著美的特征.數學具有形態美，和諧、整潔、對稱、有序；具有思維美，思路清晰、構思巧妙、多向傳導；作用美，數學是人類最高超的智力成就，是人類心靈最獨特的創作；歷史美，每一個公式、定理，每一種重要的方法，都隱藏著一個美好的歷史故事.

例4（2014年福建理）如圖，在邊長為e（e為自然對數的底數）的正方形中隨機撒一粒黃豆，則他落到陰影部分的概率為.

解析（本題反映了數學圖形的美妙對稱性，在這種對稱美的感化下，使得思維簡化，從結構美最終促成了思維美.）由對數函數與指數函數的對稱性，可知圖中兩塊陰影部分的面積相等，

又S=2∫10（e-ex）dx=2（ex-ex）|10=2，

所以，落到陰影部分的概率為P=2e2.