“倒數(shù)曲線”及其在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

郭怡同

“倒數(shù)曲線”主要指的是將常見函數(shù)或者能畫出圖像的函數(shù)，先取其倒數(shù)然后畫出圖像，因而，可以將所得的圖像稱為原函數(shù)的“倒數(shù)曲線”.簡單地說，如果從函數(shù)表達(dá)式上進(jìn)行分析，其整體為倒數(shù)；但從形上進(jìn)行分析，其函數(shù)圖像可以依照“倒數(shù)曲線”完成.現(xiàn)筆者結(jié)合實際學(xué)習(xí)內(nèi)容以及高中數(shù)學(xué)部分基本初等函數(shù)對“倒數(shù)曲線”進(jìn)行如下分析.

一、倒數(shù)曲線形式

（一）對數(shù)函數(shù)

對數(shù)函數(shù)為y=logax（其中a>0且a≠1）的函數(shù)，當(dāng)a>1時其函數(shù)圖像如圖1所示，設(shè)對數(shù)函數(shù)的倒數(shù)為y=1logax（a>1）.在對此函數(shù)圖像進(jìn)行描繪的過程中，我們應(yīng)該關(guān)注到其中的關(guān)鍵點包括如下三點：① y正數(shù)倒數(shù)為正數(shù)，負(fù)數(shù)倒數(shù)為負(fù)數(shù)；② 當(dāng)x→0+時，有y→0-，那么當(dāng)x→+∞，則有y→0+；③ 由于函數(shù)的定義域為（0，1）∪（1，+∞），因而，函數(shù)的圖像不連續(xù)，那么當(dāng)x→1+時，有y→+∞，那么當(dāng)x→1-，則有y→-∞.也就是說x=1為漸近線.因而，我們可以將函數(shù)y=logax（其中a>1）的倒數(shù)曲線畫出，如圖2所示.

（二）三角函數(shù)

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，三角函數(shù)圖像更是我們學(xué)習(xí)的重點.如圖3所示為正弦函數(shù)y=sinx的圖像.在對此函數(shù)的倒數(shù)y=1sinx的圖像進(jìn)行描繪的過程中，我們應(yīng)該關(guān)注到其中的關(guān)鍵點：① 正數(shù)倒數(shù)為正數(shù)，則可知負(fù)數(shù)倒數(shù)為負(fù)數(shù)；“1”的倒數(shù)為“1”，且“-1”的倒數(shù)為“-1”；② 當(dāng)sinx→0+時，有y→+∞，那么當(dāng)sinx→0-，則有y=→-∞，如此其圖像中便出現(xiàn)漸近線；③ 由于函數(shù)的定義域為{x|x≠kπ，k∈Z}，因而，函數(shù)的圖像不連續(xù).因而，我們可以將函數(shù)y=sinx的倒數(shù)曲線畫出，如圖4所示.

（三）指數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)為形如y=ax（其中a>0且a≠1）的函數(shù)，當(dāng)a>1時其函數(shù)圖像如圖5所示，指數(shù)函數(shù)的倒數(shù)則為y=1ax（a>1）.在對此函數(shù)圖像進(jìn)行描繪的過程中，關(guān)鍵點包括：① “1”的倒數(shù)為“1”；② 當(dāng)x→+∞時，有y→0+，那么當(dāng)x→-∞，則有y→+∞；③ 由于函數(shù)y的圖像不連續(xù)，因而，我們可以將函數(shù)y（其中a>1）的倒數(shù)曲線畫出，如圖6所示.

（四）復(fù)合型函數(shù)

對函數(shù)進(jìn)行分析后就不難畫出復(fù)合型函數(shù)倒數(shù)曲線，但在畫出圖像的過程中，我們還應(yīng)該注意到當(dāng)原函數(shù)值為0時，倒數(shù)曲線便會出現(xiàn)漸近線.因而，只有在對原函數(shù)最值進(jìn)行計算后才能掌握倒數(shù)曲線關(guān)鍵點坐標(biāo).

二、倒數(shù)曲線的應(yīng)用

“倒數(shù)曲線”在高中數(shù)學(xué)解題中占有重要的地位，在對“倒數(shù)曲線”進(jìn)行學(xué)習(xí)的過程中，應(yīng)該學(xué)會采用數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括，其知識具有較為明顯的策略性.對數(shù)學(xué)思想方法的滲透，有助于我們理性數(shù)學(xué)思維能力的提高，從而提高我們對問題進(jìn)行分析、解決的能力.對不同函數(shù)“倒數(shù)曲線”分析的過程，是我們進(jìn)行再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造活動的探索過程.并且在對不同函數(shù)推導(dǎo)其“倒數(shù)曲線”圖像的過程中滲透分類討論的思想及數(shù)形結(jié)合思想，通過詳細(xì)完整的分類，能夠提高我們的討論意識；而通過圖形呈現(xiàn)的方式，有助于我們更好地理解問題的本質(zhì).

三、結(jié)束語

一部分學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中認(rèn)為“倒數(shù)曲線”的圖像分析并不重要，認(rèn)為重要的是學(xué)會在解題的過程中更好地運(yùn)用公式.但從對不同函數(shù)的“倒數(shù)曲線”圖像分析的過程中發(fā)現(xiàn)，圖像的分析能夠顯著地提高我們對不同函數(shù)圖像的理解.通過圖像分析，可以在學(xué)習(xí)的過程中了解數(shù)學(xué)也是一種文化，因而，在學(xué)習(xí)的過程中可以適當(dāng)?shù)亓私鈹?shù)學(xué)史知識，從中領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的美學(xué)價值，最終提高自身的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng).除此之外，在解題的過程中能夠更好地應(yīng)用“倒數(shù)曲線”圖像，從中能夠發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，最終提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率.