一道習題的多角度分析

張忠才

【摘要】有些習題看似平常，實則內涵豐富，若對其進行挖掘、提煉，有助于加深對知識理解的深度，使學生思維的觸角伸向不同的方向，不同的層次，有利于培養學生的創新意識和探究能力.

【關鍵詞】解法策略；數列；思想

【課題】甘肅省教育科學“十二五”規劃課題：民族地區高中數學高效課堂探究（課題批準號：GS[2015]GHB0563）成果.

筆者在高中數學必修5“數列”的教學中看到這樣一道題：在等差數列{an}，Sm=30，S2m=100，求S3m=？

仔細觀察此題，本道題在教材必修5“數列”中能找到它的影子，教材例題：在等差數列{an}中，S10=310，S20=1220，求S30=？，此題的教材解法是化歸為a1，d的方程思想.

解法策略1依照教材解法解答此題.

∵Sn=na1+n（n-1）2d，

∴ma1+m×（m-1）2d=30，①

2ma1+2m×（2m-1）2d=100，②

解得d=40m2，a1=10m+20m2，

∴Sn=3ma1+3m（3m-1）2d=210.

點評：本題的解題通法是化歸為a1，d的方程思想.

解法策略2能否對通法的解題過程進行化簡運算呢？

S3m=3ma1+3m（3m-1）2d=3ma1+m（3m-1）2d.

將②-①得：ma1+m（3m-1）2d=70，

∴S3m=3×70=210.

點評：此解法是設而不求，整體代入思想，簡化了運算.

解法策略3等差數列的前n項和Sn是關于n的無常數項二次函數，可令Sn=An2+Bn，

∴Sm=Am2+Bm=30，S3m=A（2m）2+B（2m）=100，

∴A=20m2，B=10m，

∴S3m=A（3m）2+B（3m）=210.

點評：此方法利用了待定系數法，函數的思想.

解法策略4若{an}是等差數列，則Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等差數列.構造新數列，巧用性質解答此題.

由等差中項可得：2（S2m-Sm）=（S3m-S2m）+Sm，可得S3m=210.

解法策略5若{an}是等差數列，Sn是關于n的無常數項二次函數，可以構造一個關于n的新函數Snn.

∵Sn=na1+n（n-1）2d，

∴Snn=a1+（n-1）2d=d2·n+a1-d2，

則n，Snn是直線L：y=d2x+a1-d2上的一群孤立點.

由三點m，Smm，2m，S2m2m，3m，S3m3m共線，斜率相等可得S3m=210.

點評：公式合理化的變形，數列變成點列，實現數形結合的思想.

解法策略6小題不大做，特值代入法.

令m=1，∴S1=30，S2=100得a1=30，a2=70.

從而得a3=a2+（a2-a1）=110，

S3=a1+a2+a3=210.

點評：特殊化法難在不怕做不到，就怕想不到.

對同一道題，從不同的角度去分析研究，探求多種解題思路，從而得到多種解題方法，加深了學生對知識理解的深度，使學生思維的觸角伸向不同的方向，不同的層次，有利于培養學生的創新意識和探究能力.