張忠才

【摘要】有些習題看似平常,實則內涵豐富,若對其進行挖掘、提煉,有助于加深對知識理解的深度,使學生思維的觸角伸向不同的方向,不同的層次,有利于培養學生的創新意識和探究能力.
【關鍵詞】解法策略;數列;思想
【課題】甘肅省教育科學“十二五”規劃課題:民族地區高中數學高效課堂探究(課題批準號:GS[2015]GHB0563)成果.
筆者在高中數學必修5“數列”的教學中看到這樣一道題:在等差數列{an},Sm=30,S2m=100,求S3m=?
仔細觀察此題,本道題在教材必修5“數列”中能找到它的影子,教材例題:在等差數列{an}中,S10=310,S20=1220,求S30=?,此題的教材解法是化歸為a1,d的方程思想.
解法策略1依照教材解法解答此題.
∵Sn=na1+n(n-1)2d,
∴ma1+m×(m-1)2d=30,①
2ma1+2m×(2m-1)2d=100,②
解得d=40m2,a1=10m+20m2,
∴Sn=3ma1+3m(3m-1)2d=210.
點評:本題的解題通法是化歸為a1,d的方程思想.
解法策略2能否對通法的解題過程進行化簡運算呢?
S3m=3ma1+3m(3m-1)2d=3ma1+m(3m-1)2d.
將②-①得:ma1+m(3m-1)2d=70,
∴S3m=3×70=210.
點評:此解法是設而不求,整體代入思想,簡化了運算.
解法策略3等差數列的前n項和Sn是關于n的無常數項二次函數,可令Sn=An2+Bn,
∴Sm=Am2+Bm=30,S3m=A(2m)2+B(2m)=100,
∴A=20m2,B=10m,
∴S3m=A(3m)2+B(3m)=210.
點評:此方法利用了待定系數法,函數的思想.
解法策略4若{an}是等差數列,則Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數列.構造新數列,巧用性質解答此題.
由等差中項可得:2(S2m-Sm)=(S3m-S2m)+Sm,可得S3m=210.
解法策略5若{an}是等差數列,Sn是關于n的無常數項二次函數,可以構造一個關于n的新函數Snn.
∵Sn=na1+n(n-1)2d,
∴Snn=a1+(n-1)2d=d2·n+a1-d2,
則n,Snn是直線L:y=d2x+a1-d2上的一群孤立點.
由三點m,Smm,2m,S2m2m,3m,S3m3m共線,斜率相等可得S3m=210.
點評:公式合理化的變形,數列變成點列,實現數形結合的思想.
解法策略6小題不大做,特值代入法.
令m=1,∴S1=30,S2=100得a1=30,a2=70.
從而得a3=a2+(a2-a1)=110,
S3=a1+a2+a3=210.
點評:特殊化法難在不怕做不到,就怕想不到.
對同一道題,從不同的角度去分析研究,探求多種解題思路,從而得到多種解題方法,加深了學生對知識理解的深度,使學生思維的觸角伸向不同的方向,不同的層次,有利于培養學生的創新意識和探究能力.