2012年廣州一模的一道好題賞析

曾玉婷

何為好題？這個問題就像“什么是美”那樣，不同的人會有不同角度的回答.有的人會認為，題目簡單明了卻又不失難度是好題，比如，著名的費馬大定理就屬于此類；有的人會認為，能夠一題多解是好題，比如，勾股定理，它有數(shù)百種證明；有的人會認為，能夠把各種技巧綜合起來的題目是好題，比如，數(shù)論中的哥德巴赫猜想.一般來說，很少會有題目能兼有上面所有的特點，而這些題目出現(xiàn)在高考題之中，就更加是鳳毛麟角了.不過，筆者在讀高中時的那一年廣州一模，卻真的有那樣的一道好題，讓我們來賞析一下.

題目大概意思是這樣的，證明：當x≥0時，恒有

ex≥1+x+12x2+…+1n！xn

對于已經(jīng)學了微積分的大學生來說，這道題目的來源是很明了的，它不過是把無窮級數(shù)ex=∑∞n=0xnn！進行了截斷.然而，放到高中來看，它就成為一道頗具魅力的好題.首先，題目簡潔但有難度，這是不等式題目一貫的特點；其次，它可以有多種不同的初等證明方法，證明技巧可以綜合高中數(shù)學各個方面的知識.因此，從多個角度講，它都是一道很漂亮的題目.下面給出它的幾個證法，讀者可以從這些證法中進一步賞析它的美.

一、數(shù)學歸納法

數(shù)學歸納法是官方所給答案中的標準方法.首先記

fn（x）=1+x+12x2+…+1n！xn.

當n=0時，也就是ex≥1是顯然成立的.

假設當n=k時，結(jié)果成立，也就是假設

hk（x）=ex-fk（x）≥0，

而根據(jù)假設可以算得

h′k+1（x）=hk（x）≥0，

那么根據(jù)假設，hk+1（x）=ex-fk+1（x）單調(diào)遞增，而hk+1（0）=0，所以hk+1（x）≥0.這就完成了從k到k+1的歸納.

由歸納原理，得到對所有的n，ex≥fn（x）成立.

二、作商法

數(shù)學歸納法本質(zhì)上來說就是作差法，而很多人會忽略的是，比較兩個正數(shù)的大小，除了作差之外還可以作商，事實上，在這里作商法似乎是最簡單的方法.我們定義

gn（x）=fn（x）ex，

有g(shù)n（0）=1.并且

g′n（x）=f′n（x）e-x-fn（x）e-x=[f′n（x）-fn（x）]e-x=-1n！xne-x≤0.

所以gn（x）是單調(diào)遞減的，因此，

gn（x）≤1ex≥fn（x）.

這里歸納法都省掉了，一氣呵成地完成了證明！

三、逐步積分法

以上兩種是考場中比較容易想到的方法，而事后分析往往能發(fā)現(xiàn)題目更多的技巧.逐步積分法也可以用來解決本題，當然，很難要求高中生能夠在考場中想出這種方法，但是作為一種解題方法的賞析，也是頗為不錯的.以上兩種思路可謂是從題目出發(fā)的、“自上而下”的思路，而逐步積分法是一種“從下而上”的思路，我們從

ex-1≥0

出發(fā)，考慮它的積分，非負函數(shù)的積分還是非負數(shù)，因此，

0≤∫x0（et-1）dt=ex-1-x，

基于同樣的原理

0≤∫x0（et-t-1）dt=ex-1-x-12x2，

以此類推，可以得到

0≤ex-1-x-12x2-…-1n！xn，

也就是ex≥fn（x）.

四、總結(jié)

高中考試中，經(jīng)常出現(xiàn)一些高強度計算的題目，那些題目確實有難度，但是卻算不上好題，并不利于思維的訓練.筆者認為，真正的好題，應當是那些有難度、思想新穎可是又容易看懂的題目，這類題目才是真正有益于思維的發(fā)展的.此外，從本題也可以看出，不少數(shù)學壓軸題，都是源于高等數(shù)學的初等化，因此，這給了我們教師一個出題的新思路.

【參考文獻】

[1]李廣修.證明不等式的定積分放縮法[J].數(shù)學通報，2008（07）：31

[2]董培仁.微積分視角下數(shù)列和不等式的證明[J].數(shù)學通報，2016（03）：30.