平面向量運算的幾何意義在解題中的應用

薛紅利

【摘要】平面向量作為一種基本的數學工具，解決某些數學問題時往往也能避繁就簡，事半功倍.本文主要研究用平面向量加減法和數量積的幾何意義進行解題.

【關鍵詞】平面向量；幾何意義；解題

平面向量作為一種基本的數學工具，既有坐標表示，又有幾何表示.對學生來說平面向量的坐標表示更容易接受和理解，但對平面向量運算的幾何意義的應用往往感到比較生疏，而幾何意義又是平面向量的精華之處，它包括平面向量加減法、數乘、數量積的幾何意義，所以，若能合理靈活地運用向量的加法、減法的平行四邊形法則或三角形法則，以及平面向量數量積的幾何意義，解決某些數學問題時往往也能避繁就簡，事半功倍.

一、用平面向量加減法的幾何意義解題

平面向量加減法的幾何意義就是指平行四邊形法則（或三角形法則）：向量a+b和a-b就是以向量a和b為鄰邊的平行四邊形的對角線.

案例1若非零向量a，b滿足|a|=|b|，（2a+b）·b=0，則a與b的夾角為（）.

A.30°

B.60°

C.120°

D.150°

解方法（一）

設a與b夾角為θ，（2a+b）·b=2a·b+b2=2|a||b|cosθ+|b|2=（2cosθ+1）|a|2=0cosθ=-12.

∵0≤θ≤π∴θ=2π3，故選C.

方法（二）

如圖，

OA=2a，OB=b，OC=2a+b.

∵|a|=|b|，

∴|AC|=|OB|=|b|，|OA|=2|a|=2|b|.

∵（2a+b）·b=0，∴∠BOC=90°，

∴Rt△BOC中，∠OCB=30°∴∠COA=30°，

∴∠BOA=90°+30°=120°.

評析：方法一是基于代數意義，方法二是借助圖形，通過兩種方法的對比發現，利用向量問題考查學生的運算求解能力，不是簡單的“繁”、“難”運算，而是通過試題巧妙地設計考查考生利用數學思維方法推理運算的能力，考生需要利用向量的數與形特征，再根據試題的具體條件，合理確定運算目標、設計運算途徑.通過以上例題使學生充分體會到向量幾何意義的運用，特別是向量與平行四邊形、三角形等幾何圖形相結合會使問題簡單化.同時，方法二也能使學生更深刻地體會數學中數形結合的思想.

二、用平面向量數量積的幾何意義

評析：如果不用向量數量積的幾何意義同樣也可以得到正解，但可能稍顯麻煩，用幾何意義來解則更加簡捷，求兩向量數量積時，利用其幾何意義是將問題轉化為共線向量的數量積，只需計算長度即可，達到事半功倍的效果.

正如著名數學家華羅庚所說，“形少數時難入微，數缺形時難直觀”，在解題過程中，通過應用平面向量的幾何意義，不僅能發現新的解題思路，而且能提高學生的思維能力.新課程高考逐漸從“平穩過渡”變到“平穩發展”，要想讓學生適應新課程下的高考，需要在平時教學中重視學生基本能力的培養、思維深刻性和敏捷性的訓練，滲透數形結合的解題思想，幫助學生樹立解決向量問題的信心.

【參考文獻】

[1]羅增儒.中學數學解題的理論與實踐[M].南寧：廣西教育出版社，2009.

[2]秦德生.高考與大學自主招生數學考點大全與真題解析[M].長春：東北師范大學出版社，2014.